Matrica ir īpašs objekts matemātikā. Tas ir attēlots taisnstūra vai kvadrātveida tabulas veidā, kas sastāv no noteikta skaita rindu un kolonnu. Matemātikā ir ļoti dažādi matricu veidi, kas atšķiras pēc izmēra vai satura. Tās rindu un kolonnu numurus sauc par pasūtījumiem. Šie objekti tiek izmantoti matemātikā, lai organizētu lineāro vienādojumu sistēmu rakstīšanu un ērti meklētu to rezultātus. Vienādojumi, izmantojot matricu, tiek atrisināti, izmantojot Carl Gauss, Gabriel Cramer metodi, nepilngadīgos un algebriskos papildinājumus un daudzus citus veidus. Pamatprasme, strādājot ar matricām, ir panākt to standarta formu. Tomēr vispirms noskaidrosim, kāda veida matricas izšķir matemātiķi.
Null veids
Visas šāda veida matricas sastāvdaļas ir nulles. Tikmēr tā rindu un kolonnu skaits ir pilnīgi atšķirīgs.
Kvadrātveida veids
Šā tipa matricas kolonnu un rindu skaits ir vienāds. Citiem vārdiem sakot, tas ir "kvadrātveida" formas galds. Tās kolonnu (vai rindu) skaitu sauc par secību. Īpaši gadījumi ir otrās kārtas (matrica 2x2), ceturtās kārtas (4x4), desmitās (10x10), septiņpadsmitās (17x17) un tā tālāk matricas esamība.
Slejas vektors
Šis ir viens no vienkāršākajiem matricu veidiem, kas satur tikai vienu kolonnu, kurā ir iekļautas trīs skaitliskās vērtības. Tas attēlo brīvu terminu sēriju (no mainīgajiem neatkarīgiem skaitļiem) lineāro vienādojumu sistēmās.
Rindas vektors
Skatīt līdzīgi kā iepriekšējais. Sastāv no trim skaitliskiem elementiem, kas savukārt sakārtoti vienā rindā.
Diagonālais veids
Tikai galvenās diagonāles komponenti (izcelti zaļā krāsā) ņem skaitliskās vērtības matricas diagonāles formā. Galvenā diagonāle sākas attiecīgi ar elementu augšējā kreisajā stūrī un beidzas ar elementu apakšējā labajā stūrī. Pārējās sastāvdaļas ir nulle. Diagonālais veids ir tikai noteiktas kārtas kvadrātveida matrica. Starp diagonālās formas matricām var izdalīt skalāru. Visām tā sastāvdaļām ir vienādas vērtības.
Identitātes matrica
Diagonālās matricas apakšsuga. Visas tā skaitliskās vērtības ir vienības. Izmantojot viena veida matricas tabulas, veiciet tās pamata transformācijas vai atrodiet matricu, kas ir apgriezta sākotnējai.
Kanoniskais veids
Matricas kanoniskā forma tiek uzskatīta par vienu no galvenajām; lai strādātu, bieži ir nepieciešama atliešana uz to. Rindu un kolonnu skaits kanoniskajā matricā ir atšķirīgs, tas ne vienmēr pieder kvadrātveida tipam. Tā ir nedaudz līdzīga identitātes matricai, tomēr tās gadījumā ne visas galvenās diagonāles sastāvdaļas iegūst vērtību, kas vienāda ar vienu. Var būt divas vai četras galvenās diagonāles vienības (tas viss ir atkarīgs no matricas garuma un platuma). Vai arī vienību var nebūt vispār (tad to uzskata par nulli). Pārējie kanoniskā tipa komponenti, kā arī diagonāles un identitātes elementi ir vienādi ar nulli.
Trīsstūra veids
Viens no svarīgākajiem matricas veidiem, ko izmanto, meklējot tā noteicēju un veicot vienkāršas darbības. Trīsstūrveida tips nāk no diagonālā tipa, tāpēc matrica ir arī kvadrātveida. Matricas trīsstūrveida skats ir sadalīts augšējā trīsstūrī un apakšējā trīsstūrī.
Augšējā trīsstūrveida matricā (1. att.) tikai elementi, kas atrodas virs galvenās diagonāles, iegūst vērtību, kas vienāda ar nulli. Pašas diagonāles komponenti un matricas daļa zem tās satur skaitliskas vērtības.
Apakšējā trīsstūrveida matricā (2. att.), gluži pretēji, matricas apakšējā daļā esošie elementi ir vienādi ar nulli.
Step Matrix
Skats ir nepieciešams matricas ranga atrašanai, kā arī elementārām darbībām ar tām (kopā ar trīsstūrveida tipu). Soļu matrica ir nosaukta, jo tajā ir raksturīgi nulles "soļi" (kā parādīts attēlā). Pakāpeniskā veidā tiek veidota nulles diagonāle (ne vienmēr galvenā), un visiem elementiem zem šīs diagonāles ir arī vērtības, kas vienādas ar nulli. Priekšnoteikums ir šāds: ja soļu matricā ir nulles rinda, tad arī pārējās rindās zem tās nav skaitlisku vērtību.
Tādējādi mēs esam apsvēruši svarīgākos matricu veidus, kas nepieciešami darbam ar tām. Tagad tiksim galā ar uzdevumu pārveidot matricu vajadzīgajā formā.
Samazināt līdz trīsstūrveida formai
Kā izveidot matricu trīsstūrveida formā? Visbiežāk uzdevumos matrica ir jāpārvērš trīsstūrveida formā, lai atrastu tās determinantu, ko citādi sauc par determinantu. Veicot šo procedūru, ir ārkārtīgi svarīgi "saglabāt" matricas galveno diagonāli, jo trīsstūrveida matricas determinants ir tieši tās galvenās diagonāles komponentu reizinājums. Atgādināšu arī par alternatīvām metodēm noteicēja atrašanai. Kvadrātveida determinants tiek atrasts, izmantojot īpašas formulas. Piemēram, varat izmantot trīsstūra metodi. Citām matricām tiek izmantota sadalīšanas metode pēc rindas, kolonnas vai to elementiem. Varat arī izmantot matricas nepilngadīgo un algebrisko papildinājumu metodi.
Sīkāka informācijaAnalizēsim procesu, kā matricu izveido trīsstūrveida formā, izmantojot dažu uzdevumu piemērus.
1. uzdevums
Nepieciešams atrast uzrādītās matricas determinantu, izmantojot metodi, lai to panāktu trīsstūrveida formā.
Mums dotā matrica ir trešās kārtas kvadrātveida matrica. Tāpēc, lai pārveidotu to trīsstūrveida formā, mums ir jāanulē divi pirmās kolonnas komponenti un viens otrās komponents.
Lai to izveidotu trīsstūrveida formā, sāciet transformāciju no matricas apakšējā kreisā stūra - no skaitļa 6. Lai to pārvērstu līdz nullei, pirmo rindu reiziniet ar trīs un atņemiet to no pēdējās rindas.
Svarīgi! Augšējā līnija nemainās, bet paliek tāda pati kā sākotnējā matricā. Jums nav jāraksta virkne, kas četras reizes pārsniedz sākotnējo. Taču to virkņu vērtības, kuru komponenti ir jāanulē, pastāvīgi mainās.
Tālāk tiksim galā ar nākamo vērtību - pirmās kolonnas otrās rindas elementu, skaitli 8. Pirmo rindu reiziniet ar četri un atņemiet to no otrās rindas. Mēs iegūstam nulli.
Paliek tikai pēdējā vērtība - otrās kolonnas trešās rindas elements. Šis ir skaitlis (-1). Lai to pārvērstu par nulli, no pirmās rindas atņemiet otro.
Pārbaudīsim:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Tātad uzdevuma atbilde ir -22.
2. uzdevums
Mums jāatrod matricas determinants, izveidojot to trīsstūrveida formā.
Attēlotā matricapieder kvadrātveida tipam un ir ceturtās kārtas matrica. Tas nozīmē, ka trīs pirmās kolonnas komponenti, divi otrās kolonnas komponenti un viens trešās kolonnas komponents ir jānovieto uz nulli.
Sāksim tā samazināšanu no elementa, kas atrodas apakšējā kreisajā stūrī - no skaitļa 4. Mums šis skaitlis jāpagriež uz nulli. Vienkāršākais veids, kā to izdarīt, ir reizināt augšējo rindu ar četriem un pēc tam atņemt to no ceturtās rindas. Pierakstīsim transformācijas pirmā posma rezultātu.
Tātad, ceturtās rindas komponents ir iestatīts uz nulli. Pārejam uz trešās rindas pirmo elementu, uz skaitli 3. Mēs veicam līdzīgu darbību. Pirmo rindiņu reiziniet ar trīs, atņemiet to no trešās rindas un ierakstiet rezultātu.
Tālāk mēs redzam skaitli 2 otrajā rindā. Mēs atkārtojam darbību: reiziniet augšējo rindu ar divi un atņemiet to no otrās.
Mums izdevās iestatīt uz nulli visas šīs kvadrātmatricas pirmās kolonnas sastāvdaļas, izņemot skaitli 1, galvenās diagonāles elementu, kuram nav nepieciešama transformācija. Tagad ir svarīgi saglabāt iegūtās nulles, tāpēc mēs veiksim transformācijas ar rindām, nevis kolonnām. Pāriesim uz parādītās matricas otro kolonnu.
Sāksim atkal no apakšas – no pēdējās rindas otrās kolonnas elementa. Šis ir skaitlis (-7). Tomēr šajā gadījumā ērtāk ir sākt ar skaitli (-1) - trešās rindas otrās kolonnas elementu. Lai to pārvērstu uz nulli, no trešās rindas atņemiet otro rindu. Tad mēs reizinām otro rindu ar septiņiem un atņemam to no ceturtās. Mēs saņēmām nulli, nevis elementu, kas atrodas otrās kolonnas ceturtajā rindā. Tagad pāriesim uz trešokolonna.
Šajā slejā mums ir jāpārvērš uz nulli tikai viens skaitlis - 4. To ir viegli izdarīt: vienkārši pievienojiet trešo pēdējai rindai un skatiet mums vajadzīgo nulli.
Pēc visām transformācijām mēs izveidojām piedāvāto matricu trīsstūrveida formā. Tagad, lai atrastu tā noteicošo faktoru, jums tikai jāreizina iegūtie galvenās diagonāles elementi. Mēs iegūstam: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Tāpēc risinājums ir skaitlis 160.
Tātad, tagad jautājums par matricas izveidošanu trīsstūrveida formā jums to neapgrūtinās.
Samazināšana uz pakāpju formu
Elementārās operācijās ar matricām pakāpju forma ir mazāk "pieprasīta" nekā trīsstūrveida forma. Visbiežāk to izmanto, lai atrastu matricas rangu (t.i., tās rindu skaitu, kas atšķiras no nulles) vai lineāri atkarīgu un neatkarīgu rindu noteikšanai. Tomēr pakāpju matricas skats ir daudzpusīgāks, jo tas ir piemērots ne tikai kvadrātveida tipam, bet arī visiem citiem.
Lai reducētu matricu uz pakāpju formu, vispirms ir jāatrod tās noteicošais faktors. Šim nolūkam ir piemērotas iepriekš minētās metodes. Determinanta atrašanas mērķis ir noskaidrot, vai to var pārvērst soļu matricā. Ja noteicošais faktors ir lielāks vai mazāks par nulli, varat droši pāriet uz uzdevumu. Ja tas ir vienāds ar nulli, matricas samazināšana līdz pakāpju formai nedarbosies. Šajā gadījumā jums ir jāpārbauda, vai ierakstā vai matricas transformācijās nav kļūdu. Ja šādu neprecizitāšu nav, uzdevumu nevar atrisināt.
Redzēsim, kāizveidojiet matricu pakāpju formā, izmantojot vairāku uzdevumu piemērus.
Uzdevums 1. Atrodiet dotās matricas tabulas rangu.
Pirms mums ir trešās kārtas kvadrātveida matrica (3x3). Mēs zinām, ka, lai atrastu rangu, tas ir jāsamazina līdz pakāpeniskajai formai. Tāpēc mums vispirms ir jāatrod matricas determinants. Izmantojot trīsstūra metodi: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinants=12. Tas ir lielāks par nulli, kas nozīmē, ka matricu var reducēt līdz pakāpju formai. Sāksim tās pārvērtības.
Sāksim ar trešās rindas kreisās kolonnas elementu - skaitli 2. Augšējo rindu reiziniet ar divi un atņemiet to no trešās. Pateicoties šai darbībai, gan mums nepieciešamais elements, gan cipars 4 - trešās rindas otrās kolonnas elements - pārvērtās par nulli.
Tālāk pagrieziet uz nulli pirmās kolonnas otrās rindas elementu - skaitli 3. Lai to izdarītu, augšējo rindu reiziniet ar trīs un atņemiet to no otrās.
Mēs redzam, ka samazinājuma rezultātā tika izveidota trīsstūrveida matrica. Mūsu gadījumā transformāciju nevar turpināt, jo atlikušos komponentus nevar pārvērst uz nulli.
Tātad, secinām, ka skaitliskās vērtības saturošo rindu skaits šajā matricā (vai tās rangā) ir 3. Atbilde uz uzdevumu: 3.
2. uzdevums. Nosakiet šīs matricas lineāri neatkarīgo rindu skaitu.
Mums jāatrod virknes, kuras nevar apgriezt ar jebkādām transformācijāmuz nulli. Faktiski mums ir jāatrod rindu skaits, kas nav nulle, vai attēlotās matricas rangs. Lai to izdarītu, vienkāršosim to.
Mēs redzam matricu, kas nepieder kvadrātveida tipam. Tā izmēri ir 3x4. Sāksim arī metienu no apakšējā kreisā stūra elementa - skaitļa (-1).
Pievienojiet pirmo rindiņu trešajai. Pēc tam atņemiet no tā otro, lai skaitli 5 pārvērstu par nulli.
Turpmākās pārvērtības nav iespējamas. Tātad secinām, ka lineāri neatkarīgo līniju skaits tajā un uzdevuma atbilde ir 3.
Tagad matricas izveide pakāpeniskā formā jums nav neiespējams uzdevums.
Šo uzdevumu piemēros mēs analizējām matricas reducēšanu uz trīsstūrveida formu un pakāpju formu. Lai anulētu matricu tabulu vēlamās vērtības, dažos gadījumos ir jāparāda iztēle un pareizi jāpārveido to kolonnas vai rindas. Veiksmi matemātikā un darbā ar matricām!
