Matricas un determinanti tika atklāti astoņpadsmitajā un deviņpadsmitajā gadsimtā. Sākotnēji to izstrāde attiecās uz ģeometrisku objektu transformāciju un lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšanu. Vēsturiski sākumā uzsvars tika likts uz noteicošo. Mūsdienu lineārās algebras apstrādes metodēs vispirms tiek aplūkotas matricas. Ir vērts kādu laiku apdomāt šo jautājumu.
Atbildes no šīs zināšanu jomas
Matricas nodrošina teorētiski un praktiski noderīgu veidu, kā atrisināt daudzas problēmas, piemēram:
- lineāro vienādojumu sistēmas;
- cietvielu līdzsvars (fizikā);
- grafu teorija;
- Leontjeva ekonomikas modelis;
- mežsaimniecība;
- datorgrafika un tomogrāfija;
- ģenētika;
- kriptogrāfija;
- elektriskie tīkli;
- fraktālis.
Faktiski matricas algebrai "manekeniem" ir vienkāršota definīcija. To izsaka šādi: šī ir zinātniska zināšanu joma, kurāattiecīgās vērtības tiek pētītas, analizētas un pilnībā izpētītas. Šajā algebras sadaļā tiek pētītas dažādas operācijas ar pētāmajām matricām.
Kā strādāt ar matricām
Šīs vērtības tiek uzskatītas par vienādām, ja tām ir vienādi izmēri un katrs viena elementa elements ir vienāds ar otra atbilstošo elementu. Matricu var reizināt ar jebkuru konstanti. To sauc par skalāro reizināšanu. Piemērs: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Tāda paša izmēra matricas var pievienot un atņemt pēc ievades, un saderīgo izmēru vērtības var reizināt. Piemērs: pievienojiet divus A un B: A=[21–10]B=[1423]. Tas ir iespējams, jo A un B ir matricas ar divām rindām un vienādu kolonnu skaitu. Katrs A elements ir jāpievieno atbilstošajam elementam B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matricas algebrā tiek atņemtas tādā pašā veidā.
Matricas reizināšana darbojas nedaudz savādāk. Turklāt var būt daudz gadījumu un iespēju, kā arī risinājumu. Ja sareizinām matricu Apq un Bmn, tad reizinājums Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Ieraksts AB g-tajā rindā un h-tajā kolonnā ir atbilstošo g A un h B ierakstu reizinājuma summa. Divas matricas var reizināt tikai tad, ja kolonnu skaits ir pirmajā un rindu skaits otrajā. ir vienādi. Piemērs: izpildiet nosacījumu aplūkotajam A un B: A=[1–130]B=[2–11214]. Tas ir iespējams, jo pirmajā matricā ir 2 kolonnas, bet otrajā ir 2 rindas. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Pamatinformācija par matricām
Attiecīgās vērtības organizē informāciju, piemēram, mainīgos un konstantes, un saglabā tos rindās un kolonnās, ko parasti sauc par C. Katru matricas pozīciju sauc par elementu. Piemērs: C=[1234]. Sastāv no divām rindām un divām kolonnām. 4. elements atrodas 2. rindā un 2. kolonnā. Parasti matricu var nosaukt pēc tās izmēriem. Matricai ar nosaukumu Cmk ir m rindas un k kolonnas.
Izvērstās matricas
Apsvērumi ir neticami noderīgas lietas, kas rodas daudzās dažādās lietojuma jomās. Matricas sākotnēji tika balstītas uz lineāro vienādojumu sistēmām. Ņemot vērā šādu nevienādību struktūru, ir jāņem vērā šāda papildinātā matrica:
2x + 3g – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Pierakstiet koeficientus un atbilžu vērtības, ieskaitot visas mīnusa zīmes. Ja elements ar negatīvu skaitli, tad tas būs vienāds ar "1". Tas ir, ņemot vērā (lineāro) vienādojumu sistēmu, ar to ir iespējams saistīt matricu (skaitļu režģi iekavās). Tas ir tas, kas satur tikai lineārās sistēmas koeficientus. To sauc par "paplašināto matricu". Režģis, kurā ir ietverti katra vienādojuma kreisās puses koeficienti, ir "pildīts" ar atbildēm no katra vienādojuma labās puses.
Ieraksti, tas irmatricas B vērtības atbilst x-, y- un z vērtībām sākotnējā sistēmā. Ja tas ir pareizi sakārtots, tad vispirms pārbaudiet to. Dažreiz jums ir jāpārkārto termini vai jāievieto nulles kā vietturi pētāmajā vai pētītajā matricā.
Ņemot vērā šādu vienādojumu sistēmu, mēs varam uzreiz uzrakstīt saistīto paplašināto matricu:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Vispirms noteikti pārkārtojiet sistēmu šādi:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Pēc tam saistīto matricu var uzrakstīt šādi: [11000113-1012]. Veidojot paplašināto, ir vērts izmantot nulli jebkuram ierakstam, kurā atbilstošā vieta lineāro vienādojumu sistēmā ir tukša.
Matricas algebra: operāciju īpašības
Ja nepieciešams veidot elementus tikai no koeficientu vērtībām, tad aplūkotā vērtība izskatīsies šādi: [110011-101]. To sauc par "koeficientu matricu".
Ņemot vērā sekojošo paplašināto matricas algebru, ir nepieciešams to uzlabot un pievienot saistīto lineāro sistēmu. Tomēr ir svarīgi atcerēties, ka mainīgajiem lielumiem jābūt labi sakārtotiem un glītiem. Un parasti, ja ir trīs mainīgie, izmantojiet x, y un z šādā secībā. Tāpēc saistītajai lineārajai sistēmai jābūt šādai:
x + 3 g=4
2g - z=5
3x + z=-2.
Matricas izmērs
Attiecīgās preces bieži tiek norādītas pēc to veiktspējas. Matricas lielums algebrā ir norādīts kāmērījumi, jo telpu var saukt dažādi. Izmērītie vērtību mēri ir rindas un kolonnas, nevis platums un garums. Piemēram, matrica A:
[1234]
[2345]
[3456].
Tā kā A ir trīs rindas un četras kolonnas, A izmērs ir 3 × 4.
→
↓
Līnijas iet uz sāniem. Kolonnas iet uz augšu un uz leju. "Rinda" un "kolonna" ir specifikācijas un nav savstarpēji aizvietojamas. Matricas izmēri vienmēr tiek norādīti ar rindu skaitu un pēc tam kolonnu skaitu. Ievērojot šo konvenciju, B:
[123]
[234] ir 2 × 3. Ja matricai ir tāds pats rindu skaits kā kolonnām, tad to sauc par "kvadrātu". Piemēram, koeficientu vērtības no augšas:
[110]
[011]
[-101] ir 3 × 3 kvadrātveida matrica.
Matricas apzīmējumi un formatējums
Formatēšanas piezīme. Piemēram, ja nepieciešams rakstīt matricu, ir svarīgi izmantot iekavas . Absolūto vērtību joslas || netiek izmantotas, jo tām šajā kontekstā ir atšķirīgs virziens. Iekavas vai krokainas figūriekavas {} nekad netiek izmantotas. Vai kāds cits grupēšanas simbols, vai vispār nav, jo šīm prezentācijām nav nekādas nozīmes. Algebrā matrica vienmēr atrodas kvadrātiekavās. Jāizmanto tikai pareizi apzīmējumi, pretējā gadījumā atbildes var tikt uzskatītas par izkropļotām.
Kā minēts iepriekš, matricā esošās vērtības sauc par ierakstiem. Kādu iemeslu dēļ attiecīgie elementi parasti ir rakstītilielie burti, piemēram, A vai B, un ieraksti tiek norādīti, izmantojot atbilstošos mazos burtus, bet ar apakšindeksiem. Matricā A vērtības parasti sauc par "ai, j", kur i ir A rinda un j ir A kolonna. Piemēram, a3, 2=8. A1, 3 ieraksts ir 3.
Matricām matricām, kurās ir mazāk par desmit rindām un kolonnām, apakšindeksa komats dažreiz tiek izlaists. Piemēram, "a1, 3=3" var rakstīt kā "a13=3". Acīmredzot tas nedarbosies lielām matricām, jo a213 būs neskaidrs.
Matricas veidi
Dažreiz klasificē pēc ierakstu konfigurācijām. Piemēram, šādu matricu, kurā visas nulles ir zem diagonāles augšējās-kreisās-apakšā-labās diagonāles, sauc par augšējo trīsstūri. Cita starpā var būt arī citi veidi un veidi, taču tie nav īpaši noderīgi. Parasti to galvenokārt uztver kā augšējo trīsstūrveida. Vērtības, kuru eksponenti nav nulle tikai horizontāli, sauc par diagonālajām vērtībām. Līdzīgiem tipiem ir ieraksti, kas atšķiras no nulles, kur visi ir 1, šādas atbildes tiek sauktas par identiskām (iemeslu dēļ, kas kļūs skaidrs, kad tiks uzzināts un saprasts, kā reizināt attiecīgās vērtības). Ir daudz līdzīgu pētījumu rādītāju. 3 × 3 identitāti apzīmē ar I3. Līdzīgi 4 × 4 identitāte ir I4.
Matricas algebra un lineārās telpas
Ņemiet vērā, ka trīsstūrveida matricas ir kvadrātveida. Bet diagonāles ir trīsstūrveida. Ņemot to vērā, tie irkvadrāts. Un identitātes tiek uzskatītas par diagonālēm un līdz ar to par trīsstūrveida un kvadrātveida. Ja ir jāapraksta matrica, parasti vienkārši norāda savu visprecīzāko klasifikāciju, jo tas nozīmē visas pārējās. Klasificējiet šādas pētījuma iespējas:kā 3 × 4. Šajā gadījumā tie nav kvadrātveida. Tāpēc vērtības nevar būt nekas cits. Šāda klasifikācija:ir iespējama kā 3 × 3. Bet to uzskata par kvadrātu, un tajā nav nekā īpaša. Šādu datu klasifikācija:kā 3 × 3 augšējais trīsstūris, bet tas nav diagonāls. Tiesa, aplūkotajās vērtībās uz vai virs izvietotās un norādītās vietas var būt papildu nulles. Pētāmā klasifikācija ir tālāk: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], kur tā ir attēlota kā diagonāle un turklāt visi ieraksti ir 1. Tad šī ir 3 × 3 identitāte, I3.
Tā kā analogās matricas pēc definīcijas ir kvadrātveida, jums ir jāizmanto tikai viens indekss, lai atrastu to izmērus. Lai divas matricas būtu vienādas, tām ir jābūt vienādiem parametriem un vienādiem ierakstiem tajās pašās vietās. Piemēram, pieņemsim, ka tiek izskatīti divi elementi: A=[1 3 0] [-2 0 0] un B=[1 3] [-2 0]. Šīs vērtības nevar būt vienādas, jo tām ir atšķirīgs izmērs.
Pat ja A un B ir: A=[3 6] [2 5] [1 4] un B=[1 2 3] [4 5 6], tie joprojām nav vienādi tas pats. A un B katram irseši ieraksti un arī tiem ir vienādi skaitļi, taču ar to nepietiek matricām. A ir 3 × 2. Un B ir 2 × 3 matrica. A 3 × 2 nav 2 × 3. Nav svarīgi, vai A un B ir vienāds datu apjoms vai pat tādi paši skaitļi kā ierakstiem. Ja A un B nav vienāda izmēra un formas, bet tiem ir identiskas vērtības līdzīgās vietās, tie nav vienādi.
Līdzīgas darbības apskatāmajā apgabalā
Šo matricas vienlīdzības īpašību var pārvērst par uzdevumiem neatkarīgiem pētījumiem. Piemēram, ir dotas divas matricas, un norādīts, ka tās ir vienādas. Šajā gadījumā jums būs jāizmanto šī vienlīdzība, lai izpētītu mainīgo vērtību vērtības un iegūtu atbildes uz tām.
Matricu piemēri un risinājumi algebrā var būt dažādi, it īpaši, ja runa ir par vienādībām. Ņemot vērā, ka tiek ņemtas vērā šādas matricas, ir jāatrod x un y vērtības. Lai A un B būtu vienādi, tiem jābūt vienāda izmēra un formas. Patiesībā tie ir tādi, jo katra no tām ir 2 × 2 matricas. Un tām jābūt vienādām vērtībām tajās pašās vietās. Tad a1, 1 ir jābūt vienādam ar b1, 1, a1, 2 jābūt vienādam ar b1, 2 un tā tālāk. tiem). Bet a1, 1=1 acīmredzami nav vienāds ar b1, 1=x. Lai A būtu identisks ar B, ierakstam jābūt a1, 1=b1, 1, tāpēc tas var būt 1=x. Līdzīgi indeksi a2, 2=b2, 2, tātad 4=y. Tad risinājums ir: x=1, y=4. Ņemot vērā, ka sekojošaismatricas ir vienādas, jums jāatrod x, y un z vērtības. Lai A=B, visiem koeficientu ierakstiem jābūt vienādiem. Tas ir, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 un tā tālāk. Jo īpaši ir:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Kā redzat no atlasītajām matricām: ar 1, 1, 2, 2 un 3, 1 elementiem. Atrisinot šos trīs vienādojumus, mēs iegūstam atbildi: x=4, y=-6 un z=9. Matricas algebra un matricas darbības atšķiras no visiem ierastajām, taču tās nav reproducējamas.
Papildu informācija šajā jomā
Lineārā matricas algebra ir līdzīgu vienādojumu kopu un to transformācijas īpašību izpēte. Šī zināšanu joma ļauj analizēt rotācijas telpā, aproksimēt mazākos kvadrātus, atrisināt saistītos diferenciālvienādojumus, noteikt apli, kas iet cauri trim dotiem punktiem, un atrisināt daudzas citas problēmas matemātikā, fizikā un tehnoloģijās. Matricas lineārā algebra patiesībā nav lietotā vārda tehniskā nozīme, tas ir, vektora telpa v virs lauka f utt.
Matrica un determinants ir ārkārtīgi noderīgi lineārās algebras rīki. Viens no centrālajiem uzdevumiem ir matricas vienādojuma Ax=b atrisinājums priekš x. Lai gan teorētiski to varētu atrisināt, izmantojot apgriezto x=A-1 b. Citas metodes, piemēram, Gausa eliminācija, ir skaitliski uzticamākas.
Papildus tam, ka norādītais tiek izmantots, lai aprakstītu lineāro vienādojumu kopu izpēti,iepriekš minētais termins tiek lietots arī noteikta veida algebras aprakstam. Jo īpaši L virs lauka F ir gredzena struktūra ar visām parastajām iekšējās saskaitīšanas un reizināšanas aksiomām, kā arī sadales likumiem. Tāpēc tas piešķir tai vairāk struktūras nekā gredzens. Lineārā matricas algebra pieļauj arī ārējo operāciju reizināšanai ar skalāriem, kas ir pamatā esošā lauka F elementi. Piemēram, visu aplūkoto transformāciju kopa no vektortelpas V uz sevi virs lauka F tiek veidota virs F. Vēl viens lineāras piemērs algebra ir visu reālo kvadrātu matricu kopa uz lauka R reālie skaitļi.
