Mehānisku sistēmu, kas sastāv no materiāla punkta (ķermeņa), kas karājas uz nestiepjama bezsvara pavediena (tā masa ir niecīga salīdzinājumā ar ķermeņa svaru) vienmērīgā gravitācijas laukā, sauc par matemātisko svārstu (cits nosaukums ir oscilators). Ir arī citi šīs ierīces veidi. Vītnes vietā var izmantot bezsvara stieni. Matemātiskais svārsts var skaidri atklāt daudzu interesantu parādību būtību. Ar nelielu svārstību amplitūdu tās kustību sauc par harmonisku.
Mehāniskās sistēmas pārskats
Šī svārsta svārstību perioda formulu atvasināja holandiešu zinātnieks Haigenss (1629-1695). Šim I. Ņūtona laikabiedram šī mehāniskā sistēma ļoti patika. 1656. gadā viņš izveidoja pirmo svārsta pulksteni. Viņi mērīja laiku izcilipar tiem laikiem precizitāti. Šis izgudrojums ir kļuvis par nozīmīgu pavērsienu fizisko eksperimentu un praktisko darbību attīstībā.
Ja svārsts atrodas līdzsvarā (karājas vertikāli), gravitācijas spēks tiks līdzsvarots ar vītnes spriegojuma spēku. Plakans svārsts uz neizstiepjamas vītnes ir sistēma ar divām brīvības pakāpēm ar savienojumu. Mainot tikai vienu komponentu, mainās visu tā daļu īpašības. Tātad, ja vītne tiek aizstāta ar stieni, tad šai mehāniskajai sistēmai būs tikai 1 brīvības pakāpe. Kādas ir matemātiskā svārsta īpašības? Šajā vienkāršākajā sistēmā haoss rodas periodisku traucējumu ietekmē. Gadījumā, ja piekares punkts nekustas, bet svārstās, svārstam ir jauns līdzsvara stāvoklis. Ar straujām augšup un lejup svārstībām šī mehāniskā sistēma iegūst stabilu apgrieztu stāvokli. Viņai ir arī savs vārds. To sauc par Kapicas svārstu.
Svārsta īpašības
Matemātikas svārstam ir ļoti interesantas īpašības. Tos visus apstiprina zināmie fiziskie likumi. Jebkura cita svārsta svārstību periods ir atkarīgs no dažādiem apstākļiem, piemēram, ķermeņa izmēra un formas, attāluma starp balstiekārtas punktu un smaguma centru, masas sadalījuma attiecībā pret šo punktu. Tāpēc nokarenā ķermeņa perioda noteikšana ir diezgan grūts uzdevums. Daudz vienkāršāk ir aprēķināt matemātiskā svārsta periodu, kura formula tiks dota zemāk. Līdzīgu novērojumu rezultātāmehāniskās sistēmas var izveidot šādus modeļus:
• Ja, saglabājot vienādu svārsta garumu, mēs piekarinām dažādus atsvarus, tad to svārstību periods būs vienāds, lai gan to masas būs ļoti atšķirīgas. Tāpēc šāda svārsta periods nav atkarīgs no slodzes masas.
• Iedarbinot sistēmu, ja svārsts tiek novirzīts ne pārāk lielos, bet dažādos leņķos, tas sāks svārstīties ar vienu un to pašu periodu, bet ar dažādām amplitūdām. Kamēr novirzes no līdzsvara centra nav pārāk lielas, svārstības to formā būs diezgan tuvas harmoniskām. Šāda svārsta periods nekādā veidā nav atkarīgs no svārstību amplitūdas. Šo šīs mehāniskās sistēmas īpašību sauc par izohronismu (tulkojumā no grieķu valodas "chronos" - laiks, "isos" - vienāds).
Matemātiskā svārsta periods
Šis rādītājs apzīmē dabisko svārstību periodu. Neskatoties uz sarežģīto formulējumu, pats process ir ļoti vienkāršs. Ja matemātiskā svārsta vītnes garums ir L un brīvā kritiena paātrinājums ir g, tad šī vērtība ir:
T=2π√L/g
Mazo dabisko svārstību periods nekādā veidā nav atkarīgs no svārsta masas un svārstību amplitūdas. Šajā gadījumā svārsts pārvietojas kā matemātisks svārsts ar samazinātu garumu.
Matemātiskā svārsta šūpoles
Svārstās matemātiskais svārsts, ko var aprakstīt ar vienkāršu diferenciālvienādojumu:
x + ω2 sin x=0, kur x (t) ir nezināma funkcija (tas ir novirzes leņķis no apakšējāslīdzsvara stāvoklis brīdī t, izteikts radiānos); ω ir pozitīva konstante, ko nosaka no svārsta parametriem (ω=√g/L, kur g ir brīvā kritiena paātrinājums un L ir matemātiskā svārsta (piekares) garums).
Nelielu svārstību vienādojums līdzsvara stāvokļa tuvumā (harmoniskais vienādojums) izskatās šādi:
x + ω2 sin x=0
Svārsta svārstības
Matemātisks svārsts, kas rada nelielas svārstības, kas pārvietojas pa sinusoīdu. Otrās kārtas diferenciālvienādojums atbilst visām šādas kustības prasībām un parametriem. Lai noteiktu trajektoriju, jānorāda ātrums un koordinātas, no kurām pēc tam nosaka neatkarīgas konstantes:
x=grēks (θ0 + ωt), kur θ0 ir sākuma fāze, A ir svārstību amplitūda, ω ir cikliskā frekvence, kas noteikta no kustības vienādojuma.
Matemātiskais svārsts (formulas lielām amplitūdām)
Šī mehāniskā sistēma, kas rada savas svārstības ar ievērojamu amplitūdu, pakļaujas sarežģītākiem kustības likumiem. Šādam svārstam tos aprēķina pēc formulas:
sin x/2=usn(ωt/u), kur sn ir Jakobi sinuss, kas u < 1 ir periodiska funkcija, un mazajam u tas sakrīt ar vienkāršu trigonometrisko sinusu. u vērtību nosaka šāda izteiksme:
u=(ε + ω2)/2ω2, kur ε=E/mL2 (mL2 ir svārsta enerģija).
Nelineāra svārsta svārstību perioda noteikšanaveic pēc formulas:
T=2π/Ω, kur Ω=π/2ω/2K(u), K ir eliptiskais integrālis, π - 3, 14.
Svārsta kustība pa separatoru
Separatrikss ir dinamiskas sistēmas trajektorija ar divdimensiju fāzes telpu. Matemātiskais svārsts pa to pārvietojas neperiodiski. Bezgalīgi tālā laika brīdī tas nokrīt no galējās augšējās pozīcijas uz sāniem ar nulles ātrumu, pēc tam pamazām to paceļ. Tas beidzot apstājas, atgriežoties sākotnējā pozīcijā.
Ja svārsta svārstību amplitūda tuvojas skaitlim π, tas norāda, ka kustība fāzes plaknē tuvojas separatriksam. Šajā gadījumā, iedarbojoties nelielam periodiskam spēkam, mehāniskā sistēma uzrāda haotisku darbību.
Kad matemātiskais svārsts novirzās no līdzsvara stāvokļa ar noteiktu leņķi φ, rodas tangenciālais gravitācijas spēks Fτ=–mg sin φ. Mīnusa zīme nozīmē, ka šī tangenciālā sastāvdaļa ir vērsta pretējā virzienā no svārsta novirzes. Ja svārsta pārvietojumu pa apļa ar rādiusu L loku apzīmē ar x, tā leņķiskā nobīde ir vienāda ar φ=x/L. Otrais Īzaka Ņūtona likums, kas paredzēts paātrinājuma vektora un spēka projekcijām, dos vēlamo vērtību:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Pamatojoties uz šo attiecību, ir skaidrs, ka šis svārsts ir nelineāra sistēma, jo spēks, kas cenšas atgrieztiestas līdzsvara stāvoklim vienmēr ir proporcionāls nevis pārvietojumam x, bet gan sin x/L.
Tikai tad, kad matemātiskais svārsts rada nelielas svārstības, tas ir harmonisks oscilators. Citiem vārdiem sakot, tā kļūst par mehānisku sistēmu, kas spēj veikt harmoniskas vibrācijas. Šis tuvinājums ir praktiski spēkā 15–20° leņķiem. Svārsta svārstības ar lielu amplitūdu nav harmoniskas.
Ņūtona likums mazām svārsta svārstībām
Ja šī mehāniskā sistēma veic nelielas vibrācijas, Ņūtona 2. likums izskatīsies šādi:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Pamatojoties uz to, varam secināt, ka matemātiskā svārsta tangenciālais paātrinājums ir proporcionāls tā pārvietojumam ar mīnusa zīmi. Šis ir stāvoklis, kura dēļ sistēma kļūst par harmonisku oscilatoru. Proporcionālā pastiprinājuma modulis starp pārvietojumu un paātrinājumu ir vienāds ar apļveida frekvences kvadrātu:
ω02=g/l; ω0=√ g/L.
Šī formula atspoguļo šāda veida svārsta mazu svārstību dabisko frekvenci. Pamatojoties uz to, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Aprēķini, pamatojoties uz enerģijas nezūdamības likumu
Svārsta svārstīgo kustību īpašības var aprakstīt arī, izmantojot enerģijas nezūdamības likumu. Šajā gadījumā jāņem vērā, ka svārsta potenciālā enerģija gravitācijas laukā ir:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Kopējā mehāniskā enerģijavienāds ar kinētisko vai maksimālo potenciālu: Epmax=Ekmsx=E
Pēc tam, kad ir uzrakstīts enerģijas nezūdamības likums, ņemiet vienādojuma labās un kreisās puses atvasinājumu:
Ep + Ek=const
Tā kā konstanto vērtību atvasinājums ir 0, tad (Ep + Ek)'=0. Summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2 (v2)'=m/22vv'=mv α, tātad:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Pamatojoties uz pēdējo formulu, mēs atrodam: α=- g/Lx.
Matemātiskā svārsta praktiska pielietošana
Brīvā kritiena paātrinājums atšķiras atkarībā no ģeogrāfiskā platuma, jo zemes garozas blīvums uz visas planētas nav vienāds. Kur ir ieži ar lielāku blīvumu, tas būs nedaudz lielāks. Matemātiskā svārsta paātrinājumu bieži izmanto ģeoloģiskajā izpētē. To izmanto dažādu minerālu meklēšanai. Vienkārši saskaitot svārsta šūpošanos skaitu, jūs varat atrast ogles vai rūdu Zemes zarnās. Tas ir saistīts ar faktu, ka šādu fosiliju blīvums un masa ir lielāka nekā irdenajiem iežiem, kas atrodas to pamatā.
Matemātisko svārstu izmantoja tādi ievērojami zinātnieki kā Sokrāts, Aristotelis, Platons, Plutarhs, Arhimēds. Daudzi no viņiem uzskatīja, ka šī mehāniskā sistēma var ietekmēt cilvēka likteni un dzīvi. Arhimēds savos aprēķinos izmantoja matemātisko svārstu. Mūsdienās daudzi okultisti un ekstrasensiizmantojiet šo mehānisko sistēmu, lai piepildītu viņu pravietojumus vai meklētu pazudušus cilvēkus.
Slavenais franču astronoms un dabaszinātnieks K. Flamarons saviem pētījumiem izmantoja arī matemātisko svārstu. Viņš apgalvoja, ka ar viņa palīdzību spējis paredzēt jaunas planētas atklāšanu, Tunguskas meteorīta parādīšanos un citus svarīgus notikumus. Otrā pasaules kara laikā Vācijā (Berlīnē) darbojās specializēts Svārsta institūts. Mūsdienās Minhenes Parapsiholoģijas institūts nodarbojas ar līdzīgiem pētījumiem. Šīs iestādes darbinieki savu darbu ar svārstu sauc par "radiestēziju".
