Logaritmi: piemēri un risinājumi

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Kā jūs zināt, reizinot izteiksmes ar pakāpēm, to eksponenti vienmēr summējas (a^ba^c=a^{b+ c). Šo matemātisko likumu atvasināja Arhimēds, un vēlāk, 8. gadsimtā, matemātiķis Virasens izveidoja veselu skaitļu rādītāju tabulu. Tieši viņi kalpoja turpmākai logaritmu atklāšanai. Šīs funkcijas izmantošanas piemērus var atrast gandrīz visur, kur nepieciešams vienkāršot apgrūtinošu reizināšanu līdz vienkāršai saskaitīšanai. Ja veltīsit 10 minūtes šī raksta lasīšanai, mēs jums paskaidrosim, kas ir logaritmi un kā ar tiem strādāt. Vienkārša un pieejama valoda.}

Definīcija matemātikā

Logaritms ir šādas formas izteiksme: log_ab=c c", kurā jāpalielina bāze "a", lai beidzot iegūtu vērtību " b". Analizēsim logaritmu, izmantojot piemērus, pieņemsim, ka ir izteiksme log_{28. Kā atrast atbildi? Tas ir ļoti vienkārši, jāatrod tāds grāds, lai no 2 līdz vajadzīgajam grādam iegūtu 8. Domā veicot dažus aprēķinus, iegūstam skaitli 3! Un tā ir taisnība, jo2 palielināts līdz 3, dod atbildi 8.}

Logaritmu varianti

Daudziem skolēniem un studentiem šī tēma šķiet sarežģīta un nesaprotama, taču patiesībā logaritmi nemaz nav tik biedējoši, galvenais ir saprast to vispārējo nozīmi un atcerēties to īpašības un dažus noteikumus. Ir trīs dažādi logaritmisko izteiksmju veidi:

1. Dabisks logaritms ln a, kur bāze ir Eilera skaitlis (e=2, 7).
2. Decimālais logaritms lg a, kur bāze ir skaitlis 10.
3. Jebkura skaitļa b logaritms līdz bāzei a>1.

Katrs no tiem tiek atrisināts standarta veidā, ieskaitot vienkāršošanu, samazināšanu un sekojošu samazināšanu līdz vienam logaritmam, izmantojot logaritmiskās teorēmas. Lai iegūtu pareizās logaritmu vērtības, jāatceras to īpašības un darbību secība to risināšanā.

Noteikumi un daži ierobežojumi

Matemātikā ir vairāki noteikumi-ierobežojumi, kas tiek pieņemti kā aksioma, tas ir, tie nav apspriežami un ir patiesi. Piemēram, nav iespējams dalīt skaitļus ar nulli, kā arī nav iespējams ņemt pāra sakni no negatīviem skaitļiem. Logaritmiem ir arī savi noteikumi, pēc kuriem jūs varat viegli iemācīties strādāt pat ar garām un ietilpīgām logaritmiskām izteiksmēm:

• "a" bāzei vienmēr jābūt lielākai par nulli, un tajā pašā laikā tai jābūt vienādai ar 1, pretējā gadījumā izteiksme zaudēs savu nozīmi, jo "1" un "0" jebkurā pakāpē vienmēr ir vienāds ar to vērtībām;
• ja > 0, tad ab>0,izrādās, ka arī "c" ir jābūt lielākam par nulli.

Kā atrisināt logaritmus?

Piemēram, dodot uzdevumu atrast atbildi uz vienādojumu 10^x=100. Tas ir ļoti vienkārši, jums ir jāizvēlas šāda jauda, paaugstinot skaitli desmit, mēs saņemt 100. Tas, protams, Nu, kvadrātiskais spēks! 10^2=100.

Tagad attēlosim šo izteiksmi kā logaritmisku izteiksmi. Iegūstam log_{10100=2. Atrisinot logaritmus, visas darbības praktiski saplūst, lai atrastu pakāpju, kurai jāievada logaritma bāze, lai iegūtu doto skaitli.}

Lai precīzi noteiktu nezināmas pakāpes vērtību, jums jāiemācās strādāt ar grādu tabulu. Tas izskatās šādi:

Kā redzat, dažus eksponentus var uzminēt intuitīvi, ja jums ir tehniska domāšana un zināšanas par reizināšanas tabulu. Tomēr lielākām vērtībām būs nepieciešama jaudas tabula. To var izmantot pat tie, kas sarežģītās matemātikas tēmās vispār neko nesaprot. Kreisajā kolonnā ir skaitļi (bāze a), augšējā skaitļu rinda ir jaudas c vērtība, līdz kurai tiek pacelts skaitlis a. Krustojumā šūnas nosaka to skaitļu vērtības, kas ir atbilde (ac=b). Ņemsim, piemēram, pašu pirmo šūnu ar skaitli 10 un kvadrātā, iegūstam vērtību 100, kas norādīta mūsu divu šūnu krustpunktā. Viss ir tik vienkārši un viegli, ka sapratīs pat visīstākais humānists!

Vienādojumi un nevienādības

Izrādās, kadNoteiktos apstākļos eksponents ir logaritms. Tāpēc jebkuras matemātiskas skaitliskas izteiksmes var uzrakstīt kā logaritmisku vienādojumu. Piemēram, 3⁴=81 var uzrakstīt kā logaritmu no 81 līdz 3. bāzei, kas ir četri (log₃81=4). Negatīvām pakāpēm noteikumi ir vienādi: 2^-5=1/32, kas rakstīts kā logaritms, mēs iegūstam log_{2 (1/32)=-5. Viena no aizraujošākajām matemātikas sadaļām ir “logaritmu” tēma. Mēs apsvērsim vienādojumu piemērus un risinājumus nedaudz zemāk, tūlīt pēc to īpašību izpētes. Pagaidām apskatīsim, kā izskatās nevienlīdzības un kā tās atšķirt no vienādojumiem.}

Tiek dota šāda izteiksme: log_{2(x-1) > 3 - tā ir logaritmiska nevienādība, jo nezināmā vērtība "x" atrodas zem simbola zīmes. logaritms. Izteiksme salīdzina arī divas vērtības: vēlamā skaitļa logaritms ir lielāks par skaitli trīs.}

Svarīgākā atšķirība starp logaritmiskiem vienādojumiem un nevienādībām ir tā, ka vienādojumi ar logaritmiem (piemērs - logaritms₂x=√9) _{nozīmē atbildē viena vai vairākas konkrētas skaitliskās vērtības, savukārt, risinot nevienādību, tiek noteikts gan pieņemamo vērtību diapazons, gan šīs funkcijas pārtraukuma punkti. Rezultātā atbilde nav vienkārša atsevišķu skaitļu kopa, kā vienādojuma atbildē, bet gan nepārtraukta skaitļu virkne vai kopa.}

Pamatteorēmas par logaritmiem

Risinot primitīvus uzdevumus, lai atrastu logaritma vērtības, iespējams, nezināt tā īpašības. Taču, runājot par logaritmiskiem vienādojumiem vai nevienādībām, pirmkārt, ir skaidri jāsaprot un jāpiemēro praksē visas logaritmu pamatīpašības. Ar vienādojumu piemēriem iepazīsimies vēlāk, vispirms analizēsim katru īpašību sīkāk.

1. Pamata identitāte izskatās šādi: alogaB=B. Tas attiecas tikai tad, ja a ir lielāks par 0, nevis vienāds ar vienu, un B ir lielāks par nulli.
2. Produkta logaritmu var attēlot ar šādu formulu: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Šajā gadījumā obligāts nosacījums ir: d, s}1 _{un s}2 _{> 0; a≠1. Jūs varat sniegt pierādījumu šai logaritmu formulai ar piemēriem un risinājumu. Ļaujiet log}a_s1 _=f1 _{un log}a_s 2_=f2_{, tad a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Mēs saprotam, ka s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(grāda īpašības), un tālāk pēc definīcijas: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{kas bija jāpierāda.}
3. Darījuma logaritms izskatās šādi: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.
4. Teorēmai formulas veidā ir šāda forma: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Šo formulu sauc par "logaritma pakāpes īpašību". Tas atgādina parasto grādu īpašības, un tas nav pārsteidzoši, jo visa matemātika balstās uz regulāriem postulātiem. Apskatīsim pierādījumu.

Ļaujiet log_ab=t, mēs iegūstam a^t=b. Ja paaugstināsit abas puses līdz m jaudai: a^tn=b^;

bet tāpēc, ka a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, tātad log}aq _bn=(nt)/t, tad log^a_q b_n=n/q log^ab. Teorēma pierādīta.

Problēmu un nevienlīdzību piemēri

Visizplatītākie logaritma problēmu veidi ir vienādojumu un nevienādību piemēri. Tie ir atrodami gandrīz visās problēmu grāmatās, kā arī ir iekļauti matemātikas eksāmenu obligātajā daļā. Lai iestātos augstskolā vai nokārtotu iestājpārbaudījumus matemātikā, ir jāzina, kā pareizi atrisināt šādus uzdevumus.

Diemžēl nav vienota plāna vai shēmas logaritma nezināmās vērtības risināšanai un noteikšanai, taču katrai matemātiskajai nevienādībai vai logaritmiskajam vienādojumam var piemērot noteiktus noteikumus. Pirmkārt, jums vajadzētu noskaidrot, vai izteiksmi var vienkāršot vai samazināt līdz vispārīgai formai. Jūs varat vienkāršot garās logaritmiskās izteiksmes, ja pareizi izmantojat to īpašības. Drīzumā iepazīsimies ar viņiem.

Atrisinot logaritmiskos vienādojumus,ir nepieciešams noteikt, kāda veida logaritms mums ir priekšā: izteiksmes piemērs var saturēt naturālo logaritmu vai decimāldaļu.

Šeit ir decimālo logaritmu piemēri: ln100, ln1026. Viņu risinājums ir saistīts ar faktu, ka jums ir jānosaka pakāpe, kādā bāze 10 būs vienāda ar attiecīgi 100 un 1026. Naturālo logaritmu risinājumiem jāpiemēro logaritmiskās identitātes vai to īpašības. Apskatīsim dažādu veidu logaritmisko uzdevumu risināšanas piemērus.

Kā lietot logaritma formulas: ar piemēriem un risinājumiem

Tātad, apskatīsim piemērus, kā izmantot galvenās teorēmas par logaritmiem.

1. Produkta logaritma īpašību var izmantot uzdevumos, kur nepieciešams lielu skaitļa b vērtību sadalīt vienkāršākos faktoros. Piemēram, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=žurnāls_{2512. Atbilde ir 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - kā redzat, pielietojot logaritma pakāpes ceturto īpašību, no pirmā acu uzmetiena izdevās atrisināt sarežģīta un neatrisināma izteiksme. Viss, kas jums jādara, ir jāaprēķina bāze un pēc tam jāizņem jauda no logaritma zīmes.}

Uzdevumi no eksāmena

Iestājeksāmenos bieži sastopami logaritmi, īpaši daudz logaritmisko uzdevumu Vienotajā valsts eksāmenā (valsts eksāmens visiem skolu absolventiem). Parasti šie uzdevumi ir ne tikai A daļā (visvairākeksāmena vieglā testa daļa), bet arī C daļā (grūtākie un apjomīgākie uzdevumi). Eksāmenam nepieciešamas precīzas un nevainojamas zināšanas par tēmu "Dabiskie logaritmi".

Piemēri un problēmu risinājumi ir ņemti no eksāmena oficiālajām versijām. Paskatīsimies, kā šādi uzdevumi tiek risināti.

Dotais log₂(2x-1)=4. Risinājums:

pārrakstiet izteiksmi, nedaudz vienkāršojot to log_2(2x-1)=22^{, pēc logaritma definīcijas iegūstam, ka 2x-1=2}4^{, tātad 2x=17; x=8, 5.}

Ievērojot dažas vadlīnijas, pēc kurām varat viegli atrisināt visus vienādojumus, kas satur izteiksmes, kas atrodas zem logaritma zīmes.

• Vislabāk ir samazināt visus logaritmus līdz vienai bāzei, lai risinājums nebūtu apgrūtinošs un mulsinošs.
• Visas izteiksmes zem logaritma zīmes ir norādītas kā pozitīvas, tāpēc, reizinot izteiksmes eksponentu, kas atrodas zem logaritma zīmes un kā tās bāzi, izteiksmei, kas paliek zem logaritma, jābūt pozitīvai.