Kā tiek iegūts kosinusa atvasinājums

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Kosinusa atvasinājums tiek atrasts pēc analoģijas ar sinusa atvasinājumu, pierādījuma pamatā ir funkcijas robežas definīcija. Varat izmantot citu metodi, izmantojot trigonometriskās samazināšanas formulas leņķu kosinusam un sinusam. Izsakiet vienu funkciju ar citu - kosinusu ar sinusu un atšķiriet sinusu ar sarežģītu argumentu.

Apsveriet pirmo formulas atvasināšanas piemēru (Cos(x))'

Piešķiriet nenozīmīgi mazu pieaugumu Δx funkcijas y=Cos(x) argumentam x. Ar jaunu argumenta х+Δх vērtību iegūstam jaunu funkcijas Cos(х+Δх) vērtību. Tad funkcijas pieaugums Δy būs vienāds ar Cos(х+Δx)-Cos(x).

Funkcijas pieauguma attiecība pret Δх būs: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Veiksim identiskas transformācijas iegūtās daļskaitļa skaitītājā. Atgādiniet leņķu kosinusu atšķirības formulu, rezultāts būs reizinājums -2Sin (Δx / 2) reiz Sin (x + Δx / 2). Mēs atrodam šī produkta lim koeficienta robežu uz Δx, jo Δx ir tendence uz nulli. Ir zināms, ka pirmais(to sauc par brīnišķīgu) robeža lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) ir vienāda ar 1, un robeža -Sin(x+Δx/2) ir vienāda ar -Sin(x) kā Δx tiecas uz nulli. Pierakstiet rezultātu: (Cos(x))' atvasinājums ir vienāds ar - Sin(x).

Daži cilvēki dod priekšroku otrajam veidam, kā iegūt to pašu formulu

Tas ir zināms no trigonometrijas kursa: Cos(x) ir vienāds ar Sin(0, 5 ∏-x), tāpat Sin(x) ir vienāds ar Cos(0, 5 ∏-x). Tad mēs diferencējam kompleksu funkciju - papildu leņķa sinusu (kosinusa x vietā).

Iegūstam reizinājumu Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', jo sinusa x atvasinājums ir vienāds ar kosinusu X. Mēs pievēršamies otrai formulai Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x), kosinusu aizstājot ar sinusu, ņemot vērā, ka (0.5 ∏-x)'=-1. Tagad mēs iegūstam -Sin(x). Tātad, tiek atrasts kosinusa atvasinājums, y'=-Sin(x) funkcijai y=Cos(x).

Kvadrātveida kosinusa atvasinājums

Bieži lietots piemērs, kur tiek izmantots kosinusa atvasinājums. Funkcija y=Cos²(x) ir sarežģīta. Vispirms atrodam jaudas funkcijas diferenciāli ar eksponentu 2, tas būs 2·Cos(x), tad reizinim to ar atvasinājumu (Cos(x))', kas ir vienāds ar -Sin(x). Mēs iegūstam y'=-2 Cos(x) Sin(x). Lietojot formulu Sin(2x), dubulta leņķa sinusu, iegūstam galīgo vienkāršotoatbildi y'=-Sin(2x)

Hiperboliskās funkcijas

Tos izmanto daudzu tehnisko disciplīnu izpētē: piemēram, matemātikā tie atvieglo integrāļu aprēķināšanu, diferenciālvienādojumu atrisināšanu. Tie ir izteikti trigonometrisko funkciju izteiksmē ar iedomātuarguments, tātad hiperboliskais kosinuss ch(x)=Cos(i x), kur i ir iedomātā vienība, hiperboliskais sinuss sh(x)=Sin(i x).

Hiperboliskā kosinusa atvasinājumu aprēķina pavisam vienkārši.

Apsveriet funkciju y=(e^x+e^-x) /2, šis un ir hiperboliskais kosinuss ch(x). Mēs izmantojam noteikumu divu izteiksmju summas atvasinājuma atrašanai, likumu konstantā faktora (Const) izņemšanai no atvasinājuma zīmes. Otrais termins 0,5 e^-x ir sarežģīta funkcija (tās atvasinājums ir -0,5 e^-x), 0,5 e^х – pirmais termiņš. (ch(x)) '=((e^x+e^-x)/2)' citā veidā: (0, 5 e^x+0, 5 e^-x)'=0, 5 e ^x-0, 5 e^-x, jo atvasinājums (e - x^{)' ir vienāds ar -1 reizi e}-x^{. Rezultāts ir atšķirība, un tas ir hiperboliskais sinuss sh(x).}Izvade: (ch(x))'=sh(x).

Apskatīsim piemēru, kā aprēķiniet funkcijas y=ch(x

3^{+1) atvasinājumu.}Saskaņā ar hiperboliskā kosinusa diferenciācijas noteikumu ar kompleksu argumentu y'=sh(x

3^{+1) (x} 3^{+1)', kur (x}3^{+1)'=3 x} 2^+0. Atbilde: šīs funkcijas atvasinājums ir 3 x

2^sh(x3^+1).

Aplūkoto funkciju tabulas atvasinājumi y=ch(x) un y=Cos(x)

Risinot piemērus, nav nepieciešams tos katru reizi diferencēt pēc piedāvātās shēmas, pietiek izmantot secinājumu.

Piemērs. Atšķiriet funkciju y=Cos(x)+Cos²(-x)-Ch(5 x). Viegli aprēķināt (izmantojiet tabulas datus), y'=-Sin(x) +Grēks(2x)-5 Sh(5x).