Ģeometrija ir skaista, jo atšķirībā no algebra, kur ne vienmēr ir skaidrs, ko tu domā un kāpēc, tā dod objektam redzamību. Šo brīnišķīgo dažādu ķermeņu pasauli rotā regulāri daudzskaldņi.
Vispārīga informācija par parastajiem daudzskaldņiem
Pēc daudzu domām, parastajiem daudzskaldņiem jeb, kā tos sauc arī par platoniskām cietvielām, ir unikālas īpašības. Ar šiem objektiem ir saistītas vairākas zinātniskas hipotēzes. Kad jūs sākat pētīt šos ģeometriskos ķermeņus, jūs saprotat, ka jūs praktiski neko nezināt par tādu jēdzienu kā regulāri daudzskaldnis. Šo priekšmetu prezentācija skolā ne vienmēr ir interesanta, tāpēc daudzi pat neatceras, kā tos sauc. Lielākā daļa cilvēku atceras tikai kubu. Neviens no ģeometrijas ķermeņiem nav tik ideāls kā parastie daudzskaldņi. Visi šo ģeometrisko ķermeņu nosaukumi cēlušies no Senās Grieķijas. Tie nozīmē seju skaitu: tetraedrs - četrpusīgs, heksaedrs - sešpusējs, oktaedrs - oktaedrs, dodekaedrs - divpadsmit šķautnes, ikosaedrs - divdesmit malas. Visi šie ģeometriskie ķermeņiieņēma nozīmīgu vietu Platona priekšstatā par Visumu. Četri no tiem personificēja elementus vai entītijas: tetraedrs - uguns, ikosaedrs - ūdens, kubs - zeme, oktaedrs - gaiss. Dodekaedrs iemiesoja visu, kas pastāv. To uzskatīja par galveno, jo tas bija Visuma simbols.
Daudzskaldņa jēdziena vispārināšana
Daudzstūris ir ierobežota skaita daudzstūru kopums, kurā:
- katra no jebkura daudzstūra malām vienlaikus ir tikai viena cita daudzstūra mala tajā pašā pusē;
- no katra daudzstūra var nokļūt līdz pārējiem, ejot gar tam blakus esošajiem daudzstūriem.
Daudzstūri, kas veido daudzskaldni, ir tā skaldnes, un to malas ir malas. Daudzskaldņu virsotnes ir daudzstūru virsotnes. Ja daudzstūra jēdzienu saprot kā plakanas slēgtas lauztas līnijas, tad tiek iegūta viena daudzskaldņa definīcija. Gadījumā, ja šis jēdziens nozīmē plaknes daļu, kuru ierobežo lauztas līnijas, tad jāsaprot virsma, kas sastāv no daudzstūra daļām. Izliekts daudzskaldnis ir ķermenis, kas atrodas vienā plaknes pusē blakus tā sejai.
Cita daudzskaldņa un tā elementu definīcija
Daudzskaldnis ir virsma, kas sastāv no daudzstūriem, kas ierobežo ģeometrisku ķermeni. Tie ir:
- neizliekta;
- izliekta (pareiza un nepareiza).
Parastais daudzskaldnis ir izliekts daudzskaldnis ar maksimālu simetriju. Parasta daudzskaldņa elementi:
- tetraedrs: 6 malas, 4 skaldnes, 5 virsotnes;
- heksaedrs (kubs): 12, 6, 8;
- dodekaedrs: 30, 12, 20;
- oktaedrs: 12, 8, 6;
- ikosaedrs: 30, 20, 12.
Eilera teorēma
Tas nosaka attiecības starp šķautņu, virsotņu un skaldņu skaitu, kas ir topoloģiski līdzvērtīgas sfērai. Saskaitot dažādu regulāru daudzskaldņu virsotņu un skaldņu skaitu (B + D) un salīdzinot tos ar malu skaitu, var izveidot vienu modeli: skalu un virsotņu skaita summa ir vienāda ar palielināto malu skaitu (P). ar 2. Varat iegūt vienkāršu formulu:
B + D=R + 2
Šī formula attiecas uz visiem izliektajiem daudzskaldņiem.
Pamata definīcijas
Regulāra daudzskaldņa jēdzienu nevar aprakstīt vienā teikumā. Tas ir jēgpilnāks un apjomīgāks. Lai iestāde tiktu atzīta par tādu, tai jāatbilst vairākām definīcijām. Tātad ģeometrisks ķermenis būs regulārs daudzskaldnis, ja tiks izpildīti šādi nosacījumi:
- tas ir izliekts;
- vienāds skaits malu saplūst katrā tās virsotnē;
- visas tās skaldnes ir regulāri daudzstūri, kas ir vienādi viens ar otru;
- visi tā divskaldņu leņķi ir vienādi.
Parastā daudzskaldņa īpašības
Ir 5 dažādi parasto daudzskaldņu veidi:
- Kubs (heksaedrs) - tam ir plakans leņķis augšpusē, kas ir 90°. Tam ir 3 pusējs leņķis. Plakano leņķu summa augšpusē ir 270°.
- Tetraedrs - plakans leņķis augšpusē - 60°. Tam ir 3 pusējs leņķis. Plakano leņķu summa augšpusē ir 180°.
- Oktaedrs - plakanās virsotnes leņķis - 60°. Tam ir 4 sānu stūris. Plakano leņķu summa augšpusē ir 240°.
- Dodekaedrs - plakans leņķis virsotnē 108°. Tam ir 3 pusējs leņķis. Plakano leņķu summa augšpusē ir 324°.
- Ikozaedrs - tam ir plakans leņķis augšpusē - 60°. Tam ir 5 pusēju leņķis. Plakano leņķu summa augšpusē ir 300°.
Parastu daudzskaldņu laukums
Šo ģeometrisko ķermeņu virsmas laukums (S) tiek aprēķināts kā regulāra daudzstūra laukums, kas reizināts ar tā skaldņu skaitu (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Parastā daudzskaldņa tilpums
Šo vērtību aprēķina, reizinot regulāras piramīdas, kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tilpumu ar skaldņu skaitu, un tās augstums ir ierakstītās sfēras rādiuss (r):
V=1: 3rS
Parastu daudzskaldņu apjomi
Tāpat kā jebkuram citam ģeometriskam korpusam, parastajiem daudzskaldņiem ir dažādi tilpumi. Tālāk ir norādītas formulas, pēc kurām varat tos aprēķināt:
- tetraedrs: α x 3√2: 12;
- oktaedrs: α x 3√2: 3;
- ikosaedrs; α x 3;
- heksaedrs (kubs): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaedrs: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Parastā daudzskaldņa elementi
Eksaedrs un oktaedrs ir divi ģeometriski ķermeņi. Citiem vārdiem sakot, tos var iegūt vienu no otra, ja vienas virsmas smaguma centrs tiek ņemts par otras virsotni un otrādi. Arī ikosaedrs un dodekaedrs ir duāli. Tikai tetraedrs ir duāls ar sevi. Saskaņā ar Eiklida metodi dodekaedru var iegūt no heksaedra, veidojot "jumtus" uz kuba virsmām. Tetraedra virsotnes būs jebkuras 4 kuba virsotnes, kas nav blakus pa pāriem gar malu. No heksaedra (kuba) jūs varat iegūt citus parastos daudzskaldņus. Neskatoties uz to, ka pastāv neskaitāmi regulāri daudzstūri, ir tikai 5 regulāri daudzstūri.
Regulāru daudzstūru rādiuss
Ar katru no šiem ģeometriskajiem ķermeņiem ir saistītas 3 koncentriskas sfēras:
- aprakstīts, ejot cauri tās virsotnēm;
- ierakstīts, pieskaroties katrai tās sejai tās centrā;
- vidējā, pieskaroties visām malām vidū.
Aprakstītās sfēras rādiusu aprēķina pēc šādas formulas:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Ierakstītas sfēras rādiusu aprēķina pēc formulas:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
kur θ ir divšķautņu leņķis starp blakus esošajām skaldnēm.
Mediānas sfēras rādiusu var aprēķināt, izmantojot šādu formulu:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
kur h vērtība=4, 6, 6, 10 vai 10. Ierobežoto un ierakstīto rādiusu attiecība ir simetriska attiecībā pret p un q. Tasaprēķina pēc formulas:
R/r=tg π/p x tg π/q
Daudzskaldņu simetrija
Regulāru daudzskaldņu simetrija izraisa galveno interesi par šiem ģeometriskajiem ķermeņiem. Ar to saprot tādu ķermeņa kustību telpā, kas atstāj vienādu skaitu virsotņu, skaldņu un malu. Citiem vārdiem sakot, simetrijas transformācijas ietekmē mala, virsotne vai seja vai nu saglabā savu sākotnējo pozīciju, vai pārvietojas uz citas malas, virsotnes vai skaldnes sākotnējo pozīciju.
Regulāru daudzskaldņu simetrijas elementi ir raksturīgi visu veidu šādiem ģeometriskiem ķermeņiem. Šeit mēs runājam par identisku transformāciju, kas atstāj jebkuru punktu sākotnējā stāvoklī. Tātad, pagriežot daudzstūra prizmu, jūs varat iegūt vairākas simetrijas. Jebkuru no tiem var attēlot kā pārdomu produktu. Simetriju, kas ir pāra atstarojumu reizinājums, sauc par taisnu līniju. Ja tas ir nepāra atspīdumu skaita reizinājums, tad to sauc par apgriezto. Tādējādi visas rotācijas ap līniju ir tieša simetrija. Jebkurš daudzskaldņa atspulgs ir apgriezta simetrija.
Lai labāk izprastu regulāro daudzskaldņu simetrijas elementus, mēs varam ņemt tetraedra piemēru. Jebkura taisna līnija, kas iet caur vienu no šīs ģeometriskās figūras virsotnēm un centru, iet cauri tai pretējās sejas centram. Katrs no 120° un 240° pagriezieniem ap līniju ir daudzskaitlī.tetraedra simetrija. Tā kā tai ir 4 virsotnes un 4 skaldnes, ir tikai astoņas tiešās simetrijas. Jebkura no līnijām, kas iet caur malas vidu un šī korpusa centru, iet caur tās pretējās malas vidu. Jebkura 180° pagriešana, ko sauc par pusapgriezienu, ap taisnu līniju ir simetrija. Tā kā tetraedram ir trīs malu pāri, ir vēl trīs tiešās simetrijas. Pamatojoties uz iepriekš minēto, varam secināt, ka kopējais tiešo simetriju skaits, ieskaitot identiskās transformācijas, sasniegs divpadsmit. Tetraedram nav citas tiešas simetrijas, taču tam ir 12 apgrieztas simetrijas. Tāpēc tetraedru kopumā raksturo 24 simetrijas. Skaidrības labad jūs varat izveidot parastā tetraedra modeli no kartona un pārliecināties, ka šim ģeometriskajam ķermenim patiešām ir tikai 24 simetrijas.
Dodekaedrs un ikosaedrs atrodas vistuvāk ķermeņa sfērai. Ikozaedram ir vislielākais skalu skaits, lielākais divskaldņu leņķis, un to var visciešāk piespiest pie ierakstītas sfēras. Dodekaedram ir mazākais leņķiskais defekts, lielākais telpiskais leņķis virsotnē. Viņš var maksimāli aizpildīt savu aprakstīto sfēru.
Daudzskaldņu svītras
Parastiem neiesaiņotiem daudzskaldņiem, ko mēs visi bērnībā līmējām kopā, ir daudz jēdzienu. Ja ir daudzstūru kopums, kura katra mala ir identificēta tikai ar vienu daudzskaldņa malu, tad malu identificēšanai jāatbilst diviem nosacījumiem:
- no katra daudzstūra varat pāriet pāri daudzstūriem, kuriem iridentificētā puse;
- noteiktajām pusēm ir jābūt vienāda garuma.
Tā ir daudzstūru kopa, kas atbilst šiem nosacījumiem, ko sauc par daudzskaldņa attīstību. Katrā no šīm struktūrām ir vairākas no tām. Tā, piemēram, kubā ir 11 no tiem.
