Matemātikā apgrieztās funkcijas ir savstarpēji atbilstošas izteiksmes, kas pārvēršas viena otrā. Lai saprastu, ko tas nozīmē, ir vērts apsvērt konkrētu piemēru. Pieņemsim, ka mums ir y=cos(x). Ja no argumenta ņemam kosinusu, tad varam atrast y vērtību. Acīmredzot, lai to izdarītu, jums ir jābūt x. Bet ko tad, ja spēlētājs sākotnēji tiek dots? Šeit tas nonāk lietas būtībā. Lai atrisinātu problēmu, ir jāizmanto apgrieztā funkcija. Mūsu gadījumā tas ir loka kosinuss.
Pēc visām pārvērtībām mēs iegūstam: x=arccos(y).
Tas ir, lai atrastu funkciju, kas ir apgriezta dotajai funkcijai, pietiek tikai ar argumentu izteikt no tās. Bet tas darbojas tikai tad, ja rezultātam būs viena vērtība (vairāk par to vēlāk).
Kopumā šo faktu var uzrakstīt šādi: f(x)=y, g(y)=x.
Definīcija
Lai f ir funkcija, kuras domēns ir kopa X, unvērtību diapazons ir kopa Y. Tad, ja pastāv g, kura domēni veic pretējus uzdevumus, tad f ir atgriezenisks.
Turklāt šajā gadījumā g ir unikāls, kas nozīmē, ka ir tieši viena funkcija, kas apmierina šo īpašību (ne vairāk, ne mazāk). Tad to sauc par apgriezto funkciju, un rakstveidā to apzīmē šādi: g(x)=f -1(x).
Citiem vārdiem sakot, tās var uzskatīt par bināru sakarību. Atgriezeniskums notiek tikai tad, ja viens kopas elements atbilst vienai vērtībai no citas.
Ne vienmēr ir apgrieztā funkcija. Lai to izdarītu, katram elementam y є Y jāatbilst ne vairāk kā vienam x є X. Tad f tiek saukts viens pret vienu vai injekcija. Ja f -1 pieder Y, tad katram šīs kopas elementam ir jāatbilst kādam x ∈ X. Funkcijas ar šo īpašību sauc par surjekcijām. Tas ir spēkā pēc definīcijas, ja Y ir attēls f, bet tas ne vienmēr ir gadījums. Lai funkcija būtu apgriezta, tai ir jābūt gan injekcijai, gan izspiešanai. Šādas izteiksmes sauc par bijekcijām.
Piemērs: kvadrātveida un saknes funkcijas
Funkcija ir definēta uz [0, ∞) un norādīta ar formulu f (x)=x2.
Tad tas nav injicējams, jo katrs iespējamais iznākums Y (izņemot 0) atbilst diviem dažādiem X - vienam pozitīvam un vienam negatīvam, tāpēc tas nav atgriezenisks. Šajā gadījumā nebūs iespējams iegūt sākotnējos datus no saņemtajiem, kas ir pretrunāteorijas. Tas būs neinjicējams.
Ja definīcijas domēns ir nosacīti ierobežots ar nenegatīvām vērtībām, tad viss darbosies kā iepriekš. Tad tas ir objektīvs un tādējādi apgriežams. Apgrieztā funkcija šeit tiek saukta par pozitīvu.
Piezīme par ierakstu
Lai apzīmējums f -1 (x) cilvēku var mulsināt, taču nekādā gadījumā to nedrīkst lietot šādi: (f (x)) - 1 . Tas attiecas uz pilnīgi atšķirīgu matemātisko jēdzienu, un tam nav nekāda sakara ar apgriezto funkciju.
Parasti daži autori izmanto tādus izteicienus kā sin-1 (x).
Tomēr citi matemātiķi uzskata, ka tas var radīt neskaidrības. Lai izvairītos no šādām grūtībām, apgrieztās trigonometriskās funkcijas bieži tiek apzīmētas ar prefiksu "loka" (no latīņu loka). Mūsu gadījumā mēs runājam par arcsīnu. Dažām citām funkcijām dažkārt varat redzēt arī prefiksu "ar" vai "inv".
