Matricas determinanta atrašana ir svarīga darbība ne tikai lineārajai algebrai: piemēram, ekonomikā, izmantojot šo aprēķinu, tiek atrisinātas lineāro vienādojumu sistēmas ar daudziem nezināmiem, ko plaši izmanto ekonomikas problēmās..
Noteicošais jēdziens
Matricas determinants jeb determinants ir vērtība, kas vienāda ar paralēlskaldņa tilpumu, kas veidots uz tā rindu vai kolonnu vektoriem. Šo vērtību var aprēķināt tikai kvadrātveida matricai, kurā ir vienāds rindu un kolonnu skaits. Ja matricas dalībnieki ir skaitļi, tad arī determinants būs skaitlis.
Determinantu aprēķins
Jāatceras, ka ir vairāki noteikumi, kas var ievērojami atvieglot šādus aprēķinus.
Tātad no viena locekļa sastāvošas matricas determinants ir vienāds ar tās vienīgo elementu. Nav grūti aprēķināt otrās kārtas determinantu, lai to izdarītu, pietiek ar to elementu reizinājumu, kas atrodas sekundārajā diagonālē, no galvenās diagonāles locekļu reizinājuma.
Visvieglāk izdarāms 3. kārtas determinanta aprēķinssaskaņā ar trīsstūra likumu. Lai to izdarītu, veiciet šādas darbības:
- Atrodiet trīs matricas locekļu reizinājumu, kas atrodas uz tās galvenās daļas
- Reiziniet ar trim vārdiem, kas atrodas uz trijstūriem, kuru pamatnes ir paralēlas galvenajai diagonālei.
- Atkārtojiet pirmo un otro darbību sekundārajai diagonālei.
- Atrodiet visu iepriekšējos aprēķinos iegūto vērtību summu, savukārt trešajā rindkopā iegūtos skaitļus ņem ar mīnusa zīmi.
diagonāles.
Lai viegli atrastu ceturtās kārtas matricas determinantu, kā arī augstākas dimensijas, ir jāņem vērā īpašības, kas piemīt visiem determinantiem:
- Determinanta vērtība pēc matricas transponēšanas nemainās.
- Mainot divu blakus esošo rindu vai kolonnu pozīcijas, tiek mainīta determinanta zīme.
- Ja matricai ir divas vienādas rindas vai kolonnas vai visi kolonnas (rindas) elementi ir nulle, tad tās determinants ir vienāds ar nulli.
- Reizinot matricas skaitļus ar jebkuru skaitli, tās determinants palielinās tikpat reižu.
Iepriekš minēto īpašību izmantošana palīdz viegli atrast jebkuras kārtas matricas noteicēju. Piemēram, šim nolūkam izmantojot secības samazināšanas metodi, kurā determinants tiek paplašināts ar rindas (kolonnas) elementiem, kas reizināti ar algebrisko komplementu.
Cits veids, kas padara noteicēja atrašanu daudz vienkāršāku
matrica ir jāveido trīsstūrveida formā, kad visi elementi zem galvenās diagonāles ir vienādi ar nulli. Šajā gadījumā matricas determinants tiek aprēķināts kā skaitļu reizinājums, kas atrodas uz šīs diagonāles.
Un visbeidzot vēlos atzīmēt, ka determinantu aprēķins, lai gan tas sastāv no šķietami vienkāršiem matemātiskiem aprēķiniem, tomēr prasa ievērojamu rūpību un neatlaidību.
