Nav iespējams apgalvot, ka zināt matemātiku, ja nezināt, kā uzzīmēt grafikus, zīmēt nevienādības uz koordinātu līnijas un strādāt ar koordinātu asīm. Vizuālais komponents zinātnē ir vitāli svarīgs, jo bez vizuāliem piemēriem formulās un aprēķinos dažkārt var ļoti apjukt. Šajā rakstā mēs redzēsim, kā strādāt ar koordinātu asīm, un iemācīsimies izveidot vienkāršus funkciju grafikus.
Pieteikums
Koordinātu līnija ir pamatā vienkāršākajiem grafiku veidiem, ar kuriem skolēns saskaras savā izglītības ceļā. To izmanto gandrīz katrā matemātikas tēmā: aprēķinot ātrumu un laiku, projicējot objektu izmērus un aprēķinot to laukumu, trigonometrijā, strādājot ar sinusiem un kosinusiem.
Tādas tiešās līnijas galvenā vērtība ir redzamība. Tā kā matemātika ir zinātne, kas prasa augstu abstraktās domāšanas līmeni, grafiki palīdz attēlot objektu reālajā pasaulē. Kā viņš uzvedas? Kurā kosmosa punktā tiksdažas sekundes, minūtes, stundas? Ko par to var teikt salīdzinājumā ar citiem objektiem? Kāds ir tā ātrums nejauši izvēlētā laikā? Kā raksturot viņa kustību?
Un mēs ne velti runājam par ātrumu - to bieži parāda funkciju grafiki. Un tie var arī parādīt temperatūras vai spiediena izmaiņas objekta iekšienē, tā izmēru, orientāciju attiecībā pret horizontu. Tādējādi koordinātu līnijas izveidošana bieži ir nepieciešama arī fizikā.
Viendimensijas diagramma
Ir daudzdimensionalitātes jēdziens. Viendimensijas telpā pietiek ar vienu skaitli, lai noteiktu punkta atrašanās vietu. Tieši tā ir ar koordinātu līnijas lietošanu. Ja telpa ir divdimensiju, tad ir nepieciešami divi skaitļi. Šāda veida diagrammas tiek izmantotas daudz biežāk, un mēs tās noteikti aplūkosim nedaudz vēlāk rakstā.
Ko var redzēt ar punktu palīdzību uz ass, ja ir tikai viena ass? Jūs varat redzēt objekta izmēru, tā pozīciju telpā attiecībā pret kādu "nulle", t.i., punktu, kas izvēlēts par atskaites punktu.
Parametru izmaiņas laika gaitā nebūs redzamas, jo visi rādījumi tiks parādīti uz vienu konkrētu brīdi. Tomēr kaut kur ir jāsāk! Sāksim.
Kā izveidot koordinātu asi
Pirmkārt, jānovelk horizontāla līnija – tā būs mūsu ass. Labajā pusē "asiniet" to, lai tas izskatās kā bultiņa. Tādējādi mēs norādīsim virzienu, kurā būs skaitļipalielināt. Virzienā uz leju bultiņa parasti netiek novietota. Tradicionāli ass norāda uz labo pusi, tāpēc mēs vienkārši ievērosim šo noteikumu.
Iestatīsim nulles atzīmi, kas parādīs koordinātu sākumpunktu. Šī ir vieta, no kuras tiek veikta atpakaļskaitīšana neatkarīgi no tā, vai tas ir izmērs, svars, ātrums vai jebkas cits. Papildus nullei mums obligāti jānorāda tā sauktā dalīšanas cena, t.i., jāievieš vienības standarts, saskaņā ar kuru mēs uz ass uzzīmēsim noteiktus daudzumus. Tas ir jādara, lai koordinātu taisnē varētu atrast atzara garumu.
Vienādā attālumā viens no otra uz līnijas ielieciet punktus vai "iecirtumus" un zem tiem ierakstiet attiecīgi 1, 2, 3 utt. Un tagad viss ir gatavs. Taču, ņemot vērā izveidoto grafiku, jums joprojām ir jāiemācās strādāt.
Punktu veidi uz koordinātu līnijas
No pirmā acu uzmetiena uz mācību grāmatās piedāvātajiem zīmējumiem kļūst skaidrs: punktus uz ass var aizpildīt vai neaizpildīt. Vai jūs domājat, ka tā ir nejaušība? Nepavisam! "Ciets" punkts tiek izmantots nevienlīdzībai, kas skan kā "lielāks par vai vienāds ar". Ja mums ir stingri jāierobežo intervāls (piemēram, "x" var ņemt vērtības no nulles līdz vienam, bet neietver to), mēs izmantosim "dobu" punktu, kas faktiski ir mazs aplis. uz ass. Jāpiebilst, ka skolēniem īsti nepatīk strikta nevienlīdzība, jo ar tām ir grūtāk strādāt.
Atkarībā no tā, kuri punkti jūsizmantošana diagrammā, tiks izsaukti arī izveidotie intervāli. Ja nevienlīdzība abās pusēs nav stingra, tad iegūstam segmentu. Ja, no vienas puses, tas izrādīsies “atvērts”, tad to sauks par pusintervālu. Visbeidzot, ja līnijas daļu no abām pusēm ierobežo dobi punkti, to sauks par intervālu.
Lidmašīna
Būvējot divas taisnes koordinātu plaknē, jau varam ņemt vērā funkciju grafikus. Pieņemsim, ka horizontālā līnija ir laika ass, bet vertikālā līnija ir attālums. Un tagad mēs varam noteikt, kādu attālumu objekts pārvarēs minūtes vai stundas laikā. Tādējādi darbs ar plakni dod iespēju uzraudzīt objekta stāvokļa izmaiņas. Tas ir daudz interesantāk nekā izpētīt statisku stāvokli.
Vienkāršākais grafiks uz šādas plaknes ir taisne, tā atspoguļo funkciju Y(X)=aX + b. Vai līnija saliecas? Tas nozīmē, ka objektam pētījuma laikā mainās tā raksturlielumi.
Iedomājieties, ka stāvat uz ēkas jumta un turat akmeni izstieptā rokā. Atlaižot to, tas lidos uz leju, sākot kustību no nulles ātruma. Taču sekundē viņš pārvarēs 36 kilometrus stundā. Akmens turpinās paātrināties, un, lai uzzīmētu tā kustību kartē, jums būs jāmēra tā ātrums vairākos laika punktos, iestatot punktus uz ass atbilstošās vietās.
Atzīmes uz horizontālās koordinātu līnijas pēc noklusējuma ir nosauktas X1, X2, X3, bet vertikālās - attiecīgi Y1, Y2, Y3. projicēšanatos līdz plaknei un atrodot krustojumus, mēs atrodam iegūtā raksta fragmentus. Savienojot tos ar vienu līniju, mēs iegūstam funkcijas grafiku. Krītoša akmens gadījumā kvadrātfunkcija izskatīsies šādi: Y(X)=aXX + bX + c.
Mērogs
Protams, nav nepieciešams likt veselus skaitļus blakus dalījumiem ar taisnu līniju. Ja apsverat gliemeža kustību, kas rāpo ar ātrumu 0,03 metri minūtē, iestatiet kā vērtības koordinātu daļā. Šādā gadījumā iestatiet skalas intervālu uz 0,01 metru.
Īpaši ērti ir veikt šādus rasējumus piezīmju grāmatiņā būrītī - šeit jūs uzreiz varat redzēt, vai uz lapas ir pietiekami daudz vietas jūsu diagrammai, ja tiekat tālāk par piemalēm. Nav grūti aprēķināt savu spēku, jo šūnas platums šādā piezīmju grāmatiņā ir 0,5 centimetri. Paņēma - samazināja attēlu. Izmaiņas diagrammas mērogā neizraisīs tās rekvizītu zudumu vai izmaiņas.
Punktu un segmentu koordinātas
Kad stundā tiek uzdots matemātikas uzdevums, tajā var būt dažādu ģeometrisku formu parametri gan malu garumu, perimetra, laukuma, gan koordinātu veidā. Šādā gadījumā jums var būt nepieciešams gan izveidot formu, gan iegūt dažus ar to saistītos datus. Rodas jautājums: kā koordinātu līnijā atrast nepieciešamo informāciju? Un kā izveidot formu?
Piemēram, mēs runājam par punktu. Tad problēmas stāvoklī parādīsies lielais burts, un iekavās tiks parādīti vairāki cipari, visbiežāk divi (tas nozīmē, ka mēs skaitīsim divdimensiju telpā). Ja iekavās ir trīs skaitļi, kas atdalīti ar semikolu vai komatu, tad tā ir trīsdimensiju telpa. Katra no vērtībām ir koordināte uz atbilstošās ass: vispirms pa horizontāli (X), tad pa vertikāli (Y).
Atceries, kā uzzīmēt segmentu? Jūs to nokārtojāt ģeometrijā. Ja ir divi punkti, tad starp tiem var novilkt līniju. To koordinātas ir norādītas iekavās, ja uzdevumā parādās segments. Piemēram: A(15, 13) - B(1, 4). Lai izveidotu šādu līniju, koordinātu plaknē jāatrod un jāatzīmē punkti un pēc tam tie jāsavieno. Tas arī viss!
Un jebkurus daudzstūrus, kā jūs zināt, var uzzīmēt, izmantojot segmentus. Problēma atrisināta.
Aprēķini
Pieņemsim, ka ir kāds objekts, kura atrašanās vietu gar X asi raksturo divi skaitļi: tas sākas punktā ar koordinātu (-3) un beidzas pie (+2). Ja vēlamies zināt šī objekta garumu, tad no lielākā skaitļa jāatņem mazākais skaitlis. Ņemiet vērā, ka negatīvs skaitlis absorbē atņemšanas zīmi, jo "mīnus reiz mīnuss ir vienāds ar plusu". Tātad mēs saskaitām (2+3) un iegūstam 5. Tas ir nepieciešamais rezultāts.
Cits piemērs: mums ir dots objekta beigu punkts un garums, bet ne sākuma punkts (un tas ir jāatrod). Lai zināmā punkta atrašanās vieta ir (6), un pētāmā objekta izmērs ir (4). Atņemot garumu no gala koordinātas, mēs iegūstam atbildi. Kopā: (6–4)=2.
Negatīvi skaitļi
Praksē bieži ir nepieciešams strādāt ar negatīvām vērtībām. Šajā gadījumā mēs to darīsimpārvietoties pa kreisi pa koordinātu asi. Piemēram, 3 centimetrus augsts objekts peld ūdenī. Viena trešdaļa no tā ir iegremdēta šķidrumā, divas trešdaļas atrodas gaisā. Pēc tam par asi izvēloties ūdens virsmu, izmantojot vienkāršākos aritmētiskos aprēķinus, iegūstam divus skaitļus: objekta augšējam punktam ir koordināte (+2), bet apakšējam - (-1) centimetrs.
Ir viegli redzēt, ka plaknes gadījumā mums ir četras koordinātu līnijas ceturtdaļas. Katram no tiem ir savs numurs. Pirmajā (augšējā labajā) daļā būs punkti ar divām pozitīvām koordinātām, otrajā - augšējā kreisajā pusē - X ass vērtības būs negatīvas, bet gar Y asi - pozitīvas. Trešais un ceturtais tiek skaitīts tālāk pretēji pulksteņrādītāja virzienam.
Svarīgs īpašums
Jūs zināt, ka līniju var attēlot kā bezgalīgu punktu skaitu. Mēs varam aplūkot tik rūpīgi, cik mums patīk jebkuru vērtību skaitu katrā ass virzienā, bet mēs nesastapsim tādas, kas atkārtojas. Tas šķiet naivi un saprotami, taču šis apgalvojums izriet no svarīga fakta: katrs skaitlis atbilst vienam un tikai vienam punktam koordinātu taisnē.
Secinājums
Atcerieties, ka visas asis, figūras un, ja iespējams, grafikas jāveido uz lineāla. Mērvienības nav izgudrojis cilvēks nejauši - ja zīmējot pieļaujat kļūdu, jūs riskējat ieraudzīt citu attēlu, nekā tam vajadzēja būt.
Esiet uzmanīgs un precīzs, veidojot grafiku un aprēķinus. Tāpat kā jebkura skolā apgūta zinātne, arī matemātika mīl precizitāti. Nedaudz piepūles un labinovērtējumi nebūs ilgi jāgaida.
