Matricas: Gausa metode. Gausa matricas aprēķins: piemēri

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Lineārā algebra, ko augstskolās māca dažādās specialitātēs, apvieno daudzas sarežģītas tēmas. Dažas no tām ir saistītas ar matricām, kā arī ar lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšanu ar Gausa un Gausa-Jordāna metodēm. Ne visiem skolēniem izdodas izprast šīs tēmas, dažādu problēmu risināšanas algoritmus. Sapratīsim kopā Gausa un Gausa-Jordānas matricas un metodes.

Pamatjēdzieni

Matrica lineārajā algebrā ir taisnstūrveida elementu masīvs (tabula). Tālāk ir norādītas iekavās ievietotas elementu kopas. Tās ir matricas. No iepriekš minētā piemēra var redzēt, ka taisnstūra masīvu elementi nav tikai skaitļi. Matrica var sastāvēt no matemātiskām funkcijām, algebriskiem simboliem.

Lai saprastu dažus jēdzienus, izveidosim matricu A no elementiem a_ij. Indeksi nav tikai burti: i ir tabulas rindas numurs, un j ir kolonnas numurs, kuras krustpunkta apgabalā atrodas elementsa_ij. Tātad, mēs redzam, ka mums ir tādu elementu matrica kā a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ un tā tālāk Burts n apzīmē kolonnu skaitu, bet burts m apzīmē rindu skaitu. Simbols m × n apzīmē matricas izmēru. Šis ir jēdziens, kas nosaka rindu un kolonnu skaitu taisnstūrveida elementu masīvā.

Pēc izvēles matricai ir jābūt vairākām kolonnām un rindām. Ar izmēru 1 × n elementu masīvs ir vienas rindas, un ar izmēru m × 1 tas ir vienas kolonnas masīvs. Ja rindu un kolonnu skaits ir vienāds, matricu sauc par kvadrātu. Katrai kvadrātmatricai ir determinants (det A). Šis termins attiecas uz numuru, kas piešķirts matricai A.

Vēl daži svarīgi jēdzieni, kas jāatceras, lai veiksmīgi atrisinātu matricas, ir galvenās un sekundārās diagonāles. Matricas galvenā diagonāle ir diagonāle, kas iet uz leju līdz galda labajā stūrī no augšējā kreisā stūra. Sānu diagonāle iet uz labo stūri uz augšu no kreisā stūra no apakšas.

Pakāpienu matricas skats

Apskatiet attēlu zemāk. Uz tā jūs redzēsit matricu un diagrammu. Vispirms tiksim galā ar matricu. Lineārajā algebrā šāda veida matricu sauc par soļu matricu. Tam ir viena īpašība: ja a_ij ir pirmais elements, kas nav nulle i-tajā rindā, tad visi pārējie elementi no matricas zemāk un pa kreisi no a_ij , ir nulles (t.i., visi tie elementi, kuriem var piešķirt burtu apzīmējumu a_kl, kur k>i unl<j).

Tagad apsveriet diagrammu. Tas atspoguļo matricas pakāpenisko formu. Shēma parāda 3 veidu šūnas. Katrs veids apzīmē noteiktus elementus:

• tukšas šūnas - nulle matricas elementu;
• ēnotās šūnas ir patvaļīgi elementi, kas var būt gan nulle, gan nulle citāda;
• melnie kvadrāti ir elementi, kas nav nulles elementi, kurus sauc par stūra elementiem, “soļiem” (blakus redzamajā matricā tādi elementi ir skaitļi –1, 5, 3, 8).

Atrisinot matricas, dažkārt rezultāts ir tāds, ka soļa "garums" ir lielāks par 1. Tas ir atļauts. Tikai pakāpienu "augstumam" ir nozīme. Pakāpju matricā šim parametram vienmēr ir jābūt vienādam ar vienu.

Matricas samazināšana līdz soļu formai

Jebkuru taisnstūrveida matricu var pārveidot par pakāpju formu. Tas tiek darīts ar elementāru pārveidojumu palīdzību. Tajos ietilpst:

• virkņu pārkārtošana;
• Citas rindas pievienošana vienai rindai, ja nepieciešams, reizinot ar kādu skaitli (var veikt arī atņemšanas darbību).

Aplūkosim elementāras pārvērtības konkrētas problēmas risināšanā. Zemāk esošajā attēlā ir parādīta matrica A, kas jāsamazina līdz pakāpeniskajai formai.

Lai atrisinātu problēmu, mēs ievērosim algoritmu:

• Ir ērti veikt transformācijas uz matricas arpirmais elements augšējā kreisajā stūrī (t.i., "vadošais" elements) ir 1 vai -1. Mūsu gadījumā pirmais elements augšējā rindā ir 2, tāpēc apmainīsim pirmo un otro rindu.
• Veiksim atņemšanas darbības, kas ietekmē 2., 3. un 4. rindu. Mums vajadzētu iegūt nulles pirmajā kolonnā zem elementa "vadošais". Lai sasniegtu šo rezultātu: no rindas Nr.2 elementiem secīgi atņemam rindas Nr.1 elementus, kas reizināti ar 2; no rindas Nr.3 elementiem secīgi atņemam rindas Nr.1 elementus, kas reizināti ar 4; no rindas Nr.4 elementiem secīgi atņemam rindas Nr.1 elementus.
• Tālāk mēs strādāsim ar saīsinātu matricu (bez kolonnas 1 un bez rindas 1). Jaunais "vadošais" elements, kas atrodas otrās kolonnas un otrās rindas krustpunktā, ir vienāds ar -1. Rindas nav jāpārkārto, tāpēc pirmo kolonnu un pirmo un otro rindu pārrakstām bez izmaiņām. Veiksim atņemšanas darbības, lai otrajā kolonnā zem elementa "vadošā" iegūtu nulles: no trešās rindas elementiem secīgi atņemam otrās rindas elementus, kas reizināti ar 3; no ceturtās rindas elementiem atņemiet otrās rindas elementus, kas reizināti ar 2.
• Atliek mainīt pēdējo rindiņu. No tā elementiem secīgi atņemam trešās rindas elementus. Tādējādi mēs ieguvām pakāpenisku matricu.

Matricu reducēšana uz soļu formu tiek izmantota lineāro vienādojumu sistēmu (SLE) risināšanā ar Gausa metodi. Pirms šīs metodes apskatīšanas, sapratīsim dažus ar SLN saistītos terminus.

Matricas un lineāro vienādojumu sistēmas

Matricas izmanto dažādās zinātnēs. Izmantojot skaitļu tabulas, varat, piemēram, atrisināt lineāros vienādojumus, kas apvienoti sistēmā, izmantojot Gausa metodi. Vispirms iepazīsimies ar dažiem terminiem un to definīcijām, kā arī redzēsim, kā no sistēmas, kas apvieno vairākus lineārus vienādojumus, tiek veidota matrica.

SLU – vairāki kombinēti algebriskie vienādojumi ar nezināmiem pirmajiem pakāpēm un bez produkta terminiem.

SLE risinājums – atrastas nezināmo vērtības, kuras aizstājot vienādojumi sistēmā kļūst par identitātēm.

Savienota SLE ir vienādojumu sistēma, kurai ir vismaz viens risinājums.

Nekonsekventa SLE ir vienādojumu sistēma, kurai nav atrisinājumu.

Kā tiek veidota matrica, kuras pamatā ir sistēma, kas apvieno lineārus vienādojumus? Ir tādi jēdzieni kā sistēmas galvenās un paplašinātās matricas. Lai iegūtu sistēmas galveno matricu, tabulā jāievieto visi nezināmo koeficienti. Izvērstā matrica tiek iegūta, pievienojot galvenajai matricai brīvo terminu kolonnu (tajā ir zināmi elementi, kuriem tiek pielīdzināts katrs sistēmas vienādojums). Jūs varat saprast visu šo procesu, izpētot attēlu zemāk.

Pirmā lieta, ko mēs redzam attēlā, ir sistēma, kas ietver lineārus vienādojumus. Tās elementi: a_ij – skaitliskie koeficienti, x_j – nezināmas vērtības, b_i – konstanti termini (kur i=1, 2, …, m un j=1, 2, …, n). Otrais elements attēlā ir galvenā koeficientu matrica. No katra vienādojuma koeficienti tiek ierakstīti rindā. Rezultātā matricā ir tik daudz rindu, cik sistēmā ir vienādojumu. Kolonnu skaits ir vienāds ar lielāko koeficientu skaitu jebkurā vienādojumā. Trešais elements attēlā ir paplašināta matrica ar brīvu terminu kolonnu.

Vispārīga informācija par Gausa metodi

Lineārajā algebrā Gausa metode ir klasiskais SLE risināšanas veids. Tas nes Karla Frīdriha Gausa vārdu, kurš dzīvoja 18.-19.gs. Šis ir viens no visu laiku izcilākajiem matemātiķiem. Gausa metodes būtība ir elementāru transformāciju veikšana lineāro algebrisko vienādojumu sistēmā. Ar transformāciju palīdzību SLE tiek reducēta līdz ekvivalentai trīsstūrveida (pakāpju) formas sistēmai, no kuras var atrast visus mainīgos.

Ir vērts atzīmēt, ka Karls Frīdrihs Gauss nav klasiskās lineāro vienādojumu sistēmas risināšanas metodes atklājējs. Metode tika izgudrota daudz agrāk. Tās pirmais apraksts ir atrodams seno ķīniešu matemātiķu zināšanu enciklopēdijā ar nosaukumu "Matemātika 9 grāmatās".

SLE risināšanas piemērs ar Gausa metodi

Apskatīsim sistēmu risinājumu ar Gausa metodi konkrētā piemērā. Strādāsim ar attēlā redzamo SLU.

Risināšanas algoritms:

1. Mēs reducēsim sistēmu uz soļu formu, izmantojot tiešu Gausa metodes pārvietošanu, bet vispirmsmēs sastādīsim paplašinātu skaitlisko koeficientu un brīvo locekļu matricu.
2. Lai atrisinātu matricu, izmantojot Gausa metodi (t.i., panāktu to pakāpju formā), no otrās un trešās rindas elementiem secīgi atņemam pirmās rindas elementus. Mēs iegūstam nulles pirmajā kolonnā zem elementa "vadošais". Tālāk mēs ērtības labad vietām mainīsim otro un trešo rindiņu. Pēdējās rindas elementiem secīgi pievienojiet otrās rindas elementus, kas reizināti ar 3.
3. Matricas aprēķina rezultātā ar Gausa metodi mēs ieguvām pakāpju elementu masīvu. Pamatojoties uz to, mēs sastādīsim jaunu lineāro vienādojumu sistēmu. Izmantojot Gausa metodes apgriezto kursu, mēs atrodam nezināmo terminu vērtības. No pēdējā lineārā vienādojuma var redzēt, ka x₃ ir vienāds ar 1. Šo vērtību aizstājam sistēmas otrajā rindā. Iegūsit vienādojumu x₂ – 4=–4. No tā izriet, ka x₂ ir vienāds ar 0. Sistēmas pirmajā vienādojumā aizstājiet x₂ un x₃: x1 _{+ 0 +3=2. Nezināmais vienums ir -1.}

Atbilde: izmantojot matricu, Gausa metodi, mēs atradām nezināmo vērtības; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gausa-Jordānas metode

Lineārajā algebrā ir arī tāda lieta kā Gausa-Jordana metode. To uzskata par Gausa metodes modifikāciju un izmanto, lai atrastu apgriezto matricu, aprēķinātu algebrisko lineāro vienādojumu kvadrātu sistēmu nezināmos nosacījumus. Gauss-Jordan metode ir ērta ar to, ka ļauj atrisināt SLE vienā solī (neizmantojot tiešo un apgrieztokustas).

Sāksim ar terminu "apgrieztā matrica". Pieņemsim, ka mums ir matrica A. Apgrieztā matrica būs A^-1, kamēr nosacījums noteikti ir izpildīts: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, t.i., šo matricu reizinājums ir vienāds ar identitātes matricu (identitātes matricas galvenās diagonāles elementi ir vieni, bet pārējie elementi ir nulle).}

Svarīga nianse: lineārajā algebrā ir teorēma par apgrieztās matricas esamību. Pietiekams un nepieciešams nosacījums matricas A^-1 pastāvēšanai ir tas, ka matrica A ir nevienskaitlīga.

Pamatdarbības, uz kurām balstās Gausa-Jordana metode:

1. Apskatiet konkrētas matricas pirmo rindu. Gauss-Jordan metodi var sākt, ja pirmā vērtība nav vienāda ar nulli. Ja pirmā vieta ir 0, mainiet rindas, lai pirmajam elementam būtu vērtība, kas nav nulle (vēlams, lai skaitlis būtu tuvāk vienam).
2. Sadaliet visus pirmās rindas elementus ar pirmo skaitli. Beigās tiks izveidota virkne, kas sākas ar vienu.
3. No otrās rindas atņemiet pirmo rindu, kas reizināta ar otrās rindas pirmo elementu, t.i., beigās iegūsit rindu, kas sākas no nulles. Dariet to pašu ar pārējām līnijām. Sadaliet katru rindiņu ar tās pirmo elementu, kas nav nulle, lai iegūtu 1 pa diagonāli.
4. Rezultātā jūs iegūsit augšējo trīsstūrveida matricu, izmantojot Gausa-Jordana metodi. Tajā galveno diagonāli attēlo vienības. Apakšējais stūris ir aizpildīts ar nullēm, unaugšējais stūris - dažādas vērtības.
5. No priekšpēdējās rindas atņemiet pēdējo rindu, kas reizināta ar nepieciešamo koeficientu. Jums vajadzētu iegūt virkni ar nullēm un vienu. Pārējām rindām atkārtojiet to pašu darbību. Pēc visām transformācijām tiks iegūta identitātes matrica.

Piemērs apgrieztās matricas atrašanai, izmantojot Gausa-Jordana metodi

Lai aprēķinātu apgriezto matricu, jāuzraksta papildinātā matrica A|E un jāveic nepieciešamās transformācijas. Apskatīsim vienkāršu piemēru. Zemāk esošajā attēlā parādīta matrica A.

Risinājums:

1. Vispirms atradīsim matricas determinantu, izmantojot Gausa metodi (det A). Ja šis parametrs nav vienāds ar nulli, tad matrica tiks uzskatīta par nevienskaitli. Tas ļaus mums secināt, ka A noteikti ir A^-1. Lai aprēķinātu determinantu, mēs pārveidojam matricu pakāpeniskā formā ar elementārpārveidojumiem. Saskaitīsim skaitli K, kas vienāds ar rindas permutāciju skaitu. Rindas mainījām tikai 1 reizi. Aprēķināsim determinantu. Tās vērtība būs vienāda ar galvenās diagonāles elementu reizinājumu, kas reizināts ar (–1)^K. Aprēķina rezultāts: det A=2.
2. Sastādiet paplašināto matricu, pievienojot identitātes matricu sākotnējai matricai. Iegūtais elementu masīvs tiks izmantots, lai atrastu apgriezto matricu pēc Gausa-Jordana metodes.
3. Pirmais elements pirmajā rindā ir vienāds ar vienu. Tas mums der, jo nav nepieciešams pārkārtot rindas un dalīt doto rindu ar kādu skaitli. Sāksim strādātar otro un trešo rindiņu. Lai otrās rindas pirmo elementu pārvērstu par 0, no otrās rindas atņemiet pirmo rindu, kas reizināta ar 3. Atņemiet pirmo rindu no trešās rindas (reizināšana nav nepieciešama).
4. Iegūtajā matricā otrās rindas otrais elements ir -4, bet trešās rindas otrais elements ir -1. Ērtības labad apmainīsim līnijas. No trešās rindas atņem otro rindu, kas reizināta ar 4. Otro rindu dala ar -1 un trešo rindu ar 2. Iegūstam augšējo trīsstūrveida matricu.
5. Atņemsim pēdējo rindu, kas reizināta ar 4 no otrās rindas, un pēdējo rindu, kas reizināta ar 5 no pirmās rindas. Pēc tam no pirmās rindas atņemsim otro rindu, kas reizināta ar 2. Kreisajā pusē mēs saņēmām identitātes matrica. Labajā pusē ir apgrieztā matrica.

SLE risināšanas piemērs ar Gausa-Jordana metodi

Attēlā parādīta lineāro vienādojumu sistēma. Ir nepieciešams atrast nezināmu mainīgo vērtības, izmantojot matricu, Gausa-Jordana metodi.

Risinājums:

1. Izveidosim paplašinātu matricu. Lai to izdarītu, tabulā ievietosim koeficientus un brīvos termiņus.
2. Atrisiniet matricu, izmantojot Gausa-Jordana metodi. No rindas Nr. 2 mēs atņemam rindu Nr. 1. No rindas Nr. 3 mēs atņemam rindu Nr. 1, kas iepriekš reizināta ar 2.
3. Mainīt 2. un 3. rindu.
4. No 3. rindas atņemiet 2. rindu, kas reizināta ar 2. Sadaliet iegūto trešo rindu ar –1.
5. Atņemiet 3. rindu no 2. rindas.
6. Atņemiet 1. rindu no 1. rindas2 reizes -1. Sānos mēs saņēmām kolonnu, kas sastāv no skaitļiem 0, 1 un -1. No tā mēs secinām, ka x₁=0, x₂=1 un x₃ =–1.

Ja vēlaties, varat pārbaudīt risinājuma pareizību, aizstājot aprēķinātās vērtības vienādojumos:

• 0 – 1=–1, pirmā identitāte no sistēmas ir pareiza;
• 0 + 1 + (–1)=0, otrā identitāte no sistēmas ir pareiza;
• 0 – 1 + (–1)=–2, trešā identitāte no sistēmas ir pareiza.

Secinājums: izmantojot Gausa-Jordana metodi, mēs esam atraduši pareizo risinājumu kvadrātsistēmai, kas apvieno lineāros algebriskos vienādojumus.

Tiešsaistes kalkulatori

Mūsdienu jaunatnes dzīve, studējot universitātēs un studējot lineāro algebru, ir ievērojami vienkāršota. Pirms dažiem gadiem mums pašiem bija jāatrod risinājumi sistēmām, izmantojot Gausa un Gausa-Jordāna metodi. Daži skolēni veiksmīgi tika galā ar uzdevumiem, savukārt citi apjuka risinājumā, kļūdījās, lūdza klasesbiedru palīdzību. Mūsdienās mājasdarbu veikšanai varat izmantot tiešsaistes kalkulatorus. Lai atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmas, meklētu apgrieztās matricas, ir uzrakstītas programmas, kas parāda ne tikai pareizās atbildes, bet arī parāda konkrētas problēmas risināšanas gaitu.

Internetā ir daudz resursu ar iebūvētiem tiešsaistes kalkulatoriem. Gausa matricas, vienādojumu sistēmas šīs programmas atrisina dažu sekunžu laikā. Studentiem tikai jānorāda nepieciešamie parametri (piemēram, vienādojumu skaits,mainīgo skaits).