Spēja noteikt telpisko figūru apjomu ir svarīga ģeometrisku un praktisku uzdevumu risināšanai. Viena no šīm figūrām ir prizma. Rakstā aplūkosim, kas tas ir, un parādīsim, kā aprēķināt slīpas prizmas tilpumu.
Ko ģeometrijā nozīmē prizma?
Šis ir regulārs daudzskaldnis (daudzskaldnis), kuru veido divas identiskas bāzes, kas atrodas paralēlās plaknēs, un vairāki paralelogrami, kas savieno marķētās pamatnes.
Prizmas pamatnes var būt patvaļīgi daudzstūri, piemēram, trīsstūris, četrstūris, septiņstūris utt. Turklāt daudzstūra stūru (malu) skaits nosaka figūras nosaukumu.
Jebkura prizma ar n-stūra pamatni (n ir malu skaits) sastāv no n+2 skaldnēm, 2 × n virsotnēm un 3 × n malām. No dotajiem skaitļiem var redzēt, ka prizmas elementu skaits atbilst Eilera teorēmai:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Zemāk redzamajā attēlā redzams, kā izskatās trīsstūrveida un četrstūrveida prizmas, kas izgatavotas no stikla.
Figūras veidi. Noliekta prizma
Iepriekš jau tika teikts, ka prizmas nosaukumu nosaka daudzstūra malu skaits pie pamatnes. Tomēr tās struktūrā ir arī citas pazīmes, kas nosaka figūras īpašības. Tātad, ja visi paralelogrami, kas veido prizmas sānu virsmu, ir attēloti ar taisnstūriem vai kvadrātiem, tad šādu skaitli sauc par taisnu līniju. Taisnai prizmai attālums starp pamatnēm ir vienāds ar jebkura taisnstūra sānu malas garumu.
Ja dažas vai visas malas ir paralelogrami, tad runa ir par slīpu prizmu. Tā augstums jau būs mazāks par sānu ribas garumu.
Cits kritērijs, pēc kura aplūkojamie skaitļi tiek klasificēti, ir daudzstūra malu garumi un leņķi pie pamatnes. Ja tie ir vienādi viens ar otru, tad daudzstūris būs pareizs. Taisnu figūru ar regulāru daudzstūri pie pamatiem sauc par regulāru. Ar to ir ērti strādāt, nosakot virsmas laukumu un tilpumu. Slīpa prizma šajā ziņā rada zināmas grūtības.
Zemāk redzamajā attēlā parādītas divas prizmas ar kvadrātveida pamatni. 90° leņķis parāda būtisku atšķirību starp taisnu un slīpu prizmu.
Formula figūras tilpuma noteikšanai
Telpas daļu, ko ierobežo prizmas skaldnes, sauc par tās tilpumu. Jebkura veida aplūkotajiem skaitļiem šo vērtību var noteikt pēc šādas formulas:
V=h × So
Šeit simbols h apzīmē prizmas augstumu,kas ir attāluma mērs starp divām bāzēm. Simbols So- viens pamata kvadrāts.
Bāzes laukumu ir viegli atrast. Ņemot vērā faktu, vai daudzstūris ir regulārs vai nē, un zinot tā malu skaitu, jums vajadzētu izmantot atbilstošo formulu un iegūt So. Piemēram, parastam n-stūrim ar malas garumu a laukums būs:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Tagad pāriesim uz augstumu h. Taisnai prizmai augstuma noteikšana nav grūta, bet slīpai prizmai tas nav viegls uzdevums. To var atrisināt ar dažādām ģeometriskām metodēm, sākot no konkrētiem sākuma nosacījumiem. Tomēr ir universāls veids, kā noteikt figūras augstumu. Īsi aprakstīsim to.
Ideja ir atrast attālumu no telpas punkta līdz plaknei. Pieņemsim, ka plakne ir norādīta ar vienādojumu:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Tad lidmašīna būs tālumā:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Ja koordinātu asis ir sakārtotas tā, ka punkts (0; 0; 0) atrodas prizmas apakšējās pamatnes plaknē, tad bāzes plaknes vienādojumu var uzrakstīt šādi:
z=0
Tas nozīmē, ka tiks uzrakstīta augstuma formulatātad:
h=z1
Lai noteiktu figūras augstumu, pietiek ar jebkura augšējās pamatnes punkta z-koordinātas atrašanu.
Problēmu risināšanas piemērs
Zemāk redzamajā attēlā ir parādīta četrstūra prizma. Slīpas prizmas pamatne ir kvadrāts, kura mala ir 10 cm, tā tilpums ir jāaprēķina, ja zināms, ka sānu malas garums ir 15 cm, bet frontālās paralelogramas akūts leņķis ir 70 °.
Tā kā figūras augstums h ir arī paralelograma augstums, mēs izmantojam formulas, lai noteiktu tā laukumu, lai atrastu h. Apzīmēsim paralelograma malas šādi:
a=10 cm;
b=15 cm
Tad varat uzrakstīt šādas formulas, lai noteiktu apgabalu Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
No kurienes mēs iegūstam:
h=b × sin (α)
Šeit α ir paralelograma akūts leņķis. Tā kā pamatne ir kvadrāts, slīpās prizmas tilpuma formula būs šāda:
V=a2 × b × sin (α)
Mēs aizstājam nosacījumu datus formulā un iegūstam atbildi: V ≈ 1410 cm3.
