Šajā rakstā šī metode ir aplūkota kā veids, kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas (SLAE). Metode ir analītiska, tas ir, ļauj uzrakstīt vispārīgu risinājuma algoritmu un pēc tam aizstāt vērtības no konkrētiem piemēriem. Atšķirībā no matricas metodes vai Krāmera formulām, risinot lineāro vienādojumu sistēmu ar Gausa metodi, var strādāt arī ar tiem, kuriem ir bezgalīgi daudz risinājumu. Vai arī vispār nav.
Ko nozīmē atrisināt ar Gausa metodi?
Pirmkārt, mums ir jāpieraksta mūsu vienādojumu sistēma kā matrica. Tas izskatās šādi. Sistēma tiek ņemta:
Koeficientus raksta tabulas veidā, bet labajā pusē atsevišķā kolonnā - brīvie dalībnieki. Kolonna ar brīvajiem elementiem ērtības labad ir atdalīta ar vertikālu joslu. Matricu, kas ietver šo kolonnu, sauc par paplašinātu.
Tālāk galvenā matrica ar koeficientiem jāsamazina līdz augšējai trīsstūra formai. Tas ir galvenais punkts sistēmas risināšanā ar Gausa metodi. Vienkārši sakot, pēc noteiktām manipulācijām matricai vajadzētu izskatīties šādi, lai tās apakšējā kreisajā daļā būtu tikai nulles:
Tad, ja ierakstīsiet jauno matricu vēlreiz kā vienādojumu sistēmu, pamanīsit, ka pēdējā rindā jau ir vienas saknes vērtība, kas pēc tam tiek aizstāta ar augstāk esošo vienādojumu, tiek atrasta cita sakne. un tā tālāk.
Šis ir Gausa risinājuma apraksts vispārīgākā izteiksmē. Un kas notiek, ja pēkšņi sistēmai nav risinājuma? Vai arī to ir bezgalīgi daudz? Lai atbildētu uz šiem un daudziem citiem jautājumiem, ir atsevišķi jāapsver visi elementi, kas izmantoti risinājumā ar Gausa metodi.
Matricas, to īpašības
Matricā nav slēptas nozīmes. Tas ir tikai ērts veids, kā ierakstīt datus vēlākām darbībām. Pat skolniekiem no viņiem nevajadzētu baidīties.
Matrica vienmēr ir taisnstūrveida, jo tā ir ērtāka. Pat Gausa metodē, kur viss aprobežojas ar trīsstūrveida matricas izveidošanu, ierakstā parādās taisnstūris, tikai ar nullēm vietā, kur nav skaitļu. Nulles var izlaist, taču tās ir netiešas.
Matricai ir izmērs. Tā "platums" ir rindu skaits (m), tā "garums" ir kolonnu skaits (n). Tad matricas A izmērs (to apzīmēšanai parasti izmanto lielos latīņu burtus) tiks apzīmēts kā Am×n. Ja m=n, tad šī matrica ir kvadrātveida unm=n - tā secība. Attiecīgi jebkuru matricas A elementu var apzīmēt ar tā rindas un kolonnas numuru: axy; x - rindas numurs, izmaiņas [1, m], y - kolonnas numurs, izmaiņas [1, n].
Gausa metodē matricas nav risinājuma galvenais punkts. Principā visas darbības var veikt tieši ar pašiem vienādojumiem, tomēr apzīmējums būs daudz apgrūtinošāks, un tajā būs daudz vieglāk apjukt.
Kvalifikators
Matricai ir arī determinants. Šī ir ļoti svarīga funkcija. Tagad nav vērts noskaidrot tā nozīmi, varat vienkārši parādīt, kā tas tiek aprēķināts, un pēc tam pastāstīt, kādas matricas īpašības tā nosaka. Vienkāršākais veids, kā atrast noteicēju, ir caur diagonālēm. Matricā tiek ievilktas iedomātas diagonāles; elementi, kas atrodas uz katra no tiem, tiek reizināti, un pēc tam tiek pievienoti iegūtie produkti: diagonāles ar slīpumu pa labi - ar "plus" zīmi, ar slīpumu pa kreisi - ar "mīnus" zīmi.
Ir ārkārtīgi svarīgi atzīmēt, ka determinantu var aprēķināt tikai kvadrātveida matricai. Taisnstūra matricai var rīkoties šādi: izvēlēties mazāko no rindu skaita un kolonnu skaita (lai tas būtu k) un pēc tam nejauši atzīmēt matricā k kolonnas un k rindas. Elementi, kas atrodas atlasīto kolonnu un rindu krustpunktā, veidos jaunu kvadrātveida matricu. Ja šādas matricas determinants ir skaitlis, kas nav nulle, tad to sauks par sākotnējās taisnstūra matricas pamata minoru.
Pirmskā sākt risināt vienādojumu sistēmu ar Gausa metodi, nenāk par ļaunu aprēķināt determinantu. Ja izrādās, ka tā ir nulle, tad uzreiz varam teikt, ka matricai ir vai nu bezgalīgi daudz atrisinājumu, vai arī tādu nav vispār. Šādā skumjā gadījumā jums jāiet tālāk un jānoskaidro matricas rangs.
Sistēmu klasifikācija
Ir tāda lieta kā matricas rangs. Šī ir tās nulles determinanta maksimālā secība (atceroties pamata mazo, mēs varam teikt, ka matricas rangs ir pamata minora secība).
Tā kā lietas ir ar rangu, SLOW var iedalīt:
- Locītava. Savienotajām sistēmām galvenās matricas (kas sastāv tikai no koeficientiem) rangs sakrīt ar paplašinātās (ar brīvo terminu kolonnu). Šādām sistēmām ir risinājums, bet ne vienmēr viens, tāpēc savienojumu sistēmas papildus tiek iedalītas:
- - noteikti - ar unikālu risinājumu. Noteiktās sistēmās matricas rangs un nezināmo skaits ir vienādi (vai kolonnu skaits, kas ir viens un tas pats);
- - nenoteikts - ar bezgalīgu risinājumu skaitu. Matricu rangs šādās sistēmās ir mazāks par nezināmo skaitu.
- Nesaderīgs. Šādām sistēmām galvenās un paplašinātās matricas rindas nesakrīt. Nesaderīgām sistēmām nav risinājuma.
Gausa metode ir laba, jo tā ļauj iegūt vai nu nepārprotamu sistēmas nekonsekvences pierādījumu (neaprēķinot lielu matricu determinantus), vai vispārēju risinājumu sistēmai ar bezgalīgu atrisinājumu skaitu.
Elementāras pārvērtības
Pirmskā pāriet tieši uz sistēmas risinājumu, varat to padarīt mazāk apgrūtinošu un ērtāku aprēķiniem. Tas tiek panākts ar elementārām transformācijām – tādām, lai to īstenošana galīgo atbildi nekādā veidā nemaina. Jāatzīmē, ka dažas no iepriekšminētajām elementārpārveidojumiem ir derīgas tikai matricām, kuru avots bija tieši SLAE. Šeit ir šo transformāciju saraksts:
- Mainīt virknes. Ir acīmredzams, ka, ja mēs mainām vienādojumu secību sistēmas ierakstā, tad tas nekādā veidā neietekmēs risinājumu. Tāpēc šīs sistēmas matricā ir iespējams arī apmainīt rindas, neaizmirstot, protams, par brīvo dalībnieku kolonnu.
- Visu virknes elementu reizināšana ar kādu koeficientu. Ļoti noderīgs! Ar to jūs varat samazināt lielus skaitļus matricā vai noņemt nulles. Risinājumu komplekts, kā ierasts, nemainīsies, un turpmāko darbību veikšana kļūs ērtāka. Galvenais, lai koeficients nebūtu vienāds ar nulli.
- Dzēst rindas ar proporcionālajiem koeficientiem. Tas daļēji izriet no iepriekšējās rindkopas. Ja divām vai vairākām matricas rindām ir proporcionālie koeficienti, tad, reizinot / dalot vienu no rindām ar proporcionalitātes koeficientu, tiek iegūtas divas (vai atkal vairāk) absolūti identiskas rindas, un jūs varat noņemt papildu rindas, atstājot tikai viens.
- Dzēst nulles rindiņu. Ja transformāciju gaitā kaut kur tiek iegūta virkne, kurā visi elementi, ieskaitot brīvo dalībnieku, ir nulle, tad šādu virkni var nosaukt par nulli un izmest no matricas.
- Vienas rindas elementu pievienošana citas rindas elementiem (saskaņā aratbilstošās kolonnas), kas reizināts ar kādu koeficientu. Visneskaidrākā un vissvarīgākā transformācija. Ir vērts pie tā pakavēties sīkāk.
Ar koeficientu reizinātas virknes pievienošana
Lai būtu vieglāk saprast, ir vērts izjaukt šo procesu soli pa solim. No matricas tiek ņemtas divas rindas:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Pieņemsim, ka otrajam jāpievieno pirmais, kas reizināts ar koeficientu "-2".
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Tad otrā rinda matricā tiek aizstāta ar jaunu, bet pirmā paliek nemainīga.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Jāatzīmē, ka reizināšanas koeficientu var izvēlēties tā, lai divu virkņu saskaitīšanas rezultātā viens no jaunās virknes elementiem būtu vienāds ar nulli. Tāpēc sistēmā ir iespējams iegūt vienādojumu, kurā būs par vienu nezināmo mazāk. Un, ja jūs iegūstat divus šādus vienādojumus, tad darbību var veikt vēlreiz un iegūt vienādojumu, kurā jau būs par diviem nezināmajiem mazāk. Un, ja katru reizi mēs pievēršam nullei vienu koeficientu visām rindām, kas ir zemākas par sākotnējo, tad mēs, tāpat kā soļi, varam nolaisties līdz pašai matricas apakšai un iegūt vienādojumu ar vienu nezināmo. To saucatrisināt sistēmu, izmantojot Gausa metodi.
Vispārīgi
Lai pastāv sistēma. Tam ir m vienādojumi un n nezināmas saknes. Varat to uzrakstīt šādi:
Galvenā matrica ir sastādīta no sistēmas koeficientiem. Bezmaksas dalībnieku kolonna ir pievienota izvērstajai matricai un atdalīta ar joslu.
Nākamais:
- matricas pirmā rinda tiek reizināta ar koeficientu k=(-a21/a11);
- tiek pievienota matricas pirmā modificētā rinda un otrā rinda;
- otrās rindas vietā matricā tiek ievietots iepriekšējās rindkopas pievienošanas rezultāts;
- tagad pirmais koeficients jaunajā otrajā rindā ir a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Tagad tiek veikta tā pati transformāciju sērija, ir iesaistīta tikai pirmā un trešā rinda. Attiecīgi katrā algoritma solī elements a21 tiek aizstāts ar a31. Pēc tam viss atkārtojas a41, … am1. Rezultātā tiek iegūta matrica, kurā pirmais elements rindās [2, m] ir vienāds ar nulli. Tagad jums ir jāaizmirst par rindu numur viens un jāveic tas pats algoritms, sākot no otrās rindas:
- k koeficients=(-a32/a22);
- otrā modificētā rinda tiek pievienota "pašreizējai" rindai;
- pievienošanas rezultāts tiek aizstāts ar trešo, ceturto un tā tālāk, bet pirmā un otrā rinda paliek nemainīga;
- matricas rindās [3, m] pirmie divi elementi jau ir vienādi ar nulli.
Algoritms jāatkārto, līdz parādās koeficients k=(-am, m-1/amm). Tas nozīmē, ka pēdējo reizi algoritms tika izpildīts tikai zemākajam vienādojumam. Tagad matrica izskatās kā trīsstūris vai tai ir pakāpeniska forma. Apakšējā rindā ir vienādojums amn × x =bm. Koeficients un brīvais termins ir zināmi, un caur tiem tiek izteikta sakne: x =bm/amn. Iegūtā sakne tiek aizstāta ar augšējo rindu, lai atrastu xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. Un tā tālāk pēc analoģijas: katrā nākamajā rindā ir jauna sakne, un, sasniedzot sistēmas "augšupusi", jūs varat atrast daudz risinājumu [x1, … x]. Tā būs vienīgā.
Kad nav risinājumu
Ja vienā no matricas rindām visi elementi, izņemot brīvo terminu, ir vienādi ar nulli, tad šai rindai atbilstošais vienādojums izskatās kā 0=b. Tam nav risinājuma. Un tā kā šāds vienādojums ir iekļauts sistēmā, tad visas sistēmas risinājumu kopa ir tukša, tas ir, tā ir deģenerēta.
Kad risinājumu ir bezgalīgi daudz
Var gadīties, ka reducētajā trīsstūrveida matricā nav rindu ar vienu vienādojuma elementu-koeficientu, bet vienu - brīvo locekli. Ir tikai virknes, kuras, pārrakstot, izskatītos kā vienādojums ar diviem vai vairākiem mainīgajiem. Tas nozīmē, ka sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Šajā gadījumā atbildi var sniegt vispārīga risinājuma veidā. Kā to izdarīt?
Vissmainīgie matricā ir sadalīti pamata un brīvajos. Pamata - tie ir tie, kas stāv "uz malas" rindu pakāpju matricā. Pārējie ir bez maksas. Vispārējā risinājumā pamata mainīgie tiek rakstīti brīvo lielumu izteiksmē.
Ērtības labad matrica vispirms tiek pārrakstīta atpakaļ vienādojumu sistēmā. Tad pēdējā no tām, kur palika tikai viens pamata mainīgais, tas paliek vienā pusē, un viss pārējais tiek pārnests uz otru. Tas tiek darīts katram vienādojumam ar vienu pamata mainīgo. Tad pārējos vienādojumos, kur iespējams, pamata mainīgā vietā tiek aizstāta ar to iegūtā izteiksme. Ja rezultāts atkal ir izteiksme, kurā ir tikai viens pamata mainīgais, tas tiek izteikts no turienes un tā tālāk, līdz katrs pamata mainīgais tiek uzrakstīts kā izteiksme ar brīviem mainīgajiem. Šis ir SLAE vispārējais risinājums.
Var atrast arī sistēmas pamatrisinājumu - piešķiriet brīvajiem mainīgajiem jebkuras vērtības un pēc tam aprēķiniet pamatmainīgo vērtības šim konkrētajam gadījumam. Ir bezgala daudz konkrētu risinājumu.
Risinājums ar konkrētiem piemēriem
Šeit ir vienādojumu sistēma.
Ērtības labad labāk ir izveidot matricu uzreiz
Ir zināms, ka, risinot ar Gausa metodi, pirmajai rindai atbilstošais vienādojums transformāciju beigās paliks nemainīgs. Tāpēc būs izdevīgāk, ja matricas augšējais kreisais elements ir mazākais - tad pirmie elementipārējās rindas pēc operācijām pārvērtīsies uz nulli. Tas nozīmē, ka sastādītajā matricā būs izdevīgi pirmās rindas vietā ievietot otro rindu.
Tālāk ir jāmaina otrā un trešā rindiņa, lai pirmie elementi kļūtu par nulli. Lai to izdarītu, pievienojiet tos pirmajam, reizinot ar koeficientu:
otrā rinda: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3) × 2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
trešā rinda: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5) × 1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5) × 2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5) × 4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Tagad, lai neapjuktu, jāuzraksta matrica ar transformāciju starprezultātiem.
Acīmredzot šādu matricu var padarīt lasāmāku ar dažu darbību palīdzību. Piemēram, varat noņemt visus "mīnusus" no otrās rindas, reizinot katru elementu ar "-1".
Ir arī vērts atzīmēt, ka trešajā rindā visi elementi ir trīs reizes. Tad jūs varatizgrieziet virkni ar šo skaitli, reizinot katru elementu ar "-1/3" (mīnus - vienlaikus, lai noņemtu negatīvās vērtības).
Izskatās daudz jaukāk. Tagad mums ir jāatstāj viena pirmā rinda un jāstrādā ar otro un trešo. Uzdevums ir pievienot otro rindu trešajai rindai, reizinot ar tādu koeficientu, ka elements a32 kļūst par nulli.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (ja dažu transformāciju laikā atbildē izrādījās, ka tas nav vesels skaitlis, ieteicams to atstāt “kā ir”, parastas daļskaitļa formā un tikai pēc tam, kad būs saņemtas atbildes, izlemt, vai noapaļot un konvertēt uz citu formu. apzīmējums)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7) × 7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7) × 11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7) × 24=-61/7
Matrica atkal tiek rakstīta ar jaunām vērtībām.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Kā redzat, iegūtajai matricai jau ir pakāpeniska forma. Tāpēc sistēmas turpmākas transformācijas ar Gausa metodi nav nepieciešamas. Šeit var noņemt kopējo koeficientu "-1/7" no trešās rindas.
Tagad visijauki. Lieta ir maza - uzrakstiet matricu vēlreiz vienādojumu sistēmas veidā un aprēķiniet saknes
x + 2y + 4z=12 (1)
7 g + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Algoritmu, pēc kura tagad tiks atrastas saknes, Gausa metodē sauc par apgriezto kustību. Vienādojums (3) satur vērtību z:
z=61/9
Pēc tam atgriezieties pie otrā vienādojuma:
y=(24–11×(61/9))/7=–65/9
Un pirmais vienādojums ļauj atrast x:
x=(12 - 4z - 2g)/1=12 - 4×(61/9) - 2 × (-65/9)=-6/9=-2/3
Mums ir tiesības saukt šādu sistēmu par kopīgu un pat noteiktu, tas ir, ar unikālu risinājumu. Atbilde ir uzrakstīta šādā formā:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Nenoteiktas sistēmas piemērs
Ir izanalizēts variants noteiktas sistēmas atrisināšanai ar Gausa metodi, tagad jāskata gadījums, ja sistēma ir nenoteikta, tas ir, tai var atrast bezgalīgi daudz risinājumu.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Pati sistēmas forma jau ir satraucoša, jo nezināmo skaits ir n=5, un sistēmas matricas rangs jau ir tieši mazāks par šo skaitli, jo rindu skaits ir m=4, tas ir, lielākā kvadrātdeterminanta secība ir 4. Tātad,Ir bezgalīgi daudz risinājumu, un mums ir jāmeklē tā vispārējā forma. Lineāro vienādojumu Gausa metode ļauj to izdarīt.
Vispirms, kā parasti, tiek apkopota paplašinātā matrica.
Otrā rinda: koeficients k=(-a21/a11)=-3. Trešajā rindā pirmais elements ir pirms transformācijām, tāpēc nevajag neko aiztikt, vajag atstāt tādu, kāds tas ir. Ceturtā rinda: k=(-a41/a11)=-5
Reizinot pirmās rindas elementus pēc kārtas ar katru to koeficientu un saskaitot tos vajadzīgajām rindām, iegūstam šādas formas matricu:
Kā redzat, otrā, trešā un ceturtā rinda sastāv no viena otrai proporcionāliem elementiem. Otrais un ceturtais parasti ir vienāds, tāpēc vienu no tiem var nekavējoties noņemt, bet pārējos reizināt ar koeficientu "-1" un iegūt rindas numuru 3. Un atkal atstājiet vienu no divām identiskām rindām.
Rezultāts ir šāda matrica. Sistēma vēl nav pierakstīta, šeit ir jānosaka pamata mainīgie - stāvot pie koeficientiem a11=1 un a22=1, un bezmaksas - viss pārējais.
Otrajā vienādojumā ir tikai viens pamata mainīgais - x2. Tādējādi to var izteikt no turienes, rakstot ar mainīgajiem x3, x4, x5, kas ir bezmaksas.
Aizvietojiet iegūto izteiksmi pirmajā vienādojumā.
Izrādījās vienādojums, kurāvienīgais pamata mainīgais ir x1. Darīsim ar to tāpat kā ar x2.
Visi pamata mainīgie, no kuriem ir divi, ir izteikti trīs brīvos, tagad atbildi varat rakstīt vispārīgā formā.
Var norādīt arī kādu no konkrētajiem sistēmas risinājumiem. Šādos gadījumos kā brīvo mainīgo vērtības parasti tiek izvēlētas nulles. Tad atbilde būs:
-16, 23, 0, 0, 0.
Nekonsekventas sistēmas piemērs
Nekonsekventu vienādojumu sistēmu risinājums ar Gausa metodi ir visātrākais. Tas beidzas, tiklīdz vienā no posmiem tiek iegūts vienādojums, kuram nav risinājuma. Tas ir, pazūd posms ar sakņu aprēķinu, kas ir diezgan garš un drūms. Tiek apsvērta šāda sistēma:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Kā parasti, matrica tiek sastādīta:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Un samazināts līdz pakāpeniskajai formai:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Pēc pirmās transformācijas trešajā rindā ir vienādojums šādā formā:
0=7, nav risinājuma. Tāpēc sistēmair nekonsekventa, un atbilde ir tukša kopa.
Metodes priekšrocības un trūkumi
Ja izvēlaties, kuru metodi SLAE atrisināt uz papīra ar pildspalvu, tad šajā rakstā apskatītā metode izskatās vispievilcīgākā. Elementārajās transformācijās ir daudz grūtāk apjukt, nekā tas notiek, ja ir manuāli jāmeklē determinants vai kāda viltīga apgrieztā matrica. Savukārt, ja darbam ar šāda veida datiem izmantojat programmas, piemēram, izklājlapas, tad izrādās, ka šādās programmās jau ir algoritmi matricu galveno parametru aprēķināšanai - determinantam, minorām, apgrieztajām un transponētām matricām utt.. Un, ja esat pārliecināts, ka mašīna šīs vērtības aprēķinās pati un nekļūdīsies, lietderīgāk ir izmantot matricas metodi vai Krāmera formulas, jo to pielietošana sākas un beidzas ar determinantu un apgriezto matricu aprēķināšanu.
Pieteikums
Tā kā Gausa risinājums ir algoritms un matrica faktiski ir divdimensiju masīvs, to var izmantot programmēšanā. Bet, tā kā raksts sevi pozicionē kā ceļvedi "manekeniem", tad jāsaka, ka visvieglāk metodi iebāzt ir izklājlapās, piemēram, Excel. Atkal, jebkurš SLAE, kas ievadīts tabulā matricas veidā, programmā Excel tiks uzskatīts par divdimensiju masīvu. Un operācijām ar tām ir daudz jauku komandu: saskaitīšana (var pievienot tikai tāda paša izmēra matricas!), Reizināšana ar skaitli, matricas reizināšana (arī arnoteikti ierobežojumi), apgrieztās un transponētās matricas atrašana un, galvenais, determinanta aprēķināšana. Ja šo laikietilpīgo uzdevumu aizstāj ar vienu komandu, ir daudz ātrāk noteikt matricas rangu un tādējādi noteikt tās saderību vai neatbilstību.
