Matricas (tabulas ar skaitliskiem elementiem) var izmantot dažādiem aprēķiniem. Dažas no tām ir reizināšana ar skaitli, vektors, cita matrica, vairākas matricas. Produkts dažreiz ir nepareizs. Kļūdains rezultāts ir skaitļošanas darbību veikšanas noteikumu nezināšanas rezultāts. Izdomāsim, kā veikt reizināšanu.
Matrica un cipars
Sāksim ar vienkāršāko lietu - tabulas ar skaitļiem reizināšanu ar noteiktu vērtību. Piemēram, mums ir matrica A ar elementiem aij (i ir rindu numuri un j ir kolonnu numuri) un skaitli e. Matricas reizinājums ar skaitli e būs matrica B ar elementiem bij, kurus var atrast pēc formulas:
bij=e × aij.
T. e. lai iegūtu elementu b11, jāņem elements a11 un jāreizina ar vēlamo skaitli, lai iegūtu b12 ir jāatrod elementa a12 un skaitļa e reizinājums utt.
Atrisināsim attēlā redzamo uzdevumu numur 1. Lai iegūtu matricu B, vienkārši reiziniet elementus no A ar 3:
- a11 × 3=18. Šo vērtību ierakstām matricā B vietā, kur krustojas kolonna Nr. 1 un rinda Nr. 1.
- a21 × 3=15. Mēs ieguvām elementu b21.
- a12 × 3=-6. Mēs saņēmām elementu b12. Mēs ierakstām to matricā B vietā, kur krustojas kolonna 2 un rinda 1.
- a22 × 3=9. Šis rezultāts ir elements b22.
- a13 × 3=12. Ievadiet šo skaitli matricā elementa b13.
- a23 × 3=-3. Pēdējais saņemtais numurs ir elements b23.
vietā.
Tādējādi mēs ieguvām taisnstūrveida masīvu ar ciparu elementiem.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektori un matricu reizinājuma pastāvēšanas nosacījums
Matemātikas disciplīnās ir tāda lieta kā "vektors". Šis termins attiecas uz sakārtotu vērtību kopu no a1 līdz a . Tos sauc par vektoru telpas koordinātām un raksta kā kolonnu. Ir arī termins "transponētais vektors". Tās komponenti ir sakārtoti kā virkne.
Vektorus var saukt par matricām:
- kolonnu vektors ir matrica, kas veidota no vienas kolonnas;
- rindu vektors ir matrica, kas ietver tikai vienu rindu.
Kad izdarītspār reizināšanas operāciju matricām ir svarīgi atcerēties, ka reizinājuma pastāvēšanai ir nosacījums. Aprēķina darbību A × B var veikt tikai tad, ja kolonnu skaits tabulā A ir vienāds ar rindu skaitu tabulā B. Aprēķinu rezultātā iegūtajā matricā vienmēr ir rindu skaits tabulā A un kolonnu skaits. tabulā B.
Reizinot, nav ieteicams pārkārtot matricas (reizinātājus). Viņu reizinājums parasti neatbilst reizināšanas komutatīvā (nobīdes) likumam, t.i., operācijas A × B rezultāts nav vienāds ar darbības B × A rezultātu. Šo pazīmi sauc par reizinājuma nekomutativitāti. matricas. Dažos gadījumos reizināšanas rezultāts A × B ir vienāds ar reizināšanas rezultātu B × A, t.i., reizinājums ir komutatīvs. Matricas, kurām ir spēkā vienādība A × B=B × A, sauc par permutācijas matricām. Tālāk skatiet šādu tabulu piemērus.
Reizināšana ar kolonnas vektoru
Reizinot matricu ar kolonnas vektoru, jāņem vērā reizinājuma pastāvēšanas nosacījums. Kolonnu skaitam (n) tabulā jāsakrīt ar vektoru veidojošo koordinātu skaitu. Aprēķina rezultāts ir pārveidotais vektors. Tā koordinātu skaits ir vienāds ar rindu skaitu (m) no tabulas.
Kā tiek aprēķinātas vektora y koordinātas, ja ir matrica A un vektors x? Aprēķiniem izveidotās formulas:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
……………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
kur x1, …, x ir koordinātas no x vektora, m ir rindu skaits matricā un skaitlis no koordinātām jaunajā y vektorā, n ir kolonnu skaits matricā un koordinātu skaits x vektorā, a11, a12, …, amn– matricas A elementi.
Tādējādi, lai iegūtu jaunā vektora i-to komponenti, tiek veikta skalāra reizinājums. I-tās rindas vektors tiek ņemts no matricas A un tiek reizināts ar pieejamo vektoru x.
Atrisināsim uzdevumu 2. Jūs varat atrast matricas un vektora reizinājumu, jo A ir 3 kolonnas un x sastāv no 3 koordinātām. Rezultātā mums vajadzētu iegūt kolonnas vektoru ar 4 koordinātām. Izmantosim iepriekš minētās formulas:
- Aprēķināt y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Galīgā vērtība ir 2.
- Aprēķināt y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Aprēķinot, mēs iegūstam 0.
- Aprēķināt y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Norādīto faktoru reizinājumu summa ir 6.
- Aprēķināt y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordināta ir -8.
Rindu vektora-matricas reizināšana
Matricu ar vairākām kolonnām nevar reizināt ar rindas vektoru. Šādos gadījumos darba pastāvēšanas nosacījums nav izpildīts. Bet ir iespējama rindas vektora reizināšana ar matricu. Šisskaitļošanas operācija tiek veikta, kad sakrīt koordinātu skaits vektorā un rindu skaits tabulā. Vektora un matricas reizinājuma rezultāts ir jauns rindas vektors. Tās koordinātu skaitam ir jābūt vienādam ar kolonnu skaitu matricā.
Jauna vektora pirmās koordinātas aprēķināšana ietver rindas vektora un pirmās kolonnas vektora reizināšanu no tabulas. Otro koordinātu aprēķina līdzīgi, bet pirmās kolonnas vektora vietā tiek ņemts otrais kolonnas vektors. Šeit ir vispārīgā formula koordinātu aprēķināšanai:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, kur yk ir koordināte no y vektora (k ir no 1 līdz n), m ir rindu skaits matricā un koordinātu skaits x vektorā n ir kolonnu skaits matricā un koordinātu skaits y vektorā, a ar burtciparu indeksiem ir matricas A elementi.
Taisnstūra matricu produkts
Šis aprēķins var šķist sarežģīts. Tomēr reizināšanu ir viegli izdarīt. Sāksim ar definīciju. Matricas A ar m rindām un n kolonnām un matricas B ar n rindām un p kolonnām reizinājums ir matrica C ar m rindām un p kolonnām, kurā elements cij ir elementu i-tās rindas no tabulas A un j-tās kolonnas no tabulas B reizinājumu summa. Vienkāršāk sakot, elements cij ir i-tās rindas skalārais reizinājums. vektors no tabulas A un j-tās kolonnas vektors no tabulas B.
Tagad izdomāsim praksē, kā atrast taisnstūrveida matricu reizinājumu. Šim nolūkam atrisināsim uzdevumu Nr.3. Preces esamības nosacījums ir izpildīts. Sāksim aprēķināt elementus cij:
- Matrix C būs 2 rindas un 3 kolonnas.
- Aprēķināt elementu c11. Lai to izdarītu, mēs veicam rindas Nr. 1 skalāro reizinājumu no matricas A un kolonnas Nr. 1 no matricas B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Pēc tam rīkojamies līdzīgi, mainot tikai rindas, kolonnas (atkarībā no elementu indeksa).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Elementi ir aprēķināti. Tagad atliek tikai izveidot taisnstūrveida bloku no saņemtajiem skaitļiem.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Trīs matricu reizināšana: teorētiskā daļa
Vai varat atrast trīs matricu reizinājumu? Šī skaitļošanas operācija ir iespējama. Rezultātu var iegūt vairākos veidos. Piemēram, ir 3 kvadrātveida tabulas (vienā secībā) - A, B un C. Lai aprēķinātu reizinājumu, varat:
- Vispirms reiziniet A un B. Pēc tam rezultātu reiziniet ar C.
- Vispirms atrodiet B un C reizinājumu. Pēc tam reiziniet matricu A ar rezultātu.
Ja jāreizina taisnstūra matricas, tad vispirms jāpārliecinās, vai šī skaitļošanas darbība ir iespējama. Vajadzētuprodukti A × B un B × C pastāv.
Inkrementālā reizināšana nav kļūda. Ir tāda lieta kā "matricas reizināšanas asociativitāte". Šis termins attiecas uz vienādību (A × B) × C=A × (B × C).
Trīs matricu reizināšanas prakse
Kvadrātveida matricas
Sāciet, reizinot mazas kvadrātveida matricas. Zemāk esošajā attēlā parādīta problēma ar numuru 4, kas mums ir jāatrisina.
Mēs izmantosim asociatīvās īpašības. Vispirms mēs reizinām vai nu A un B, vai B un C. Mēs atceramies tikai vienu: jūs nevarat apmainīt koeficientus, tas ir, jūs nevarat reizināt B × A vai C × B. Ar šo reizināšanu mēs iegūsim kļūdains rezultāts.
Lēmuma pieņemšanas gaita.
Pirmais solis. Lai atrastu kopējo reizinājumu, mēs vispirms reizinām A ar B. Reizinot divas matricas, mēs vadīsimies pēc iepriekš izklāstītajiem noteikumiem. Tātad A un B reizināšanas rezultāts būs matrica D ar 2 rindām un 2 kolonnām, t.i., taisnstūra masīvā būs 4 elementi. Atradīsim tos, veicot aprēķinus:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Starprezultāts gatavs.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Otrais solis. Tagad sareizināsim matricu D ar matricu C. Rezultātā jāiegūst kvadrātveida matrica G ar 2 rindām un 2 kolonnām. Aprēķināt elementus:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Tādējādi kvadrātveida matricu reizinājuma rezultāts ir tabula G ar aprēķinātajiem elementiem.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Taisnstūra matricas
Zemāk redzamajā attēlā parādīta problēma ar 5. problēmu. Jāreizina taisnstūra matricas un jāatrod risinājums.
Pārbaudīsim, vai ir izpildīts reizinājumu A × B un B × C esamības nosacījums. Norādīto matricu kārtas ļauj veikt reizināšanu. Sāksim risināt problēmu.
Lēmuma pieņemšanas gaita.
Pirmais solis. Reiziniet B ar C, lai iegūtu D. Matricā B ir 3 rindas un 4 kolonnas, bet matricai C ir 4 rindas un 2 kolonnas. Tas nozīmē, ka mēs iegūsim matricu D ar 3 rindām un 2 kolonnām. Aprēķināsim elementus. Šeit ir 2 aprēķinu piemēri:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Mēs turpinām risināt problēmu. Turpmāko aprēķinu rezultātā mēs atrodam vērtības d21, d2 2, d31 un d32. Šie elementi ir attiecīgi 0, 19, 1 un 11. Ierakstīsim atrastās vērtības taisnstūra masīvā.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Otrais solis. Reiziniet A ar D, lai iegūtu galīgo matricu F. Tai būs 2 rindas un 2 kolonnas. Aprēķināt elementus:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Izveidojiet taisnstūra masīvu, kas ir trīs matricu reizināšanas gala rezultāts.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Ievads tiešajā darbā
Diezgan grūti saprotams materiāls ir Kronecker matricu reizinājums. Tam ir arī papildu nosaukums - tiešais darbs. Kas ir domāts ar šo terminu? Pieņemsim, ka mums ir tabula A ar secību m × n un tabula B ar secību p × q. Matricas A un matricas B tiešais reizinājums ir matrica ar secību mp × nq.
Mums ir 2 kvadrātveida matricas A, B, kuras ir parādītas attēlā. Pirmajā ir 2 kolonnas un 2 rindas, bet otrajā ir 3 kolonnas un 3 rindas. Mēs redzam, ka tiešā reizinājuma rezultātā iegūtā matrica sastāv no 6 rindām un tieši tāda paša skaita kolonnu.
Kā tiešajā produktā tiek aprēķināti jaunas matricas elementi? Atbildi uz šo jautājumu atrast ir ļoti viegli, ja analizējat attēlu. Vispirms aizpildiet pirmo rindiņu. Paņemiet pirmo elementu no tabulas A augšējās rindas un secīgi reiziniet ar pirmās rindas elementiemno tabulas B. Tālāk ņem A tabulas pirmās rindas otro elementu un secīgi reizina ar tabulas B pirmās rindas elementiem. Lai aizpildītu otro rindu, vēlreiz ņem pirmo elementu no tabulas A pirmās rindas un reiziniet to ar tabulas B otrās rindas elementiem.
Galīgo matricu, kas iegūta ar tiešo produktu, sauc par bloku matricu. Ja mēs analizējam attēlu vēlreiz, mēs varam redzēt, ka mūsu rezultāts sastāv no 4 blokiem. Tie visi ietver matricas B elementus. Turklāt katra bloka elements tiek reizināts ar konkrētu matricas A elementu. Pirmajā blokā visi elementi tiek reizināti ar a11, otrajā - a12, trešajā - uz a21, ceturtajā - uz a22.
Produktu noteicošais faktors
Apskatot matricas reizināšanas tēmu, ir vērts apsvērt tādu terminu kā "matricu reizinājuma determinants". Kas ir determinants? Tas ir svarīgs kvadrātveida matricas raksturlielums, noteikta vērtība, kas tiek piešķirta šai matricai. Determinanta burtiskais apzīmējums ir det.
Matricai A, kas sastāv no divām kolonnām un divām rindām, determinantu ir viegli atrast. Ir neliela formula, kas ir atšķirība starp konkrētu elementu produktiem:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Aplūkosim piemēru, kā aprēķināt determinantu otrās kārtas tabulai. Ir matrica A, kurā a11=2, a12=3, a21=5 un a22=1. Lai aprēķinātu determinantu, izmantojiet formulu:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2–15=–13.
3 × 3 matricām determinants tiek aprēķināts, izmantojot sarežģītāku formulu. Tas ir parādīts zemāk matricai A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Lai atcerētos formulu, mēs izdomājām trīsstūra likumu, kas ir ilustrēts attēlā. Pirmkārt, tiek reizināti galvenās diagonāles elementi. Iegūtajai vērtībai pieskaita to elementu reizinājumus, kas norādīti ar trijstūriem ar sarkanām malām. Pēc tam tiek atņemta sekundārās diagonāles elementu reizinājums un atņemti to elementu reizinājumi, kas apzīmēti ar trijstūriem ar zilām malām.
Tagad parunāsim par matricu reizinājuma determinantu. Pastāv teorēma, kas saka, ka šis rādītājs ir vienāds ar reizinātāju tabulu determinantu reizinājumu. Pārbaudīsim to ar piemēru. Mums ir matrica A ar ierakstiem a11=2, a12=3, a21=1 un a22=1 un matrica B ar ierakstiem b11=4, b12=5, b 21 =1 un b22=2. Atrodiet noteicošos faktorus matricām A un B, reizinājumu A × B un šī reizinājuma determinantu.
Lēmuma pieņemšanas gaita.
Pirmais solis. Aprēķiniet determinantu A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Pēc tam aprēķiniet determinantu B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Otrais solis. Atradīsimprodukts A × B. Apzīmējiet jauno matricu ar burtu C. Aprēķiniet tās elementus:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Trešais solis. Aprēķiniet determinantu C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Salīdziniet ar vērtību, ko varētu iegūt, reizinot sākotnējo matricu determinantus. Skaitļi ir vienādi. Iepriekš minētā teorēma ir patiesa.
Produkta rangs
Matricas rangs ir raksturlielums, kas atspoguļo maksimālo lineāri neatkarīgo rindu vai kolonnu skaitu. Lai aprēķinātu rangu, tiek veiktas matricas elementāras transformācijas:
- divu paralēlu rindu pārkārtošana;
- visu noteiktas tabulas rindas elementu reizināšana ar skaitli, kas nav nulle;
- vienas rindas elementu pievienošana no citas rindas elementiem, kas reizināti ar noteiktu skaitli.
Pēc elementārajām transformācijām apskatiet virkņu skaitu, kas nav nulles. To skaits ir matricas rangs. Apsveriet iepriekšējo piemēru. Tajā tika parādītas 2 matricas: A ar elementiem a11=2, a12=3, a21=1 un a22 =1 un B ar elementiem b11=4, b12=5, b21=1 un b22=2. Izmantosim arī reizināšanas rezultātā iegūto matricu C. Ja veiksim elementāras transformācijas, tad vienkāršotajās matricās nebūs nulles rindu. Tas nozīmē, ka gan tabulas A rangs, gan tabulas B rangs, gan rangstabula C ir 2.
Tagad īpašu uzmanību pievērsīsim matricu reizinājuma rangam. Pastāv teorēma, kas saka, ka skaitļus saturošu tabulu reizinājuma rangs nepārsniedz neviena faktora rangu. To var pierādīt. Lai A ir k × s matrica un B ir s × m matrica. A un B reizinājums ir vienāds ar C.
Izpētīsim attēlu augstāk. Tas parāda C matricas pirmo kolonnu un tās vienkāršoto apzīmējumu. Šī kolonna ir lineāra matricā A iekļauto kolonnu kombinācija. Tāpat var teikt par jebkuru citu kolonnu no taisnstūra masīva C. Tādējādi apakštelpa, ko veido tabulas C kolonnu vektori, atrodas apakštelpā, ko veido Tabulas A kolonnu vektori. Tādējādi apakštelpas Nr. 1 dimensija nepārsniedz apakštelpas Nr. 2 dimensiju. Tas nozīmē, ka rangs tabulas C kolonnās nepārsniedz rangu tabulas A kolonnās, i., r(C) ≦ r(A). Ja mēs argumentējam līdzīgi, tad varam pārliecināties, ka matricas C rindas ir matricas B rindu lineāras kombinācijas. Tas nozīmē nevienādību r(C) ≦ r(B).
Kā atrast matricu reizinājumu ir diezgan sarežģīta tēma. To var viegli apgūt, taču, lai sasniegtu šādu rezultātu, būs jāpavada daudz laika, iegaumējot visus esošos noteikumus un teorēmas.
