Matemātika būtībā ir abstrakta zinātne, ja mēs attālināmies no elementāriem jēdzieniem. Tātad uz pāris āboliem var vizuāli attēlot pamatoperācijas, kas ir matemātikas pamatā, taču, tiklīdz darbības plakne paplašinās, šie objekti kļūst nepietiekami. Vai kāds ir mēģinājis uz āboliem attēlot darbības ar bezgalīgām kopām? Tā ir lieta, nē. Jo sarežģītāki kļuva jēdzieni, ar kuriem matemātika darbojas savos spriedumos, jo problemātiskāka šķita to vizuālā izpausme, kas būtu paredzēta izpratnes veicināšanai. Taču gan mūsdienu studentu, gan zinātnes laimei kopumā tika iegūti Eilera apļi, kuru piemērus un iespējas aplūkosim tālāk.
Mazliet vēstures
1707. gada 17. aprīlī pasaule zinātnei pasniedza Leonhardu Eileru, izcilu zinātnieku, kura ieguldījumu matemātikā, fizikā, kuģu būvē un pat mūzikas teorijā nevar pārvērtēt.
Viņa darbi ir atzīti un pieprasīti visā pasaulē līdz pat mūsdienām, neskatoties uz to, ka zinātne nestāv uz vietas. Īpaši interesants ir fakts, ka Eilera kungs tieši piedalījās krievu augstākās matemātikas skolas veidošanā, jo īpaši tāpēc, ka pēc likteņa gribas viņš divas reizes atgriezās mūsu valstī. Zinātniekam bija unikāla spēja izveidot savā loģikā caurspīdīgus algoritmus, nogriežot visu lieko un pēc iespējas īsākā laikā pārejot no vispārējā uz konkrēto. Mēs neuzskaitīsim visus viņa nopelnus, jo tas prasīs daudz laika, un mēs pievērsīsimies tieši raksta tēmai. Tas bija viņš, kurš ieteica izmantot komplektu operāciju grafisku attēlojumu. Eilera apļi spēj vizualizēt jebkuras, pat vissarežģītākās problēmas risinājumu.
Kāda jēga?
Praksē Eilera apļus, kuru shēma ir parādīta zemāk, var izmantot ne tikai matemātikā, jo jēdziens "kopa" ir raksturīgs ne tikai šai disciplīnai. Tātad tie tiek veiksmīgi pielietoti pārvaldībā.
Iepriekšējā diagramma parāda kopu A (neracionālie skaitļi), B (racionālie skaitļi) un C (dabiskie skaitļi) attiecības. Apļi parāda, ka kopa C ir iekļauta kopā B, savukārt kopa A ar tām nekādā veidā nekrustojas. Piemērs ir visvienkāršākais, taču tas skaidri izskaidro "kopu attiecību" specifiku, kas ir pārāk abstraktas reālai salīdzināšanai kaut vai to bezgalības dēļ.
Loģikas algebra
Šis apgabalsmatemātiskā loģika darbojas ar apgalvojumiem, kas var būt gan patiesi, gan nepatiesi. Piemēram, no elementāra: skaitlis 625 dalās ar 25, skaitlis 625 dalās ar 5, skaitlis 625 ir pirmskaitlis. Pirmais un otrais apgalvojums ir patiesi, bet pēdējais ir nepatiess. Protams, praksē viss ir sarežģītāk, bet būtība ir skaidri parādīta. Un, protams, risinājumā atkal ir iesaistīti Eilera apļi, piemēri ar to lietošanu ir pārāk ērti un vizuāli, lai tos ignorētu.
Mazliet teorijas:
- Ļaujiet kopas A un B pastāvēt un nav tukšas, tad tām tiek definētas šādas krustošanās, savienošanas un noliegšanas darbības.
- Kopu A un B krustpunkts sastāv no elementiem, kas vienlaikus pieder gan kopai A, gan kopai B.
- Kopu A un B savienība sastāv no elementiem, kas pieder kopai A vai kopai B.
- Kopa A noliegums ir kopa, kas sastāv no elementiem, kas nepieder kopai A.
To visu loģikā atkal attēlo Eilera apļi, jo ar to palīdzību katrs uzdevums, neatkarīgi no sarežģītības pakāpes, kļūst acīmredzams un vizuāls.
Loģikas algebras aksiomas
Pieņemsim, ka 1 un 0 pastāv un ir definēti kopā A, tad:
- kopas A nolieguma noliegums ir iestatīts A;
- kopas A savienojums ar not_A ir 1;
- kopas A savienojums ar 1 ir 1;
- kopas A savienojums ar sevi ir kopa A;
- A komplekta savienojumsar 0 ir kopa A;
- kopas A krustpunkts ar not_A ir 0;
- kopas A krustpunkts ar sevi ir iestatīts A;
- kopas A krustpunkts ar 0 ir 0;
- kopas A krustpunkts ar 1 ir iestatīts A.
Loģikas algebras pamatīpašības
Ļaujiet kopas A un B pastāvēt un nav tukšas, tad:
- kopu A un B krustpunktam un savienojumam tiek piemērots komutatīvais likums;
- kombinācijas likums attiecas uz kopu A un B krustpunktu un savienojumu;
- uz kopu A un B krustpunktu un savienojumu attiecas sadales likums;
- kopu A un B krustpunkta noliegums ir kopu A un B noliegumu krustpunkts;
- kopu A un B savienojuma noliegums ir kopu A un B noliegumu savienība.
Tālāk redzami Eilera apļi, kopu A, B un C krustošanās un savienojuma piemēri.
Izredzes
Leonharda Eilera darbi pamatoti tiek uzskatīti par mūsdienu matemātikas pamatu, taču tagad tos veiksmīgi izmanto cilvēka darbības jomās, kas radušās salīdzinoši nesen, piemēram, korporatīvo pārvaldību: Eilera apļi, piemēri un grafiki apraksta izstrādes modeļi, vai tā būtu krievu vai angļu-amerikāņu versija.
