Manuprāt, jāsāk ar tāda krāšņa matemātiskā instrumenta kā diferenciālvienādojumi vēsturi. Tāpat kā visus diferenciālos un integrālos aprēķinus, arī šos vienādojumus 17. gadsimta beigās izgudroja Ņūtons. Šo pašu atklājumu viņš uzskatīja par tik svarīgu, ka pat šifrēja vēstījumu, ko mūsdienās var tulkot apmēram šādi: "Visus dabas likumus apraksta diferenciālvienādojumi." Tas var šķist pārspīlēts, bet tā ir. Jebkuru fizikas, ķīmijas, bioloģijas likumu var aprakstīt ar šiem vienādojumiem.
Matemātiķi Eilers un Lagrenžs sniedza milzīgu ieguldījumu diferenciālvienādojumu teorijas izstrādē un izveidē. Jau 18. gadsimtā viņi atklāja un attīstīja to, ko tagad studē augstskolu vecākajos kursos.
Jauns pavērsiens diferenciālvienādojumu izpētē sākās, pateicoties Henri Puancare. Viņš radīja "diferenciālvienādojumu kvalitatīvu teoriju", kas apvienojumā ar kompleksa mainīgā funkciju teoriju deva būtisku ieguldījumu topoloģijas – kosmosa zinātnes un tās pamatu veidošanā.īpašības.
Kas ir diferenciālvienādojumi?
Daudzi cilvēki baidās no vienas frāzes "diferenciālvienādojums". Tomēr šajā rakstā mēs detalizēti aprakstīsim visu šī ļoti noderīgā matemātiskā aparāta būtību, kas patiesībā nav tik sarežģīta, kā šķiet pēc nosaukuma. Lai sāktu runāt par pirmās kārtas diferenciālvienādojumiem, vispirms vajadzētu iepazīties ar pamatjēdzieniem, kas pēc būtības ir saistīti ar šo definīciju. Un mēs sāksim ar diferenciāli.
Diferenciālis
Daudzi šo jēdzienu zina no skolas laikiem. Tomēr apskatīsim to tuvāk. Iedomājieties funkcijas grafiku. Mēs varam to palielināt līdz tādam līmenim, ka jebkurš no tā segmentiem būs taisnas līnijas forma. Uz tā mēs ņemam divus punktus, kas atrodas bezgalīgi tuvu viens otram. Atšķirība starp to koordinātām (x vai y) būs bezgalīgi maza vērtība. To sauc par diferenciāli un apzīmē ar zīmēm dy (diferenciālis no y) un dx (diferenciāls no x). Ir ļoti svarīgi saprast, ka diferenciālis nav ierobežota vērtība, un tā ir tā nozīme un galvenā funkcija.
Un tagad mums jāapsver nākamais elements, kas mums noderēs, izskaidrojot diferenciālvienādojuma jēdzienu. Šis ir atvasinājums.
Atvasinājums
Mēs visi droši vien dzirdējām skolā un šo jēdzienu. Tiek uzskatīts, ka atvasinājums ir funkcijas pieauguma vai samazināšanās ātrums. Tomēr no šīs definīcijasdaudz kas paliek neskaidrs. Mēģināsim izskaidrot atvasinājumu diferenciāļu izteiksmē. Atgriezīsimies pie bezgalīgi maza funkcijas segmenta ar diviem punktiem, kas atrodas minimālā attālumā viens no otra. Bet pat šim attālumam funkcijai izdodas par kādu summu mainīties. Un, lai aprakstītu šīs izmaiņas, viņi nāca klajā ar atvasinājumu, ko citādi var uzrakstīt kā diferenciāļu attiecību: f(x)'=df/dx.
Tagad ir vērts apsvērt atvasinājuma pamatīpašības. Ir tikai trīs no tiem:
- Summas vai starpības atvasinājumu var attēlot kā atvasinājumu summu vai starpību: (a+b)'=a'+b' un (a-b)'=a'-b'.
- Otrais īpašums ir saistīts ar reizināšanu. Produkta atvasinājums ir vienas funkcijas un citas funkcijas reizinājumu summa: (ab)'=a'b+ab'.
- Starpības atvasinājumu var uzrakstīt kā šādu vienādību: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Visas šīs īpašības būs noderīgas pirmās kārtas diferenciālvienādojumu risinājumu atrašanai.
Ir arī daļēji atvasinājumi. Pieņemsim, ka mums ir funkcija z, kas ir atkarīga no mainīgajiem x un y. Lai aprēķinātu šīs funkcijas daļējo atvasinājumu, piemēram, attiecībā uz x, mums ir jāņem mainīgais y kā konstante un vienkārši jādiferencē.
Integrāls
Cits svarīgs jēdziens ir integrālis. Faktiski tas ir tiešs pretstats atvasinājumam. Ir vairāki integrāļu veidi, taču, lai atrisinātu vienkāršākos diferenciālvienādojumus, mums ir nepieciešami vistriviālie nenoteiktie integrāļi.
Kas ir integrālis? Pieņemsim, ka mums ir zināma atkarība fno x. Mēs ņemam no tā integrāli un iegūstam funkciju F (x) (bieži saukta par antiatvasinājumu), kuras atvasinājums ir vienāds ar sākotnējo funkciju. Tādējādi F(x)'=f(x). No tā arī izriet, ka atvasinājuma integrālis ir vienāds ar sākotnējo funkciju.
Atrisinot diferenciālvienādojumus, ir ļoti svarīgi saprast integrāļa nozīmi un funkciju, jo, lai atrastu risinājumu, tie būs ļoti bieži jāizmanto.
Vienādojumi atšķiras atkarībā no to rakstura. Nākamajā sadaļā mēs apskatīsim pirmās kārtas diferenciālvienādojumu veidus un pēc tam uzzināsim, kā tos atrisināt.
Diferenciālvienādojumu klases
"Diffury" tiek sadalīti pēc tajos iesaistīto atvasinājumu secības. Tādējādi ir pirmā, otrā, trešā un vairāk kārtība. Tos var arī iedalīt vairākās klasēs: parastie un daļējie atvasinājumi.
Šajā rakstā mēs aplūkosim parastos pirmās kārtas diferenciālvienādojumus. Mēs arī apspriedīsim piemērus un veidus, kā tos atrisināt nākamajās sadaļās. Mēs apsvērsim tikai ODE, jo tie ir visizplatītākie vienādojumu veidi. Parastās tiek iedalītas apakšsugās: ar atdalāmiem mainīgajiem, viendabīgās un neviendabīgās. Tālāk jūs uzzināsit, kā tie atšķiras viens no otra, un uzzināsit, kā tos atrisināt.
Turklāt šos vienādojumus var apvienot, lai pēc tam iegūtu pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu. Mēs arī apsvērsim šādas sistēmas un uzzināsim, kā tās atrisināt.
Kāpēc mēs apsveram tikai pirmo pasūtījumu? Jo jāsāk ar vienkāršu un jāapraksta viss, kas saistīts ar diferenciālivienādojumus, vienā rakstā ir vienkārši neiespējami.
Atdalāmi mainīgo vienādojumi
Šie, iespējams, ir vienkāršākie pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Tie ietver piemērus, kurus var uzrakstīt šādi: y'=f(x)f(y). Lai atrisinātu šo vienādojumu, mums ir nepieciešama formula atvasinājuma attēlošanai kā diferenciāļu attiecība: y'=dy/dx. Izmantojot to, mēs iegūstam šādu vienādojumu: dy/dx=f(x)f(y). Tagad varam pievērsties standarta piemēru risināšanas metodei: sadalīsim mainīgos daļās, t.i., visu ar y mainīgo pārnesim uz daļu, kurā atrodas dy, un darīsim to pašu ar mainīgo x. Iegūstam vienādojumu formā: dy/f(y)=f(x)dx, kuru atrisina, ņemot abu daļu integrāļus. Neaizmirstiet par konstanti, kas jāiestata pēc integrāļa uzņemšanas.
Jebkuras "atšķirības" risinājums ir x atkarības funkcija no y (mūsu gadījumā) vai, ja ir skaitlisks nosacījums, tad atbilde ir skaitļa formā. Analizēsim visu risinājuma gaitu, izmantojot konkrētu piemēru:
y'=2ysin(x)
Pārvietojiet mainīgos dažādos virzienos:
dy/y=2sin(x)dx
Tagad mēs ņemam integrāļus. Tos visus var atrast īpašā integrāļu tabulā. Un mēs iegūstam:
ln(y)=-2cos(x) + C
Ja nepieciešams, mēs varam izteikt "y" kā funkciju no "x". Tagad mēs varam teikt, ka mūsu diferenciālvienādojums ir atrisināts, ja nav dots neviens nosacījums. Nosacījumu var dot, piemēram, y(n/2)=e. Tad mēs vienkārši aizstājam šo mainīgo vērtību risinājumā unatrodiet konstantes vērtību. Mūsu piemērā tas ir vienāds ar 1.
Pirmās kārtas viendabīgi diferenciālvienādojumi
Tagad pārejiet pie grūtākās daļas. Pirmās kārtas homogēnos diferenciālvienādojumus vispārīgā formā var uzrakstīt šādi: y'=z(x, y). Jāņem vērā, ka divu mainīgo labā funkcija ir viendabīga, un to nevar sadalīt divās atkarībās: z no x un z no y. Pārbaudīt, vai vienādojums ir vai nav viendabīgs, ir pavisam vienkārši: veicam aizstāšanu x=kx un y=ky. Tagad mēs atceļam visus k. Ja visi šie burti ir samazināti, tad vienādojums ir viendabīgs un jūs varat droši turpināt to atrisināt. Raugoties uz priekšu, teiksim: arī šo piemēru risināšanas princips ir ļoti vienkāršs.
Mums ir jāveic aizstāšana: y=t(x)x, kur t ir kāda funkcija, kas arī ir atkarīga no x. Tad varam izteikt atvasinājumu: y'=t'(x)x+t. Aizvietojot to visu mūsu sākotnējā vienādojumā un vienkāršojot to, mēs iegūstam piemēru ar atdalāmiem mainīgajiem t un x. Mēs to atrisinām un iegūstam atkarību t(x). Kad mēs to ieguvām, mēs vienkārši aizstājam y=t(x)x ar mūsu iepriekšējo aizstāšanu. Tad mēs iegūstam y atkarību no x.
Lai būtu skaidrāk, apskatīsim piemēru: xy'=y-xey/x.
Pārbaudot ar nomaiņu, viss tiek samazināts. Tātad vienādojums patiešām ir viendabīgs. Tagad mēs veicam vēl vienu aizstāšanu, par kuru mēs runājām: y=t(x)x un y'=t'(x)x+t(x). Pēc vienkāršošanas iegūstam šādu vienādojumu: t'(x)x=-et. Atrisinām iegūto piemēru ar atdalītiem mainīgajiem un iegūstam: e-t=ln(Cx). Mums tikai jāaizstāj t ar y/x (galu galā, ja y=tx, tad t=y/x), un mēs iegūstamatbilde: e-y/x=ln(xC).
Pirmās kārtas lineārie diferenciālvienādojumi
Ir pienācis laiks citai lielai tēmai. Mēs analizēsim pirmās kārtas nehomogēnus diferenciālvienādojumus. Kā viņi atšķiras no iepriekšējiem diviem? Izdomāsim. Pirmās kārtas lineāros diferenciālvienādojumus vispārīgā formā var uzrakstīt šādi: y' + g(x)y=z(x). Ir vērts precizēt, ka z(x) un g(x) var būt konstantes.
Un tagad piemērs: y' - yx=x2.
Ir divi veidi, kā to atrisināt, un mēs abi tiksim galā pēc kārtas. Pirmā ir patvaļīgu konstantu variācijas metode.
Lai atrisinātu vienādojumu šādā veidā, vispirms labā puse jāpielīdzina nullei un jāatrisina iegūtais vienādojums, kas pēc detaļu pārvietošanas iegūs šādu formu:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Tagad mums ir jāaizstāj konstante C1 ar funkciju v(x), kas mums jāatrod.
y=vex2/2.
Mainīsim atvasinājumu:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Un aizstājiet šīs izteiksmes sākotnējā vienādojumā:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Var redzēt, ka divi termini tiek atcelti kreisajā pusē. Ja kādā piemērā tas nenotika, tad jūs kaut ko izdarījāt nepareizi. Turpināt:
v'ex2/2 =x2.
Tagad mēs atrisinām parasto vienādojumu, kurā mums ir jāatdala mainīgie:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Lai izvilktu integrāli, šeit ir jāpiemēro integrācija pa daļām. Tomēr šī nav mūsu raksta tēma. Ja jūs interesē, varat uzzināt, kā šādas darbības veikt pats. Tas nav grūti, un ar pietiekamu prasmi un uzmanību tas neaizņem daudz laika.
Pievērsīsimies otrai nehomogēnu vienādojumu risināšanas metodei: Bernulli metodei. Kura pieeja ir ātrāka un vienkāršāka, ir atkarīgs no jums.
Tātad, risinot vienādojumu ar šo metodi, ir jāveic aizstāšana: y=kn. Šeit k un n ir dažas no x atkarīgas funkcijas. Tad atvasinājums izskatīsies šādi: y'=k'n+kn'. Aizstājiet abus aizvietojumus vienādojumā:
k'n+kn'+xkn=x2.
Grupa:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Tagad mums ir jāpielīdzina nullei tas, kas ir iekavās. Tagad, ja apvienojat divus iegūtos vienādojumus, jūs iegūstat pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu, kas jums jāatrisina:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Pirmā vienādība tiek atrisināta kā parasts vienādojums. Lai to izdarītu, jums ir jāatdala mainīgie:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Ņemiet integrāli un iegūstiet: ln(n)=x2/2. Tad, ja mēs izsakām n:
n=ex2/2.
Tagad iegūto vienādību aizstājam sistēmas otrajā vienādībā:
k'ex2/2=x2.
Un pārveidojot, mēs iegūstam tādu pašu vienlīdzību kā pirmajā metodē:
dk=x2/ex2/2.
Mēs arī neiedziļināsimies tālākās darbībās. Ir vērts teikt, ka sākotnēji pirmās kārtas diferenciālvienādojumu atrisināšana rada ievērojamas grūtības. Tomēr, iedziļinoties tēmā, tā sāk kļūt arvien labāka.
Kur tiek izmantoti diferenciālvienādojumi?
Diferenciālvienādojumi tiek ļoti aktīvi izmantoti fizikā, jo gandrīz visi pamatlikumi ir rakstīti diferenciālā formā, un formulas, kuras mēs redzam, ir šo vienādojumu risinājums. Ķīmijā tos izmanto tā paša iemesla dēļ: no tiem izriet pamatlikumi. Bioloģijā diferenciālvienādojumus izmanto, lai modelētu sistēmu uzvedību, piemēram, plēsoņu un laupījumu. Tos var izmantot arī, lai izveidotu, piemēram, mikroorganismu kolonijas reprodukcijas modeļus.
Kā diferenciālvienādojumi palīdzēs dzīvē?
Atbilde uz šo jautājumu ir vienkārša: nekādā gadījumā. Ja jūs neesat zinātnieks vai inženieris, tad diez vai tie jums būs noderīgi. Tomēr vispārējai attīstībai nav par ļaunu zināt, kas ir diferenciālvienādojums un kā tas tiek atrisināts. Un tad jautājums par dēlu vai meitu "kas ir diferenciālvienādojums?" jūs nemulsinās. Nu, ja jūs esat zinātnieks vai inženieris, tad jūs pats saprotat šīs tēmas nozīmi jebkurā zinātnē. Bet vissvarīgākais ir tas, ka tagad jautājums "kā atrisināt pirmās kārtas diferenciālvienādojumu?" jūs vienmēr varat atbildēt. Piekrītu, tas vienmēr ir jaukikad saproti to, ko cilvēki pat baidās saprast.
Galvenās mācīšanās problēmas
Galvenā problēma šīs tēmas izpratnē ir vājās prasmes integrēt un diferencēt funkcijas. Ja jūs slikti lietojat atvasinājumus un integrāļus, tad jums, iespējams, vajadzētu uzzināt vairāk, apgūt dažādas integrācijas un diferencēšanas metodes un tikai tad sākt pētīt materiālu, kas tika aprakstīts rakstā.
Daži cilvēki ir pārsteigti, uzzinot, ka dx var pārnest, jo agrāk (skolā) tika teikts, ka daļdaļa dy/dx ir nedalāma. Šeit jums ir jāizlasa literatūra par atvasinājumu un jāsaprot, ka tā ir bezgalīgi mazu lielumu attiecība, ar kuru var manipulēt, risinot vienādojumus.
Daudzi uzreiz neapzinās, ka pirmās kārtas diferenciālvienādojumu risinājums bieži vien ir funkcija vai integrālis, ko nevar ņemt, un šī maldīšanās viņiem sagādā daudz nepatikšanas.
Ko vēl var izpētīt, lai labāk izprastu?
Vislabāk ir sākt tālāku iedziļināšanos diferenciālrēķinu pasaulē ar specializētām mācību grāmatām, piemēram, aprēķinos nematemātisko specialitāšu studentiem. Pēc tam varat pāriet uz specializētāku literatūru.
Jāteic, ka bez diferenciālvienādojumiem ir arī integrālvienādojumi, tāpēc vienmēr būs uz ko tiekties un ko pētīt.
Secinājums
Mēs ceram, ka pēc izlasīšanasŠis raksts sniedza priekšstatu par to, kas ir diferenciālvienādojumi un kā tos pareizi atrisināt.
Katrā ziņā matemātika mums dzīvē kaut kā noderēs. Tas attīsta loģiku un uzmanību, bez kā katrs cilvēks ir kā bez rokām.
