Pitagora teorēma: hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Katrs skolēns zina, ka hipotenūzas kvadrāts vienmēr ir vienāds ar kāju summu, no kurām katra ir kvadrātā. Šo apgalvojumu sauc par Pitagora teorēmu. Tā ir viena no slavenākajām teorēmām trigonometrijā un matemātikā kopumā. Apsveriet to sīkāk.

Taisnstūra trīsstūra jēdziens

Pirms turpināt apsvērt Pitagora teorēmu, kurā hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kvadrātā izdalīto kāju summu, jāapsver taisnleņķa trijstūra jēdziens un īpašības, kam teorēma ir derīgs.

Trijstūris ir plakana figūra ar trim leņķiem un trim malām. Taisnleņķa trīsstūrim, kā norāda tā nosaukums, ir viens taisns leņķis, tas ir, šis leņķis ir 90o.

No visu trīsstūru vispārīgajām īpašībām ir zināms, ka šī skaitļa visu trīs leņķu summa ir 180^o, kas nozīmē, ka taisnleņķa trijstūrim divi leņķi, kas nav taisni, ir 180^o -90^o=90^o. Pēdējais fakts nozīmē, ka jebkurš taisnleņķa trijstūra leņķis, kas nav taisns leņķis, vienmēr būs mazāks par 90^o.

Sānu, kas atrodas pretī taisnajam leņķim, sauc par hipotenūzu. Pārējās divas malas ir trīsstūra kājas, tās var būt vienādas viena ar otru, vai arī tās var atšķirties. No trigonometrijas ir zināms, ka jo lielāks ir leņķis, pret kuru trijstūrī atrodas kāda mala, jo lielāks ir šīs malas garums. Tas nozīmē, ka taisnleņķa trijstūrī hipotenūza (atrodas pretī leņķim 90^o) vienmēr būs lielāka par jebkuru kāju (atrodas pretī leņķiem < 90^o).

Pitagora teorēmas matemātiskais apzīmējums

Šī teorēma saka, ka hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju summu, no kurām katra ir iepriekš kvadrātā. Lai uzrakstītu šo formulējumu matemātiski, apsveriet taisnleņķa trīsstūri, kura malas a, b un c ir attiecīgi divas kājas un hipotenūza. Šajā gadījumā teorēmu, kas norādīta kā hipotenūzas kvadrāts ir vienāda ar kāju kvadrātu summu, var attēlot ar šādu formulu: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. No šejienes var iegūt citas praksei svarīgas formulas: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) un c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Ņemiet vērā, ka taisnleņķa vienādmalu trīsstūra gadījumā, tas ir, a=b, formulējums: hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju summu, no kurām katrakvadrātā, matemātiski uzrakstīts šādi: c²=a² + b²=2a ^{2, kas nozīmē vienādību: c=a√2.}

Vēstures fons

Pitagora teorēma, kas saka, ka hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju summu, no kurām katra ir kvadrātā, bija zināma ilgi pirms tam pievērsa uzmanību slavenais grieķu filozofs. Daudzi senās Ēģiptes papirusi, kā arī babiloniešu māla plāksnes apstiprina, ka šīs tautas izmantoja atzīmēto taisnleņķa trijstūra malu īpašību. Piemēram, viena no pirmajām Ēģiptes piramīdām Hafres piramīda, kuras celtniecība aizsākās 26. gadsimtā pirms mūsu ēras (2000 gadus pirms Pitagora dzīves), tika uzcelta, balstoties uz zināšanām par malu attiecību 3x4x5 taisnleņķa trīsstūrī.

Kāpēc teorēma tagad ir nosaukta grieķa vārdā? Atbilde ir vienkārša: Pitagors ir pirmais, kas matemātiski pierāda šo teorēmu. Saglabājušies babiloniešu un ēģiptiešu raksti tikai piemin tā izmantošanu, bet nesniedz nekādus matemātiskus pierādījumus.

Tiek uzskatīts, ka Pitagors ir pierādījis aplūkojamo teorēmu, izmantojot līdzīgu trīsstūru īpašības, kuras viņš ieguva, novelkot augstumu taisnleņķa trijstūrī no leņķa 90o līdz hipotenūza.

Pitagora teorēmas izmantošanas piemērs

Apsveriet vienkāršu problēmu: ir jānosaka slīpu kāpņu garums L, ja ir zināms, ka to augstums ir H=3metri, un attālums no sienas, pret kuru balstās kāpnes, līdz pamatnei ir P=2,5 metri.

Šajā gadījumā H un P ir kājas, un L ir hipotenūza. Tā kā hipotenūzas garums ir vienāds ar kāju kvadrātu summu, mēs iegūstam: L²=H² + P 2^{, no kurienes L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 metri vai 3 metri un 90,5 cm.}