Pie vārda "bezgalība" katram cilvēkam ir savas asociācijas. Daudzi savā iztēlē zīmē jūru, kas sniedzas aiz horizonta, bet citiem acu priekšā ir bezgalīgas zvaigžņotas debesis. Matemātiķi, kas pieraduši darboties ar skaitļiem, bezgalību iztēlojas pavisam savādāk. Daudzus gadsimtus viņi ir mēģinājuši atrast lielāko no fiziskajiem lielumiem, kas nepieciešami mērījumiem. Viens no tiem ir Grehema numurs. Cik nulles tajā ir un kam tas tiek izmantots, par to pastāstīs šis raksts.
Bezgala liels skaits
Matemātikā šis ir tāda mainīgā nosaukums x , ja jebkuram pozitīvam skaitlim M var norādīt naturālu skaitli N tā, ka visiem skaitļiem n ir lielāks par N nevienlīdzība |x | > M. Tomēr nē, piemēram, veselu skaitli Z nevar uzskatīt par bezgalīgi lielu, jo tas vienmēr būs mazāks par (Z + 1).
Daži vārdi par "milžiem"
Lielākie skaitļi, kuriem ir fiziska nozīme, tiek uzskatīti par:
- 1080. Šo skaitli, ko parasti sauc par kvinkvavigintiljonu, izmanto, lai apzīmētu aptuveno kvarku un leptonu (mazāko daļiņu) skaitu Visumā.
- 1 Google. Šāds skaitlis decimālajā sistēmā tiek ierakstīts kā vienība ar 100 nullēm. Saskaņā ar dažiem matemātiskajiem modeļiem no lielā sprādziena brīža līdz masīvākā melnā cauruma eksplozijai jāpaiet no 1 līdz 1,5 googola gadiem, pēc kuriem mūsu Visums pāriet uz savas pastāvēšanas pēdējo posmu, t.i., mēs varam pieņemsim, ka šim skaitlim ir noteikta fiziska nozīme.
- 8, 5 x 10185. Planka konstante ir 1,616199 x 10-35 m, t.i., decimāldaļās tā izskatās kā 0,000000000000000000000000000000616199 m. Ir aptuveni 1 googol Planck garums collā. Tiek lēsts, ka aptuveni 8,5 x 10185 Plānu garumi var ietilpt visā mūsu Visumā.
- 277 232 917 – 1. Šis ir lielākais zināmais pirmskaitlis. Ja tā binārajam apzīmējumam ir diezgan kompakta forma, tad, lai to attēlotu decimāldaļā, tas aizņems ne mazāk kā 13 miljonus rakstzīmju. Tas tika atrasts 2017. gadā Mersenna numuru meklēšanas projekta ietvaros. Ja entuziasti turpinās strādāt šajā virzienā, tad pie pašreizējā datortehnoloģiju attīstības līmeņa tuvākajā nākotnē, visticamāk, neizdosies atrast Mersenna skaitli, kas ir lielāks par 277 232 917- 1, lai gan tādslaimīgais uzvarētājs saņems 150 000 ASV dolāru.
- Hugoplex. Šeit mēs vienkārši ņemam 1 un pēc tā pievienojam nulles 1 googola apmērā. Varat rakstīt šo skaitli kā 10^10^100. To nav iespējams attēlot decimāldaļā, jo, ja visa Visuma telpa ir piepildīta ar papīra gabaliņiem, uz kuriem katrs būtu rakstīts 0 ar burtu “Word” lielumu 10, tad šajā gadījumā tikai puse no visi 0 aiz 1 tiktu iegūti googolplex skaitlim.
- 10^10^10^10^10^1.1. Šis ir skaitlis, kas parāda gadu skaitu, pēc kura saskaņā ar Puankarē teorēmu mūsu Visums nejaušu kvantu svārstību rezultātā atgriezīsies stāvoklī, kas ir tuvu šodienai.
Kā radās Grehema skaitļi
1977. gadā plaši pazīstamais zinātnes popularizētājs Martins Gārdners publicēja rakstu Scientific American par Grehema pierādījumu vienai no Ramse teorijas problēmām. Tajā viņš zinātnieka noteikto robežu nosauca par lielāko skaitli, kāds jebkad ir izmantots nopietnā matemātiskā spriešanā.
Kas ir Ronalds Lūiss Grehems
Zinātnieks, kuram tagad ir 80 gadi, ir dzimis Kalifornijā. 1962. gadā viņš ieguva doktora grādu matemātikā Bērklijas Universitātē. Viņš strādāja Bell Labs 37 gadus un vēlāk pārcēlās uz AT&T Labs. Zinātnieks aktīvi sadarbojās ar vienu no izcilākajiem 20. gadsimta matemātiķiem Palu Erdīsu un ir daudzu prestižu balvu ieguvējs. Grehema zinātniskajā bibliogrāfijā ir vairāk nekā 320 zinātnisku rakstu.
70. gadu vidū zinātnieku interesēja problēma, kas saistīta ar teorijuRemzijs. Pierādījumā tika noteikta risinājuma augšējā robeža, kas ir ļoti liels skaitlis, kas vēlāk tika nosaukts Ronalda Grehema vārdā.
Hiperkuba problēma
Lai saprastu Grehema skaitļa būtību, vispirms jāsaprot, kā tas iegūts.
Zinātnieks un viņa kolēģis Brūss Rotšilds risināja šādu problēmu:
Ir n-dimensiju hiperkubs. Visi tā virsotņu pāri ir savienoti tā, lai iegūtu pilnu grafu ar 2virsotnēm. Katra tā mala ir nokrāsota zilā vai sarkanā krāsā. Bija jāatrod minimālais virsotņu skaits, kam jābūt hiperkubam, lai katrā šādā krāsojumā būtu pilns monohromatisks apakšgrāfs ar 4 virsotnēm, kas atrodas vienā plaknē.
Lēmums
Grehems un Rotšilds pierādīja, ka problēmai ir risinājums N', kas atbilst nosacījumam 6 ⩽ N' ⩽N, kur N ir labi definēts, ļoti liels skaitlis.
N apakšējo robežu pēc tam precizēja citi zinātnieki, kuri pierādīja, ka N ir jābūt lielākam vai vienādam ar 13. Tādējādi tika iegūta izteiksme mazākajam hiperkuba virsotņu skaitam, kas atbilst iepriekš minētajiem nosacījumiem. 13 ⩽ N'⩽ N.
Knuta bultiņas apzīmējums
Pirms Grehema skaitļa definēšanas jums jāiepazīstas ar tā simboliskās attēlošanas metodi, jo ne decimāldaļas, ne binārais apzīmējums tam nav absolūti piemērots.
Šobrīd šī daudzuma attēlošanai tiek izmantots Knuta bultiņas apzīmējums. Pēc viņas teiktā:
ab=a bultiņa uz augšu b.
Daudzkārtējai kāpināšanai tika ieviests ieraksts:
a "bultiņa uz augšu" "bultiņa uz augšu" b=ab="tornis, kas sastāv no a b gabalu daudzumā."
Un pentācijai, t.i., simboliski iepriekšējā operatora atkārtotas kāpināšanas apzīmējumam, Knuts jau izmantoja 3 bultiņas.
Izmantojot šo apzīmējumu Grehema skaitlim, mums ir ligzdotas "bultiņu" secības 64 gab.
Mērogs
Viņu slavenais skaitlis, kas rosina iztēli un paplašina cilvēka apziņas robežas, izvedot to ārpus Visuma robežām, Grehems un viņa kolēģi to ieguva kā augšējo robežu skaitļam N hiperkuba pierādījumā. iepriekš aprakstītā problēma. Vienkāršam cilvēkam ir ārkārtīgi grūti iedomāties, cik liels ir tā mērogs.
Jautājums par rakstzīmju skaitu vai, kā dažreiz kļūdaini saka, nullēm Grehema ciparā, interesē gandrīz ikvienu, kurš par šo vērtību dzird pirmo reizi.
Pietiek pateikt, ka mums ir darīšana ar strauji augošu virkni, kas sastāv no 64 dalībniekiem. Pat tā pirmo terminu nav iespējams iedomāties, jo tas sastāv no n "torņiem", kas sastāv no 3 līdz. Jau tā "apakšējais stāvs" 3 trīskārši ir vienāds ar 7 625 597 484 987, t.i., pārsniedz 7 miljardus, tātad par 64. stāvu (nav biedrs!). Tādējādi pašlaik nav iespējams precīzi pateikt, kas ir Grehema skaitlis, jo ar to nepietiek, lai to aprēķinātu.visu šodien uz Zemes esošo datoru kopējā jauda.
Rekords ir bojāts?
Kruskala teorēmas pierādīšanas procesā Grehema skaitlis tika “nomests no pjedestāla”. Zinātnieks ierosināja šādu problēmu:
Ir bezgalīga ierobežotu koku virkne. Kruskals pierādīja, ka vienmēr pastāv kāda grafa sadaļa, kas ir gan lielāka grafa daļa, gan precīza tā kopija. Šis apgalvojums nerada nekādas šaubas, jo ir skaidrs, ka bezgalībā vienmēr būs precīzi atkārtota kombinācija
Vēlāk Hārvijs Frīdmens šo problēmu nedaudz sašaurināja, ņemot vērā tikai tādus acikliskus grafikus (kokus), ka konkrētajam ar koeficientu i ir ne vairāk kā (i + k) virsotnes. Viņš nolēma noskaidrot, kādam jābūt aciklisko grafiku skaitam, lai ar šo to uzdevuma metodi vienmēr būtu iespējams atrast apakškoku, kas tiktu iegults citā kokā.
Šī jautājuma izpētes rezultātā tika konstatēts, ka N atkarībā no k aug ar milzīgu ātrumu. Konkrēti, ja k=1, tad N=3. Tomēr pie k=2 N jau sasniedz 11. Interesantākais sākas tad, kad k=3. Šajā gadījumā N strauji "paceļas" un sasniedz vērtību, kas ir daudzkārt lielāks par Grehema skaitli. Lai iedomāties, cik liels tas ir, pietiek pierakstīt Ronalda Grehema aprēķināto skaitli G64 formā (3). Tad Frīdmana-Kruskala vērtība (rev. FinKraskal(3)) būs G(G(187196)) kārtībā. Citiem vārdiem sakot, tiek iegūta mega vērtība, kas ir bezgalīgi lielākaneiedomājami liels Grehema skaitlis. Tajā pašā laikā pat tas būs milzīgi daudz reižu mazāks par bezgalību. Ir lietderīgi par šo koncepciju runāt sīkāk.
Bezgalība
Tagad, kad esam izskaidrojuši, kas ir Grehema skaitlis uz pirkstiem, mums vajadzētu saprast nozīmi, kas ir bijusi un tiek ieguldīta šajā filozofiskajā koncepcijā. Galu galā “bezgalība” un “bezgalīgi liels skaits” noteiktā kontekstā var tikt uzskatītas par identiskām.
Lielāko ieguldījumu šī jautājuma izpētē sniedza Aristotelis. Lielais senatnes domātājs bezgalību sadalīja potenciālajā un faktiskajā. Ar pēdējo viņš domāja bezgalīgu lietu esamības realitāti.
Saskaņā ar Aristotelis ideju avoti par šo pamatjēdzienu ir:
- laiks;
- vērtību atdalīšana;
- robežas jēdziens un kaut kā ārpus tās esošā esamība;
- radošās dabas neizsmeļamība;
- domāšana, kam nav robežu.
Mūsdienu bezgalības interpretācijā nevar norādīt kvantitatīvu mēru, tāpēc lielākā skaitļa meklēšana var turpināties mūžīgi.
Secinājums
Vai metaforu "Skatiens bezgalībā" un Grehema skaitli var kaut kādā ziņā uzskatīt par sinonīmiem? Drīzāk jā un nē. Abus nav iespējams iedomāties pat ar visspēcīgāko iztēli. Tomēr, kā jau minēts, to nevar uzskatīt par "visvairāk, visvairāk". Cita lieta, ka šobrīd vērtībām, kas ir lielākas par Grehema skaitli, nav noteiktasfiziskā sajūta.
Tāpat tam nav bezgalīga skaitļaīpašību, piemēram:
- ∞ + 1=∞;
- ir bezgalīgs skaits gan nepāra, gan pāra skaitļu;
- ∞ - 1=∞;
- nepāra skaitļu skaits ir tieši puse no visiem skaitļiem;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Rezumējot: Grehema skaitlis ir lielākais skaitlis matemātiskās pierādīšanas praksē saskaņā ar Ginesa rekordu grāmatu. Tomēr ir skaitļi, kas ir daudzkārt lielāki par šo vērtību.
Visticamāk, nākotnē būs nepieciešami vēl lielāki "milži", īpaši, ja cilvēks iziet ārpus mūsu Saules sistēmas vai izdomā kaut ko neiedomājamu mūsu pašreizējā apziņas līmenī.
