Matemātiskā statistika ir metodika, kas ļauj pieņemt pārdomātus lēmumus neskaidros apstākļos. Šī matemātikas nozare nodarbojas ar datu vākšanas un sistematizēšanas metožu izpēti, eksperimentu un eksperimentu ar masu nejaušību gala rezultātu apstrādi un jebkādu modeļu atklāšanu. Apsveriet matemātiskās statistikas pamatjēdzienus.
Atšķirība ar varbūtības teoriju
Matemātiskās statistikas metodes cieši krustojas ar varbūtību teoriju. Abas matemātikas nozares nodarbojas ar daudzu nejaušu parādību izpēti. Abas disciplīnas savieno robežu teorēmas. Tomēr starp šīm zinātnēm ir liela atšķirība. Ja varbūtības teorija nosaka procesa raksturlielumus reālajā pasaulē, pamatojoties uz matemātisko modeli, tad matemātiskā statistika dara pretējo - tā nosaka modeļa īpašībaspamatojoties uz novēroto informāciju.
Soļi
Matemātiskās statistikas pielietošanu var veikt tikai saistībā ar nejaušiem notikumiem vai procesiem, vai, pareizāk sakot, uz datiem, kas iegūti tos novērojot. Un tas notiek vairākos posmos. Pirmkārt, eksperimentu un eksperimentu dati tiek pakļauti noteiktai apstrādei. Tie ir pasūtīti skaidrības un analīzes vienkāršības labad. Pēc tam tiek veikts precīzs vai aptuvens novērotā nejaušības procesa nepieciešamo parametru novērtējums. Tie var būt:
- notikuma varbūtības novērtējums (tā varbūtība sākotnēji nav zināma);
- nenoteiktas sadalījuma funkcijas uzvedības izpēte;
- gaidu aplēse;
- dispersijas novērtējums
- utt.
Trešais posms ir jebkuru pirms analīzes izvirzīto hipotēžu pārbaude, t.i., atbildes iegūšana uz jautājumu, kā eksperimentu rezultāti atbilst teorētiskajiem aprēķiniem. Faktiski šis ir matemātiskās statistikas galvenais posms. Piemērs varētu būt apsvērt, vai novērotā nejaušā procesa uzvedība ir normālā sadalījuma robežās.
Iedzīvotāji
Matemātiskās statistikas pamatjēdzieni ietver vispārīgās un izlases populācijas. Šī disciplīna ir saistīta ar noteiktu objektu kopas izpēti attiecībā uz kādu īpašumu. Piemērs ir taksometra vadītāja darbs. Apsveriet šos nejaušos mainīgos:
- slodze vai klientu skaits: dienā, pirms pusdienām, pēc pusdienām, …;
- vidējais ceļojuma laiks;
- ienākošo pieteikumu skaits vai to piesaiste pilsētas rajoniem un daudz kas cits.
Vērts arī atzīmēt, ka ir iespējams izpētīt līdzīgu nejaušības procesu kopu, kas arī būs nejaušs lielums, ko var novērot.
Tātad matemātiskās statistikas metodēs visu pētāmo objektu kopumu vai dažādu novērojumu rezultātus, kas vienādos apstākļos tiek veikti konkrētam objektam, sauc par vispārējo populāciju. Citiem vārdiem sakot, matemātiski stingrāk, tas ir nejaušs mainīgais, kas tiek definēts elementāru notikumu telpā, un tajā ir norādīta apakškopu klase, kuras elementiem ir zināma varbūtība.
Izlases populācija
Ir gadījumi, kad kādu iemeslu (izmaksu, laika) dēļ nav iespējams vai nepraktiski veikt nepārtrauktu izpēti katra objekta izpētei. Piemēram, atvērt katru aizzīmogotā ievārījuma burku, lai pārbaudītu tā kvalitāti, ir apšaubāms lēmums, un nav iespējams novērtēt katras gaisa molekulas trajektoriju kubikmetrā. Šādos gadījumos tiek izmantota selektīvās novērošanas metode: no kopējās populācijas (parasti nejauši) tiek atlasīts noteikts objektu skaits, un tie tiek pakļauti to analīzei.
Šie jēdzieni sākumā var šķist sarežģīti. Tāpēc, lai pilnībā izprastu tēmu, jums ir jāizpēta V. E. Gmurmana mācību grāmata "Varbūtību teorija un matemātiskā statistika". Tādējādi izlases kopa vai paraugs ir objektu sērija, kas nejauši atlasīta no vispārējās kopas. Stingrā matemātiskā izteiksmē šī ir neatkarīgu, vienmērīgi sadalītu nejaušības lielumu secība, un katram no tiem sadalījums sakrīt ar sadalījumu, kas norādīts vispārīgajam gadījuma mainīgajam.
Pamatjēdzieni
Īsumā aplūkosim vairākus citus matemātiskās statistikas pamatjēdzienus. Objektu skaitu vispārējā populācijā vai izlasē sauc par apjomu. Eksperimenta laikā iegūtās izlases vērtības sauc par parauga realizāciju. Lai vispārējās populācijas novērtējums, kas balstīts uz izlasi, būtu ticams, ir svarīgi izveidot tā saukto reprezentatīvo vai reprezentatīvo paraugu. Tas nozīmē, ka izlasei pilnībā jāatspoguļo kopa. To var panākt tikai tad, ja visiem kopas elementiem ir vienāda iespēja būt izlasē.
Paraugi atšķir atgriešanu un neatgriešanos. Pirmajā gadījumā izlases saturā atkārtotais elements tiek atgriezts vispārējā kopā, otrajā gadījumā tas nav. Parasti praksē tiek izmantota paraugu ņemšana bez aizstāšanas. Jāņem vērā arī tas, ka vispārējās populācijas lielums vienmēr ievērojami pārsniedz izlases lielumu. Pastāvdaudzas izlases procesa iespējas:
- vienkāršs - preces tiek nejauši atlasītas pa vienai;
- drukāts - vispārējā populācija tiek sadalīta tipos, un no katra tiek veikta izvēle; piemērs ir iedzīvotāju aptauja: vīrieši un sievietes atsevišķi;
- mehāniski - piemēram, atlasiet katru 10. elementu;
- serial - atlase tiek veikta elementu sērijās.
Statistikas sadalījums
Pēc Gmurmana domām, varbūtību teorija un matemātiskā statistika ir ārkārtīgi svarīgas zinātnes pasaules disciplīnas, īpaši tās praktiskajā daļā. Apsveriet izlases statistisko sadalījumu.
Pieņemsim, ka mums ir skolēnu grupa, kas tika pārbaudīti matemātikā. Rezultātā mums ir aprēķinu kopa: 5, 3, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 4, 4, 5 - šis ir mūsu galvenais statistikas materiāls.
Vispirms tas ir jāsakārto vai jāveic ranžēšanas darbība: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 - un tādējādi jāiegūst variāciju sērija. Katra vērtējuma atkārtojumu skaitu sauc par novērtēšanas biežumu, un to attiecību pret izlases lielumu sauc par relatīvo biežumu. Izveidosim izlases statistiskā sadalījuma tabulu vai vienkārši statistikas sēriju:
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1 | 1 | 2 | 4 | 3 |
vai
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1/11 | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 3/11 |
Iegūsim nejaušu lielumu, uz kura mēs veiksim virkni eksperimentu un redzēsim, kāda vērtība ir šim mainīgajam. Pieņemsim, ka viņa izmantoja vērtību a1 - m1 reizes; a2 - m2 reizes utt. Šī parauga lielums būs m1 + … + mk=m. Kopa ai, kur i mainās no 1 līdz k, ir statistikas sērija.
Intervālu sadalījums
Ve Gmurmana grāmatā "Varbūtību teorija un matemātiskā statistika" ir parādīta arī intervālu statistikas sērija. Tā apkopošana ir iespējama, ja pētāmā objekta vērtība ir nepārtraukta noteiktā intervālā un vērtību skaits ir liels. Apsveriet studentu grupu vai, pareizāk sakot, viņu augumu: 163, 180, 185, 172, 161, 171, 189, 157, 165, 174, 180, 181, 175, 182, 167, 159, 173, 61 179, 160, 180, 166, 178, 156, 180, 189, 173, 174, 175 - kopā 30 skolēni. Acīmredzot cilvēka augums ir nepārtraukta vērtība. Mums ir jādefinē intervāla solis. Šim nolūkam tiek izmantota Stērgesa formula.
| h= | maks. - min | = | 190 - 156 | = | 33 | = | 5, 59 |
| 1+log2m | 1+log230 | 5, 9 |
Tādējādi par intervāla lielumu var pieņemt vērtību 6. Jāsaka arī, ka vērtība 1+log2m ir formulaintervālu skaita noteikšana (protams, ar noapaļošanu). Tādējādi saskaņā ar formulām tiek iegūti 6 intervāli, no kuriem katra izmērs ir 6. Un sākotnējā intervāla pirmā vērtība būs skaitlis, kas noteikts pēc formulas: min - h / 2=156 - 6/2=153. Izveidosim tabulu, kurā būs ietverti intervāli un skolēnu skaits, kuru izaugsme iekrita noteiktā intervālā.
| H | [153; 159) | [159; 165) | [165; 171) | [171; 177) | [177; 183) | [183; 189) |
| P | 2 | 5 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| P | 0, 06 | 0, 17 | 0, 1 | 0, 3 | 0, 27 | 0, 1 |
Protams, tas vēl nav viss, jo matemātiskajā statistikā ir daudz vairāk formulu. Mēs esam apsvēruši tikai dažus pamatjēdzienus.
Izplatīšanas grafiks
Matemātiskās statistikas pamatjēdzieni ietver arī sadalījuma grafisko attēlojumu, kas izceļas ar skaidrību. Ir divu veidu diagrammas: daudzstūris un histogramma. Pirmo izmanto diskrētai statistikas sērijai. Un nepārtrauktai izplatīšanai attiecīgi otrais.
