Viena no grūtākajām un nesaprotamākajām augstskolu matemātikas tēmām ir integrācija un diferenciālrēķini. Jums ir jāzina un jāsaprot šie jēdzieni, kā arī jāprot tos pielietot. Daudzas universitātes tehniskās disciplīnas ir saistītas ar diferenciāļiem un integrāļiem.
Īsa informācija par vienādojumiem
Šie vienādojumi ir viens no svarīgākajiem matemātiskajiem jēdzieniem izglītības sistēmā. Diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas saista neatkarīgos mainīgos, atrodamo funkciju un šīs funkcijas atvasinājumus ar mainīgajiem, kas tiek uzskatīti par neatkarīgiem. Diferenciālrēķinu viena mainīgā funkcijas atrašanai sauc par parasto. Ja vēlamā funkcija ir atkarīga no vairākiem mainīgajiem, tad runā par daļēju diferenciālvienādojumu.
Patiesībā noteiktas atbildes atrašana vienādojumam ir integrācija, un atrisināšanas metodi nosaka vienādojuma veids.
Pirmās kārtas vienādojumi
Pirmās kārtas diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas var aprakstīt mainīgo, vēlamo funkciju un tā pirmo atvasinājumu. Šādus vienādojumus var sniegt trīs veidos: tiešais, netiešais, diferenciālais.
Jēdzieni, kas nepieciešami, lai atrisinātu
Sākotnējais nosacījums - vajadzīgās funkcijas vērtības iestatīšana noteiktai mainīgā vērtībai, kas ir neatkarīga.
Diferenciālvienādojuma risinājums - jebkura diferencējama funkcija, kas precīzi aizvietota sākotnējā vienādojumā, pārvērš to par identiski vienādu. Iegūtais risinājums, kas nav skaidrs, ir vienādojuma integrālis.
Vispārējais diferenciālvienādojumu risinājums ir funkcija y=y(x;C), kas var apmierināt šādus spriedumus:
- Funkcijai var būt tikai viena patvaļīga konstante С.
- Iegūtajai funkcijai ir jābūt vienādojuma atrisinājumam jebkurai patvaļīgas konstantes patvaļīgai vērtībai.
- Ar noteiktu sākotnējo nosacījumu patvaļīgu konstanti var definēt unikālā veidā, lai konkrētais konkrētais risinājums atbilstu dotajam sākuma nosacījumam.
Praksē bieži tiek izmantota Košī problēma – jāatrod īpašs risinājums, ko var salīdzināt ar sākumā iestatīto nosacījumu.
Košī teorēma ir teorēma, kas uzsver konkrēta risinājuma esamību un unikalitāti diferenciālrēķinos.
Ģeometriskā sajūta:
- Vispārīgs risinājums y=y(x;C)vienādojums ir kopējais integrālo līkņu skaits.
- Diferenciālrēķins ļauj savienot XOY plaknes punkta koordinātas un integrāļa līknes pieskari.
- Sākotnējā nosacījuma iestatīšana nozīmē punkta iestatīšanu plaknē.
- Lai atrisinātu Košī problēmu, nozīmē, ka no visas integrālo līkņu kopas, kas attēlo vienu un to pašu vienādojuma risinājumu, ir jāizvēlas vienīgā, kas iet caur vienīgo iespējamo punktu.
- Košī teorēmas nosacījumu izpilde punktā nozīmē, ka integrāllīkne (turklāt tikai viena) noteikti iet caur izvēlēto plaknes punktu.
Atdalāms mainīgā vienādojums
Pēc definīcijas diferenciālvienādojums ir vienādojums, kurā tā labā puse apraksta vai atspoguļojas kā divu funkciju reizinājums (dažreiz attiecība), no kurām viena ir atkarīga tikai no "x", bet otra - tikai no "y". ". Skaidrs šāda veida piemērs: y'=f1(x)f2(y).
Lai atrisinātu noteiktas formas vienādojumus, vispirms ir jāpārveido atvasinājums y'=dy/dx. Pēc tam, manipulējot ar vienādojumu, tas ir jāveido tādā formā, kurā var integrēt abas vienādojuma daļas. Pēc nepieciešamajām transformācijām mēs integrējam abas daļas un vienkāršojam rezultātu.
Viendabīgi vienādojumi
Pēc definīcijas diferenciālvienādojumu var saukt par viendabīgu, ja tam ir šāda forma: y'=g(y/x).
Šajā gadījumā visbiežāk tiek izmantots aizvietotājs y/x=t(x).
Lai atrisinātu šādus vienādojumus, homogēns vienādojums ir jāreducē līdz formai ar atdalāmiem mainīgajiem. Lai to izdarītu, jums jāveic šādas darbības:
- Displejs, izsakot sākotnējās funkcijas atvasinājumu no jebkuras sākotnējās funkcijas kā jaunu vienādojumu.
- Nākamais solis ir pārveidot iegūto funkciju formā f(x;y)=g(y/x). Vienkāršākiem vārdiem sakot, vienādojumā iekļaujiet tikai attiecību y/x un konstantes.
- Veiciet šādu aizstāšanu: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Veiktā aizstāšana palīdzēs sadalīt mainīgos lielumus vienādojumā, pakāpeniski padarot to vienkāršāk.
Lineārie vienādojumi
Šādu vienādojumu definīcija ir šāda: lineārais diferenciālvienādojums ir vienādojums, kura labā puse ir izteikta kā lineāra izteiksme attiecībā pret sākotnējo funkciju. Vēlamā funkcija šajā gadījumā: y'=a(x)y + b(x).
Pārfrāzēsim definīciju šādi: jebkurš 1. kārtas vienādojums kļūs lineārs savā formā, ja sākotnējā funkcija un tās atvasinājums ir iekļauti pirmās pakāpes vienādojumā un netiek reizināti viens ar otru. Lineāra diferenciālvienādojuma "klasiskajai formai" ir šāda struktūra: y' + P(x)y=Q(x).
Pirms šāda vienādojuma risināšanas tas jāpārvērš "klasiskajā formā". Nākamais solis būs risinājuma metodes izvēle: Bernulli metode vai Lagranža metode.
Vienādojuma atrisināšana arizmantojot Bernulli ieviesto metodi, nozīmē lineāra diferenciālvienādojuma aizstāšanu un reducēšanu uz diviem vienādojumiem ar atsevišķiem mainīgajiem attiecībā pret funkcijām U(x) un V(x), kas tika dotas to sākotnējā formā.
Lagranža metode ir sākotnējā vienādojuma vispārīga atrisinājuma atrašana.
- Jāatrod vienāds homogēnā vienādojuma risinājums. Pēc meklēšanas mums ir funkcija y=y(x, C), kur C ir patvaļīga konstante.
- Mēs meklējam sākotnējā vienādojuma risinājumu tādā pašā formā, bet mēs uzskatām, ka C=C(x). Funkciju y=y(x, C(x)) aizstājam ar sākotnējo vienādojumu, atrodam funkciju C(x) un pierakstām vispārējā sākotnējā vienādojuma atrisinājumu.
Bernulli vienādojums
Bernulli vienādojums - ja aprēķina labā puse ir formā f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, kur k ir jebkura iespējamā racionālā skaitliskā vērtība, kas netiek ņemta par piemēru gadījumi, kad k=0 un k=1.
Ja k=1, tad aprēķins kļūst atdalāms, un, ja k=0, vienādojums paliek lineārs.
Apskatīsim vispārīgu šāda veida vienādojuma risināšanas gadījumu. Mums ir standarta Bernulli vienādojums. Tas ir jāsamazina līdz lineāram, lai to izdarītu, vienādojums jāsadala ar yk. Pēc šīs darbības nomainiet z(x)=y1-k. Pēc virknes transformāciju vienādojums tiks reducēts uz lineāru, visbiežāk ar aizstāšanas metodi z=UV.
Vienādojumi kopējos diferenciāļos
Definīcija. Vienādojumu ar struktūru P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 sauc par vienādojumu pilnībādiferenciāļi, ja ir izpildīts šāds nosacījums (šajā nosacījumā "d" ir daļēja diferenciāle): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Visus iepriekš aplūkotos pirmās kārtas diferenciālvienādojumus var parādīt kā diferenciāļus.
Šādi aprēķini tiek atrisināti vairākos veidos. Tomēr tie visi sākas ar stāvokļa pārbaudi. Ja nosacījums ir izpildīts, tad vienādojuma galējais kreisais apgabals ir vēl nezināmās funkcijas U(x;y) kopējā diferenciāle. Tad saskaņā ar vienādojumu dU (x; y) būs vienāds ar nulli, un tāpēc tas pats vienādojuma integrālis kopējos diferenciāļos tiks parādīts formā U (x; y) u003d C. Tāpēc vienādojuma risinājums tiek reducēts līdz funkcijas U (x; y) atrašanai.
Integrēšanas faktors
Ja nosacījums dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx vienādojumā nav izpildīts, tad vienādojumam nav tādas formas, kādu mēs aplūkojām iepriekš. Bet dažreiz ir iespējams izvēlēties kādu funkciju M(x;y), ar kuru reizinot, vienādojums iegūst vienādojuma formu pilnos "diffuros". Funkciju M (x;y) dēvē par integrējošo faktoru.
Integratoru var atrast tikai tad, kad tas kļūst tikai par viena mainīgā funkciju.
