Pēc materiāla izlasīšanas lasītājs sapratīs, ka planimetrija nemaz nav grūta. Rakstā sniegta svarīgākā teorētiskā informācija un formulas, kas nepieciešamas konkrētu problēmu risināšanai. Svarīgi apgalvojumi un figūru īpašības ir salikti plauktos.
Definīcija un svarīgi fakti
Planimetrija ir ģeometrijas nozare, kas aplūko objektus uz līdzenas divdimensiju virsmas. Var identificēt dažus piemērotus piemērus: kvadrāts, aplis, rombs.
Cita starpā ir vērts izcelt punktu un līniju. Tie ir divi planimetrijas pamatjēdzieni.
Viss pārējais jau ir veidots uz tiem, piemēram:
- Nogrieznis ir daļa no taisnes, ko ierobežo divi punkti.
- Stari ir segmentam līdzīgs objekts, taču tam ir robeža tikai vienā pusē.
- Leņķis, kas sastāv no diviem stariem, kas iziet no viena punkta.
Aksiomas un teorēmas
Sīkāk apskatīsim aksiomas. Planimetrijā šie ir vissvarīgākie noteikumi, pēc kuriem darbojas visa zinātne. Jā, un ne tikai tajā. Autorspēc definīcijas tie ir apgalvojumi, kuriem nav nepieciešami pierādījumi.
Aksiomas, kas tiks aplūkotas turpmāk, ir daļa no tā sauktās Eiklīda ģeometrijas.
- Ir divi punkti. Caur tiem vienmēr var novilkt vienu līniju.
- Ja līnija pastāv, tad ir punkti, kas atrodas uz tās, un punkti, kas uz tās neatrodas.
Šie 2 apgalvojumi tiek saukti par piederības aksiomām, un sekojošie ir sakārtoti:
- Ja uz taisnes ir trīs punkti, tad vienam no tiem jāatrodas starp pārējiem diviem.
- Plakne ir sadalīta ar jebkuru taisni divās daļās. Kad segmenta gali atrodas uz vienas puses, tad tai pieder viss objekts. Pretējā gadījumā sākotnējai līnijai un segmentam ir krustošanās punkts.
Mēru aksiomas:
- Katra segmenta garums nav nulle. Ja punkts to sadala vairākās daļās, tad to summa būs vienāda ar visu objekta garumu.
- Katram leņķim ir noteiktas pakāpes mērs, kas nav vienāds ar nulli. Ja to sadalīsi ar staru, tad sākotnējais leņķis būs vienāds ar izveidoto summu.
Paralēli:
Lidmašīnā ir taisna līnija. Caur jebkuru punktu, kas tai nepieder, paralēli dotajai var novilkt tikai vienu taisni
Teorēmas planimetrijā vairs nav gluži fundamentāli apgalvojumi. Tie parasti tiek pieņemti kā fakti, taču katram no tiem ir pierādījums, kas balstīts uz iepriekš minētajiem pamatjēdzieniem. Turklāt viņu ir ļoti daudz. Visu būs diezgan grūti izjaukt, taču iesniegtajā materiālā būs dažino tiem.
Agrāk ir vērts apskatīt šādus divus:
- Blakusējo leņķu summa ir 180 grādi.
- Vertikālajiem leņķiem ir vienāda vērtība.
Šīs divas teorēmas var būt noderīgas, risinot ģeometriskas problēmas, kas saistītas ar n-stūriem. Tie ir diezgan vienkārši un intuitīvi. Ir vērts tos atcerēties.
Trijstūri
Trijstūris ir ģeometriska figūra, kas sastāv no trim secīgi savienotiem segmentiem. Tie ir klasificēti pēc vairākiem kritērijiem.
Sānos (attiecības izriet no nosaukumiem):
- Līdzmalu.
- Viensānu - divas malas un pretējie leņķi ir attiecīgi vienādi.
- Daudzpusīgs.
Stūros:
- akūts leņķis;
- taisnstūrveida;
- stulbs.
Divi stūri vienmēr būs asi neatkarīgi no situācijas, un trešo nosaka vārda pirmā daļa. Tas ir, taisnleņķa trijstūra viens no leņķiem ir vienāds ar 90 grādiem.
Rekvizīti:
- Jo lielāks leņķis, jo lielāka ir pretējā puse.
- Visu leņķu summa ir 180 grādi.
- Platību var aprēķināt, izmantojot formulu: S=½ ⋅ h ⋅ a, kur a ir mala, h ir tai pievilktais augstums.
- Jūs vienmēr varat ierakstīt apli trīsstūrī vai aprakstīt to apkārt.
Viena no planimetrijas pamatformulām ir Pitagora teorēma. Tas darbojas tikai taisnleņķa trīsstūrim un izklausās šādi: kvadrātshipotenūza ir vienāda ar kāju kvadrātu summu: AB2 =AC2 + BC2.
Hipotenūza ir puse, kas ir pretēja 90° leņķim, un kājas ir blakus esošā puse.
Quadagons
Par šo tēmu ir daudz informācijas. Tālāk ir norādīti tikai vissvarīgākie.
Dažas šķirnes:
- Paralelogramma - pretējās malas ir vienādas un paralēlas pa pāriem.
- Rombs ir paralelograms, kura malas ir vienāda garuma.
- Taisnstūris - paralelograms ar četriem taisnleņķiem
- Kvadrāts ir gan rombs, gan taisnstūris.
- Trapecija - tikai divas pretējās malas ir paralēlas.
Rekvizīti:
- Iekšējo leņķu summa ir 360 grādi.
- Platību vienmēr var aprēķināt, izmantojot formulu: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), kur p ir puse no perimetra, a, b, c, d ir malas skaitlis.
- Ja apli var aprakstīt ap četrstūri, tad es to saucu par izliektu, ja nē - par neizliektu.
