Ar 2. kārtas virsmām students visbiežāk saskaras pirmajā kursā. Sākumā uzdevumi par šo tēmu var šķist vienkārši, taču, studējot augstāko matemātiku un iedziļinoties zinātniskajā pusē, beidzot var beigt orientēties notiekošajā. Lai tas nenotiktu, ir nepieciešams ne tikai iegaumēt, bet arī saprast, kā tiek iegūta tā vai cita virsma, kā koeficientu maiņa ietekmē to un atrašanās vietu attiecībā pret sākotnējo koordinātu sistēmu un kā atrast jaunu sistēmu. (tāda, kurā tā centrs sakrīt ar sākuma koordinātām un simetrijas ass ir paralēla vienai no koordinātu asīm). Sāksim no sākuma.
Definīcija
GMT sauc par 2. kārtas virsmu, kuras koordinātas apmierina šādas formas vispārīgo vienādojumu:
F(x, y, z)=0.
Ir skaidrs, ka katram virsmai piederošajam punktam ir jābūt trim koordinātām kādā noteiktā bāzē. Lai gan dažos gadījumos punktu lokuss var deģenerēties, piemēram, plaknē. Tas nozīmē tikai to, ka viena no koordinātām ir nemainīga un vienāda ar nulli visā pieņemamo vērtību diapazonā.
Iepriekš minētās vienlīdzības pilnā krāsotā forma izskatās šādi:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – dažas konstantes, x, y, z – mainīgie, kas atbilst kāda punkta afīnām koordinātām. Šajā gadījumā vismaz viens no nemainīgajiem faktoriem nedrīkst būt vienāds ar nulli, tas ir, neviens punkts neatbildīs vienādojumam.
Lielākajā daļā piemēru daudzi skaitliski faktori joprojām ir identiski vienādi ar nulli, un vienādojums ir ievērojami vienkāršots. Praksē noteikt, vai punkts pieder virsmai, nav grūti (pietiek, ja vienādojumā aizstāj tā koordinātas un pārbauda, vai identitāte tiek ievērota). Galvenais uzdevums šādā darbā ir panākt kanonisku formu.
Iepriekš uzrakstītais vienādojums definē visas (visas tālāk uzskaitītās) otrās kārtas virsmas. Tālāk mēs apsvērsim piemērus.
Otrās kārtas virsmu veidi
Otrās kārtas virsmu vienādojumi atšķiras tikai ar koeficientu vērtībām Anm. No vispārējā viedokļa noteiktām konstantu vērtībām var iegūt dažādas virsmas, kas klasificētas šādi:
- Cilindri.
- Eliptisks veids.
- Hiperbolisks veids.
- Konisks veids.
- Paraboliskais veids.
- Lidmašīnas.
Katram no uzskaitītajiem veidiem ir dabiska un iedomāta forma: iedomātā formā reālo punktu lokuss vai nu deģenerējas vienkāršākā figūrā, vai arī tā nav vispār.
Cilindri
Šis ir vienkāršākais veids, jo salīdzinoši sarežģīta līkne atrodas tikai pamatnē un darbojas kā ceļvedis. Ģeneratori ir taisnas līnijas, kas ir perpendikulāras plaknei, kurā atrodas pamatne.
Grafikā parādīts apļveida cilindrs, īpašs elipsveida cilindra gadījums. XY plaknē tās projekcija būs elipse (mūsu gadījumā aplis) - vadotne, bet XZ - taisnstūris - tā kā ģeneratori ir paralēli Z asij. Lai to iegūtu no vispārējā vienādojuma, jums ir nepieciešams lai piešķirtu koeficientiem šādas vērtības:
Parasto simbolu x, y, z, x vietā tiek lietots ar kārtas numuru - nav nozīmes.
Faktiski 1/a2un pārējās šeit norādītās konstantes ir tie paši koeficienti, kas norādīti vispārējā vienādojumā, taču ir ierasts tos rakstīt šādā formā - tas ir kanoniskais attēlojums. Turklāt tiks izmantots tikai šāds apzīmējums.
Tā tiek definēts hiperboliskais cilindrs. Shēma ir tāda pati - hiperbola būs ceļvedis.
y2=2px
Paraboliskais cilindrs ir definēts nedaudz savādāk: tā kanoniskā forma ietver koeficientu p, ko sauc par parametru. Faktiski koeficients ir vienāds ar q=2p, taču ir ierasts to sadalīt divos uzrādītajos faktoros.
Ir arī cita veida cilindrs: iedomātais. Šādam cilindram nepieder neviens īsts punkts. To apraksta vienādojumselipsveida cilindrs, bet mērvienības vietā ir -1.
Eliptisks veids
Elipsoīdu var izstiept pa vienu no asīm (pa kuru tas ir atkarīgs no iepriekš norādīto konstantu a, b, c vērtībām; ir skaidrs, ka lielākajai asij atbilst lielāks koeficients).
Ir arī iedomāts elipsoīds - ar nosacījumu, ka koordinātu summa, reizināta ar koeficientiem, ir -1:
Hiperboloīdi
Kad vienā no konstantēm parādās mīnuss, elipsoīda vienādojums pārvēršas par vienas lapas hiperboloīda vienādojumu. Jāsaprot, ka šim mīnusam nav jāatrodas pirms x3 koordinātas! Tas tikai nosaka, kura no asīm būs hiperboloīda rotācijas ass (vai paralēla tai, kopš brīža, kad kvadrātā parādās papildu termini (piemēram, (x-2)2).) figūras centrs nobīdās, kā rezultātā virsma pārvietojas paralēli koordinātu asīm). Tas attiecas uz visām otrās kārtas virsmām.
Turklāt jāsaprot, ka vienādojumi tiek uzrādīti kanoniskā formā un tos var mainīt, mainot konstantes (saglabājot zīmi!); kamēr to forma (hiperboloīds, konuss un tā tālāk) paliks nemainīga.
Šis vienādojums jau ir dots ar divu lapu hiperboloīdu.
Koniskā virsma
Konusa vienādojumā nav vienības - vienādība ar nulli.
Tikai ierobežotu konisku virsmu sauc par konusu. Zemāk redzamajā attēlā redzams, ka patiesībā diagrammā būs divi tā sauktie konusi.
Svarīga piezīme: visos aplūkotajos kanoniskajos vienādojumos konstantes pēc noklusējuma tiek pieņemtas kā pozitīvas. Pretējā gadījumā zīme var ietekmēt galīgo diagrammu.
Koordinātu plaknes kļūst par konusa simetrijas plaknēm, simetrijas centrs atrodas sākuma punktā.
Iedomātajā konusa vienādojumā ir tikai plusi; tai pieder viens reāls punkts.
Paraboloīdi
Otrās kārtas virsmas telpā var iegūt dažādas formas pat ar līdzīgiem vienādojumiem. Piemēram, ir divu veidu paraboloīdi.
x2/a2+y2/b2=2z
Eliptisks paraboloīds, kad Z ass ir perpendikulāra zīmējumam, tiks projicēts elipsē.
x2/a2-y2/b2=2z
Hiperboliskais paraboloīds: posmos ar plaknēm, kas ir paralēlas ZY, tiks izveidotas parabolas, un posmos ar plaknēm, kas ir paralēlas XY, tiks izveidotas hiperbolas.
Krustojas plaknes
Ir gadījumi, kad 2. kārtas virsmas deģenerējas plaknē. Šīs plaknes var sakārtot dažādos veidos.
Vispirms apsveriet krustojošās plaknes:
x2/a2-y2/b2=0
Šīs kanoniskā vienādojuma modifikācijas rezultāts ir tikai divas krustojošas plaknes (iedomātas!); visi reālie punkti atrodas uz koordinātas ass, kuras vienādojumā trūkst (kanoniskajā - Z ass).
Paralēlas plaknes
y2=a2
Kad ir tikai viena koordināta, 2. kārtas virsmas deģenerējas par paralēlu plakņu pāri. Atcerieties, ka jebkurš cits mainīgais var aizstāt Y; tad tiks iegūtas plaknes, kas ir paralēlas citām asīm.
y2=−a2
Šajā gadījumā tie kļūst iedomāti.
Sakrīt plaknes
y2=0
Izmantojot tik vienkāršu vienādojumu, plakņu pāris deģenerējas vienā - tie sakrīt.
Neaizmirstiet, ka trīsdimensiju bāzes gadījumā iepriekš minētais vienādojums nedefinē taisni y=0! Tam trūkst pārējo divu mainīgo, bet tas nozīmē tikai to, ka to vērtība ir nemainīga un vienāda ar nulli.
Ēka
Viens no grūtākajiem uzdevumiem skolēnam ir 2. kārtas virsmu izbūve. Ir vēl grūtāk pāriet no vienas koordinātu sistēmas uz otru, ņemot vērā līknes leņķus attiecībā pret asīm un centra nobīdi. Atkārtosim, kā ar analīzi konsekventi noteikt zīmējuma nākotnes skatuveids.
Lai izveidotu 2. kārtas virsmu, jums ir nepieciešams:
- pārveidojiet vienādojumu kanoniskā formā;
- nosaka pētāmās virsmas veidu;
- konstruēt, pamatojoties uz koeficientu vērtībām.
Tālāk ir norādīti visi aplūkotie veidi:
Lai konsolidētu, detalizēti aprakstīsim vienu šāda veida uzdevumu piemēru.
Piemēri
Pieņemsim, ka pastāv vienādojums:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60 g+144=0
Panāksim to kanoniskajā formā. Izcelsim pilnos kvadrātus, tas ir, sakārtojam pieejamos terminus tā, lai tie būtu summas vai starpības kvadrāta paplašinājums. Piemēram: ja (a+1)2=a2+2a+1, tad a2+2a +1=(a+1)2. Mēs veiksim otro operāciju. Šajā gadījumā nav nepieciešams atvērt iekavas, jo tas tikai sarežģīs aprēķinus, bet ir nepieciešams izņemt kopējo koeficientu 6 (iekavās ar pilnu Y kvadrātu):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Mainīgais z šajā gadījumā parādās tikai vienu reizi - pagaidām varat to atstāt vienu.
Šajā posmā mēs analizējam vienādojumu: pirms visiem nezināmajiem ir plus zīme; dalot ar seši, paliek viens. Tāpēc mums ir vienādojums, kas definē elipsoīdu.
Ņemiet vērā, ka 144 tika ieskaitīts 150-6, pēc tam -6 tika pārvietots pa labi. Kāpēc tas bija jādara šādi? Acīmredzot lielākais dalītājs šajā piemērā ir -6, tātad pēc dalīšanas ar toviens ir atstāts labajā pusē, no 144 ir "jāatliek" tieši 6 (par to, ka jābūt pa labi, liecina brīva termina klātbūtne - konstante, kas nav reizināta ar nezināmo).
Sadaliet visu ar sešiem un iegūstiet elipsoīda kanonisko vienādojumu:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
Iepriekš izmantotajā 2. kārtas virsmu klasifikācijā tiek aplūkots īpašs gadījums, kad figūras centrs atrodas koordinātu sākumpunktā. Šajā piemērā tas ir nobīdīts.
Mēs pieņemam, ka katra iekava ar nezināmajiem ir jauns mainīgais. Tas ir: a=x-1, b=y+5, c=z. Jaunajās koordinātēs elipsoīda centrs sakrīt ar punktu (0, 0, 0), tāpēc a=b=c=0, no kurienes: x=1, y=-5, z=0. Sākotnējās koordinātēs figūras centrs atrodas punktā (1, -5, 0).
Elipsoīds tiks iegūts no divām elipsēm: pirmās XY plaknē un otrās XZ plaknē (vai YZ - tam nav nozīmes). Koeficienti, ar kuriem tiek sadalīti mainīgie, tiek dalīti kanoniskajā vienādojumā. Tāpēc iepriekš minētajā piemērā pareizāk būtu dalīt ar divu sakni, vienu un trīs sakni.
Pirmās elipses mazā ass, kas ir paralēla Y asij, ir divas. Galvenā ass, kas ir paralēla x asij, ir divas saknes no diviem. Otrās elipses mazā ass, kas ir paralēla Y asij, paliek nemainīga - tā ir vienāda ar diviem. Un galvenā ass, kas ir paralēla Z asij, ir vienāda ar divām saknēm no trīs.
Ar no sākotnējā vienādojuma iegūto datu palīdzību, pārvēršot kanoniskajā formā, varam uzzīmēt elipsoīdu.
Rezumējot
Šajā rakstātēma ir diezgan plaša, bet patiesībā, kā tagad redzat, nav īpaši sarežģīta. Tās attīstība faktiski beidzas brīdī, kad iegaumējat virsmu nosaukumus un vienādojumus (un, protams, to izskatu). Iepriekš minētajā piemērā mēs esam detalizēti apsprieduši katru soli, taču vienādojuma iegūšanai kanoniskajā formā ir nepieciešamas minimālas zināšanas augstākās matemātikas jomā, un tas nedrīkst radīt studentam nekādas grūtības.
Esošās vienlīdzības nākotnes grafika analīze jau ir grūtāks uzdevums. Bet tā veiksmīgam risinājumam pietiek saprast, kā tiek veidotas atbilstošās otrās kārtas līknes - elipses, parabolas un citi.
Deģenerācijas gadījumi - vēl vienkāršāka sadaļa. Dažu mainīgo lielumu trūkuma dēļ tiek vienkāršoti ne tikai aprēķini, kā minēts iepriekš, bet arī pati konstrukcija.
Tiklīdz var droši nosaukt visu veidu virsmas, variēt konstantes, pārvēršot grafiku vienā vai citā formā - tēma tiks apgūta.
Veiksmi mācībās!
