Varbūtību teorija ir īpaša matemātikas nozare, kuru apgūst tikai augstskolu studenti. Vai jums patīk aprēķini un formulas? Vai jūs nebaidāties no izredzēm iepazīties ar normālo sadalījumu, ansambļa entropiju, matemātiskām cerībām un diskrēta gadījuma lieluma dispersiju? Tad šī tēma jūs ļoti ieinteresēs. Iepazīsimies ar dažiem šīs zinātnes sadaļas svarīgākajiem pamatjēdzieniem.
Atgādināt pamatus
Pat ja atceraties vienkāršākos varbūtības teorijas jēdzienus, neaizmirstiet raksta pirmās rindkopas. Fakts ir tāds, ka bez skaidras izpratnes par pamatiem jūs nevarēsit strādāt ar tālāk apskatītajām formulām.
Tātad, ir kāds nejaušs notikums, kāds eksperiments. Veikto darbību rezultātā varam iegūt vairākus iznākumus – daži no tiem ir biežāk, citi retāk. Notikuma varbūtība ir viena veida faktiski saņemto rezultātu skaita attiecība pret kopējo iespējamo rezultātu skaitu. Tikai zinot šī jēdziena klasisko definīciju, jūs varat sākt pētīt nepārtrauktas matemātikas cerības un dispersiju.nejaušie mainīgie.
Aritmētiskais vidējais
Pat skolā matemātikas stundās sākāt strādāt ar vidējo aritmētisko. Šo jēdzienu plaši izmanto varbūtību teorijā, un tāpēc to nevar ignorēt. Mums šobrīd galvenais ir tas, ka mēs to sastapsim nejauša lieluma matemātiskās gaidīšanas un dispersijas formulās.
Mums ir skaitļu virkne, un mēs vēlamies atrast vidējo aritmētisko. Viss, kas no mums tiek prasīts, ir summēt visu pieejamo un dalīt ar secības elementu skaitu. Ļaujiet mums iegūt skaitļus no 1 līdz 9. Elementu summa būs 45, un mēs dalīsim šo vērtību ar 9. Atbilde: - 5.
Dispersija
Zinātniski runājot, dispersija ir iegūto pazīmju vērtību noviržu vidējais kvadrāts no vidējā aritmētiskā. Vienu apzīmē ar lielo latīņu burtu D. Kas nepieciešams, lai to aprēķinātu? Katram secības elementam mēs aprēķinām starpību starp pieejamo skaitli un vidējo aritmētisko un to kvadrātā. Būs tieši tik daudz vērtību, cik var būt iznākumi notikumam, kuru mēs apsveram. Tālāk mēs apkopojam visu saņemto un sadalām ar secības elementu skaitu. Ja mums ir pieci iespējamie rezultāti, daliet ar pieciem.
Dispersijai ir arī īpašības, kas jāatceras, lai to izmantotu, risinot problēmas. Piemēram, ja nejaušo lielumu palielina X reizes, dispersija palielinās par X reizi kvadrātā (t.i., XX). Tas nekad nav mazāks par nulli un nav atkarīgs novērtību pārvietošana par vienādu vērtību uz augšu vai uz leju. Turklāt neatkarīgiem izmēģinājumiem summas dispersija ir vienāda ar dispersiju summu.
Tagad mums noteikti ir jāapsver diskrēta gadījuma lieluma dispersijas un matemātiskās cerības piemēri.
Pieņemsim, ka mēs veicām 21 eksperimentu un saņēmām 7 dažādus rezultātus. Mēs katru no tiem novērojām attiecīgi 1, 2, 2, 3, 4, 4 un 5 reizes. Kāda būs novirze?
Vispirms aprēķināsim vidējo aritmētisko: elementu summa, protams, ir 21. Sadaliet to ar 7, iegūstot 3. Tagad no katra skaitļa sākotnējā secībā atņemiet 3, katru vērtību sadaliet kvadrātā un pievienojiet rezultātus kopā. Izrādās 12. Tagad mums atliek dalīt skaitli ar elementu skaitu, un, šķiet, tas arī viss. Bet ir āķis! Apspriedīsim to.
Atkarība no eksperimentu skaita
Izrādās, ka, aprēķinot dispersiju, saucējs var būt viens no diviem skaitļiem: vai nu N, vai N-1. Šeit N ir veikto eksperimentu skaits vai elementu skaits secībā (kas patiesībā ir vienāds). No kā tas ir atkarīgs?
Ja testu skaitu mēra simtos, tad saucējā jāieliek N. Ja vienībās, tad N-1. Zinātnieki nolēma robežu novilkt diezgan simboliski: šodien tā iet pa skaitli 30. Ja veicām mazāk par 30 eksperimentiem, tad dalīsim summu ar N-1, un ja vairāk, tad ar N.
Uzdevums
Atgriezīsimies pie mūsu dispersijas un gaidu problēmas risināšanas piemēra. Mēssaņēma starpskaitli 12, kas bija jādala ar N vai N-1. Tā kā mēs veicām 21 eksperimentu, kas ir mazāk nekā 30, mēs izvēlēsimies otro iespēju. Tātad atbilde ir: dispersija ir 12/2=2.
Gaidības
Pāriesim pie otrā jēdziena, kas mums jāapsver šajā rakstā. Matemātiskās cerības ir rezultāts, saskaitot visus iespējamos rezultātus, kas reizināti ar atbilstošām varbūtībām. Ir svarīgi saprast, ka iegūtā vērtība, kā arī dispersijas aprēķina rezultāts tiek iegūts tikai vienu reizi visam uzdevumam neatkarīgi no tā, cik iznākumu tas ņem vērā.
Gaidījumu formula ir pavisam vienkārša: mēs ņemam rezultātu, reizinām to ar tā varbūtību, pievienojam to pašu otrajam, trešajam rezultātam utt. Viss, kas saistīts ar šo jēdzienu, ir viegli aprēķināms. Piemēram, matemātisko gaidu summa ir vienāda ar summas matemātisko gaidu. Tas pats attiecas uz darbu. Ne katrs lielums varbūtību teorijā ļauj veikt tik vienkāršas darbības. Paņemsim uzdevumu un aprēķināsim divu jēdzienu vērtību, ko esam pētījuši uzreiz. Turklāt mūs novērsa teorija – laiks praktizēt.
Cits piemērs
Mēs veicām 50 izmēģinājumus un saņēmām 10 veidu rezultātus - skaitļus no 0 līdz 9 -, kas tika parādīti dažādos procentos. Tie ir attiecīgi: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Atcerieties, ka, lai iegūtu varbūtības, procentuālās vērtības ir jādala ar 100. Tādējādi mēs iegūstam 0,02; 0, 1 utt. Apzīmēsim nejaušības dispersijuuzdevuma risināšanas vērtības un matemātiskās cerības piemērs.
Aprēķiniet vidējo aritmētisko, izmantojot formulu, ko atceramies no pamatskolas: 50/10=5.
Tagad pārtulkosim varbūtības iznākumu skaitā "gabalos", lai būtu vieglāk saskaitīt. Iegūstam 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 un 9. No katras iegūtās vērtības atņem vidējo aritmētisko, pēc kā katru iegūto rezultātu kvadrātā. Skatiet, kā to izdarīt, piemēram, izmantojot pirmo elementu: 1 - 5=(-4). Tālāk: (-4)(-4)=16. Citām vērtībām veiciet šīs darbības pats. Ja visu izdarījāt pareizi, tad pēc visu starprezultātu pievienošanas iegūsit 90.
Turpiniet aprēķināt dispersiju un vidējo, dalot 90 ar N. Kāpēc mēs izvēlamies N, nevis N-1? Tieši tā, jo veikto eksperimentu skaits pārsniedz 30. Tātad: 90/10=9. Mēs saņēmām dispersiju. Ja saņemat citu numuru, nevajag izmisumā. Visticamāk, jūs aprēķinos pieļāvāt banālu kļūdu. Vēlreiz pārbaudiet, ko esat uzrakstījis, un viss noteikti nostāsies savās vietās.
Beidzot atcerēsimies gaidu formulu. Mēs nesniegsim visus aprēķinus, mēs tikai uzrakstīsim atbildi, ar kuru jūs varat pārbaudīt pēc visu nepieciešamo procedūru veikšanas. Paredzams būs 5, 48. Mēs tikai atceramies, kā veikt darbības, izmantojot pirmo elementu piemēru: 00, 02 + 10, 1… un tā tālāk. Kā redzat, mēs vienkārši reizinām iznākuma vērtību ar tā varbūtību.
Novirze
Cits jēdziens, kas ir cieši saistīts ar dispersiju un paredzamo vērtību, irstandarta novirze. To apzīmē vai nu ar latīņu burtiem sd, vai ar grieķu mazajiem burtiem "sigma". Šī koncepcija parāda, kā vidēji vērtības atšķiras no centrālās pazīmes. Lai atrastu tā vērtību, jāaprēķina dispersijas kvadrātsakne.
Ja veidojat normālā sadalījuma grafiku un vēlaties tieši tajā redzēt standarta novirzes vērtību, to var izdarīt vairākos posmos. Paņemiet pusi attēla pa kreisi vai pa labi no režīma (centrālā vērtība), uzzīmējiet perpendikulāru horizontālajai asij tā, lai iegūto skaitļu laukumi būtu vienādi. Segmenta vērtība starp sadalījuma vidu un iegūto projekciju uz horizontālo asi būs standarta novirze.
Programmatūra
Kā redzams no formulu aprakstiem un sniegtajiem piemēriem, dispersijas un matemātiskās cerības aprēķināšana no aritmētiskā viedokļa nav vieglākā procedūra. Lai netērētu laiku, ir jēga izmantot augstākajā izglītībā izmantoto programmu - to sauc par "R". Tam ir funkcijas, kas ļauj aprēķināt daudzu jēdzienu vērtības no statistikas un varbūtības teorijas.
Piemēram, jūs definējat vērtību vektoru. Tas tiek darīts šādi: vektors <-c(1, 5, 2…). Tagad, kad jums ir jāaprēķina dažas šī vektora vērtības, jūs ierakstiet funkciju un sniedziet to kā argumentu. Lai atrastu dispersiju, jums būs jāizmanto var. Viņas piemērslietojums: var(vektors). Pēc tam vienkārši nospiediet "Enter" un iegūstiet rezultātu.
Nobeigumā
Variance un matemātiskās cerības ir varbūtības teorijas pamatjēdzieni, bez kuriem nākotnē ir grūti kaut ko aprēķināt. Augstskolu lekciju pamatkursā tās tiek izskatītas jau pirmajos priekšmeta apguves mēnešos. Tieši šo vienkāršo jēdzienu neizpratnes un nespējas tos aprēķināt dēļ daudzi studenti uzreiz sāk atpalikt no programmas un vēlāk sesijas beigās saņem sliktas atzīmes, kas atņem viņiem stipendijas.
Vingrinieties vismaz vienu nedēļu pusstundu dienā, risinot problēmas, kas līdzīgas šajā rakstā aprakstītajām. Tad jebkurā varbūtības teorijas pārbaudē jūs tiksit galā ar piemēriem bez svešiem padomiem un krāpšanās lapām.
