Maz ticams, ka daudzi cilvēki domā par to, vai ir iespējams aprēķināt notikumus, kas ir vairāk vai mazāk nejauši. Vienkārši izsakoties, vai ir reāli zināt, kura kauliņa kauliņa puse izkritīs nākamā. Tieši šo jautājumu uzdeva divi izcili zinātnieki, kuri lika pamatus tādai zinātnei kā varbūtības teorija, kurā diezgan plaši tiek pētīta notikuma iespējamība.
Izcelsme
Ja mēģināt definēt šādu jēdzienu kā varbūtības teoriju, jūs iegūstat sekojošo: šī ir viena no matemātikas nozarēm, kas pēta nejaušu notikumu pastāvību. Protams, šis jēdziens īsti neatklāj visu būtību, tāpēc ir nepieciešams to izskatīt sīkāk.
Es gribētu sākt ar teorijas veidotājiem. Kā minēts iepriekš, tie bija divi, tie ir Pjērs Fermā un Blēzs Paskāls. Tieši viņi bija vieni no pirmajiem, kuri mēģināja aprēķināt notikuma iznākumu, izmantojot formulas un matemātiskos aprēķinus. Kopumā šīs zinātnes pamati parādījās jau agrākViduslaiki. Tajā laikā dažādi domātāji un zinātnieki mēģināja analizēt azartspēles, piemēram, ruleti, craps un tā tālāk, tādējādi izveidojot modeli un procentuālo skaitu, kad konkrētais skaitlis izkrīt. Pamatus septiņpadsmitajā gadsimtā ielika iepriekš minētie zinātnieki.
Sākumā viņu darbu nevarēja saistīt ar lielajiem sasniegumiem šajā jomā, jo viss, ko viņi darīja, bija vienkārši empīriski fakti, un eksperimenti tika uzstādīti vizuāli, neizmantojot formulas. Laika gaitā izdevās sasniegt lieliskus rezultātus, kas parādījās kauliņu mešanas novērošanas rezultātā. Tieši šis rīks palīdzēja iegūt pirmās saprotamās formulas.
Associates
Nevar nepieminēt tādu personu kā Kristians Huigenss, pētot tēmu, ko sauc par "varbūtību teoriju" (notikuma iespējamība šajā zinātnē ir aplūkota precīzi). Šis cilvēks ir ļoti interesants. Viņš, tāpat kā iepriekš izklāstītie zinātnieki, mēģināja atvasināt nejaušu notikumu regularitāti matemātisko formulu veidā. Zīmīgi, ka viņš to nedarīja kopā ar Paskālu un Fermā, tas ir, visi viņa darbi nekādā veidā nekrustojas ar šiem prātiem. Haigenss atvasināja varbūtību teorijas pamatjēdzienus.
Interesants fakts ir tas, ka viņa darbs iznāca ilgi pirms pionieru darba rezultātiem vai, pareizāk sakot, divdesmit gadus agrāk. No norādītajiem jēdzieniem slavenākie ir:
- varbūtības jēdziens kā nejaušības lielums;
- ceras uz diskrētugadījumi;
- varbūtību reizināšanas un saskaitīšanas teorēmas.
Nevar arī neatcerēties Džeikobu Bernulli, kurš arī sniedza nozīmīgu ieguldījumu problēmas izpētē. Veicot savus testus, neatkarīgi no neviena, viņam izdevās uzrādīt lielu skaitļu likuma pierādījumu. Savukārt zinātnieki Puasons un Laplass, kuri strādāja deviņpadsmitā gadsimta sākumā, spēja pierādīt sākotnējās teorēmas. No šī brīža varbūtību teoriju sāka izmantot, lai analizētu kļūdas novērojumu gaitā. Arī krievu zinātnieki, pareizāk sakot, Markovs, Čebiševs un Djapunovs nevarēja apiet šo zinātni. Pamatojoties uz lielo ģēniju darbu, viņi fiksēja šo priekšmetu kā matemātikas nozari. Šie skaitļi darbojās jau deviņpadsmitā gadsimta beigās, un, pateicoties to ieguldījumam, parādījās tādas parādības kā:
- lielo skaitļu likums;
- Markova ķēdes teorija;
- centrālās robežas teorēma.
Tātad ar zinātnes dzimšanas vēsturi un galvenajiem cilvēkiem, kas to ietekmējuši, viss ir vairāk vai mazāk skaidrs. Tagad ir pienācis laiks konkretizēt visus faktus.
Pamatjēdzieni
Pirms pieskarties likumiem un teorēmām, ir vērts izpētīt varbūtību teorijas pamatjēdzienus. Pasākums tajā ieņem vadošo lomu. Šī tēma ir diezgan apjomīga, bet bez tās visu pārējo saprast nevarēs.
Notikums varbūtību teorijā ir jebkura eksperimenta rezultātu kopa. Šīs parādības jēdzienu nav tik daudz. Tātad, zinātnieks Lotman,strādājot šajā jomā, teica, ka šajā gadījumā mēs runājam par kaut ko, kas "notika, lai gan tas varēja nenotikt".
Nejauši notikumi (tiem varbūtības teorija pievērš īpašu uzmanību) ir jēdziens, kas nozīmē absolūti jebkuru parādību, kurai ir iespēja notikt. Vai, gluži pretēji, šis scenārijs var nenotikt, ja ir izpildīti daudzi nosacījumi. Ir arī vērts zināt, ka tie ir nejauši notikumi, kas aptver visu notikušo parādību apjomu. Varbūtību teorija norāda, ka visus nosacījumus var pastāvīgi atkārtot. Tā bija viņu uzvedība, ko sauca par "pieredzi" vai "pārbaudi".
Noteikts notikums ir tāds, kas 100% notiks noteiktā testā. Attiecīgi neiespējams notikums ir tāds, kas nenotiks.
Darbību pāra kombinācija (parasti gadījums A un gadījums B) ir parādība, kas notiek vienlaicīgi. Tie ir apzīmēti kā AB.
Notikumu A un B pāru summa ir C, proti, ja notiek kaut viens no tiem (A vai B), tad tiks iegūts C. Aprakstītās parādības formula ir uzrakstīta šādi.: C=A + B.
Nesaistīti notikumi varbūtību teorijā nozīmē, ka divi gadījumi viens otru izslēdz. Tie nekad nevar notikt vienlaikus. Kopīgi notikumi varbūtību teorijā ir to antipods. Tas nozīmē, ka, ja notika A, tas netraucē B.
Pretējus notikumus (varbūtību teorija tos aplūko ļoti detalizēti) ir viegli saprast. Vislabāk ar tiem tikt galā, salīdzinot. Tie ir gandrīz tādi paši kāun nesavienojami notikumi varbūtību teorijā. Taču to atšķirība slēpjas apstāklī, ka vienai no daudzajām parādībām tomēr ir jānotiek.
Līdzvērtīgi notikumi ir tās darbības, kuru iespējamība ir vienāda. Lai padarītu to skaidrāku, mēs varam iedomāties monētas mešanu: vienai no tās pusēm ir tikpat liela iespēja nokrist arī otrai.
Labvēlīgo notikumu ir vieglāk redzēt, izmantojot piemēru. Pieņemsim, ka ir sērija B un A sērija. Pirmā ir kauliņu metšana ar nepāra skaitļa parādīšanos, bet otrā ir skaitļa pieci parādīšanās uz kauliņa. Tad izrādās, ka A dod priekšroku B.
Neatkarīgi notikumi varbūtību teorijā tiek prognozēti tikai divos vai vairākos gadījumos un nozīmē jebkuras darbības neatkarību no citas. Piemēram, A ir astes zudums, kad tiek mētāta monēta, un B ir domkrata zīmējums no klāja. Tie ir neatkarīgi notikumi varbūtību teorijā. Ar šo brīdi kļuva skaidrāks.
Atkarīgie notikumi varbūtību teorijā arī ir pieļaujami tikai to kopai. Tie nozīmē viena atkarību no otra, tas ir, parādība B var notikt tikai tad, ja A jau ir noticis vai, gluži pretēji, nav noticis, ja tas ir galvenais B nosacījums.
Nejauša eksperimenta, kas sastāv no viena komponenta, iznākums ir elementāri notikumi. Varbūtību teorija skaidro, ka šī ir parādība, kas notika tikai vienu reizi.
Pamatformulas
Tātad, jēdzieni "notikums", "varbūtību teorija",tika dota arī šīs zinātnes pamatjēdzienu definīcija. Tagad ir pienācis laiks tieši iepazīties ar svarīgajām formulām. Šīs izteiksmes matemātiski apstiprina visus galvenos jēdzienus tik sarežģītā priekšmetā kā varbūtības teorija. Arī šeit liela nozīme ir notikuma iespējamībai.
Labāk sāciet ar kombinatorikas pamatformulām. Un pirms turpināt tos, ir vērts padomāt, kas tas ir.
Kombinatorika galvenokārt ir matemātikas nozare, tā nodarbojas ar ļoti daudzu veselu skaitļu izpēti, kā arī ar dažādām pašu skaitļu un to elementu permutācijām, dažādiem datiem utt., kā rezultātā rodas vairākas kombinācijas. Papildus varbūtību teorijai šī nozare ir svarīga statistikai, datorzinātnei un kriptogrāfijai.
Tātad tagad varam pāriet uz pašu formulu prezentāciju un to definēšanu.
Pirmā būs permutāciju skaita izteiksme, tas izskatās šādi:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Vienādojums ir spēkā tikai tad, ja elementi atšķiras tikai secībā.
Tagad tiks ņemta vērā izvietojuma formula, tā izskatās šādi:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Šī izteiksme attiecas ne tikai uz elementa secību, bet arī uz tā sastāvu.
Trešo kombinatorikas vienādojumu, un tas ir arī pēdējais, sauc par kombināciju skaita formulu:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinācijas ir atlases, kas attiecīgi nav sakārtotas, un uz tām attiecas šis noteikums.
Izrādījās viegli izdomāt kombinatorikas formulas, tagad varam pāriet uz klasisko varbūtību definīciju. Šī izteiksme izskatās šādi:
P(A)=m: n.
Šajā formulā m ir notikumam A labvēlīgo nosacījumu skaits, un n ir absolūti visu vienādi iespējamo un elementāro iznākumu skaits.
Izteikumu ir ļoti daudz, rakstā netiks apskatīti visi, bet tiks skarti svarīgākie no tiem, piemēram, notikumu summas varbūtība:
P(A + B)=P(A) + P(B) - šī teorēma ir paredzēta tikai nesaderīgu notikumu pievienošanai;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - un šis ir paredzēts tikai saderīgu pievienošanai.
Notikumu rašanās varbūtība:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – šī teorēma ir paredzēta neatkarīgiem notikumiem;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - un šis ir paredzēts narkomāni.
Notikuma formula beidz sarakstu. Varbūtību teorija stāsta par Beiisa teorēmu, kas izskatās šādi:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Šajā formulā H1, H2, …, H ir pilnīga hipotēžu grupa.
Apstāsimies šeit, tad tiks izskatīti piemēri formulu pielietošanai konkrētu problēmu risināšanai no prakses.
Piemēri
Ja rūpīgi izpētīsit kādu sadaļumatemātika, neiztiek bez uzdevumiem un risinājumu paraugiem. Tāpat arī varbūtības teorija: notikumi, piemēri šeit ir neatņemama sastāvdaļa, kas apstiprina zinātniskus aprēķinus.
Permutāciju skaita formula
Pieņemsim, ka kāršu komplektā ir trīsdesmit kārtis, sākot ar vienu nominālvērtību. Nākamais jautājums. Cik daudzos veidos ir iespējams salikt kārtis, lai kārtis ar nominālvērtību viens un divi neatrastos blakus?
Uzdevums ir uzstādīts, tagad pāriesim pie tā risināšanas. Vispirms jums ir jānosaka trīsdesmit elementu permutāciju skaits, šim nolūkam mēs ņemam iepriekš minēto formulu, izrādās P_30=30!.
Pamatojoties uz šo noteikumu, mēs uzzināsim, cik daudz iespēju ir salocīt klāju dažādos veidos, taču mums ir jāatņem no tām tās, kurās ir nākamā pirmā un otrā kārts. Lai to izdarītu, sāksim ar opciju, kad pirmais ir virs otrā. Izrādās, ka pirmā kārts var aizņemt divdesmit deviņas vietas - no pirmās līdz divdesmit devītajai, bet otrā karte no otrās līdz trīsdesmitajai, izrādās, ka kāršu pārim ir divdesmit deviņas vietas. Savukārt pārējās var ieņemt divdesmit astoņas vietas, turklāt jebkurā secībā. Tas ir, divdesmit astoņu kāršu permutācijai ir divdesmit astoņas iespējas P_28=28!
Rezultātā izrādās, ka, ja mēs apsvērsim risinājumu, kad pirmā karte ir beigusies ar otro, ir 29 ⋅ 28 papildu iespējas!=29!
Izmantojot to pašu metodi, jums jāaprēķina lieko opciju skaits gadījumam, kad pirmā karte atrodas zem otrās. Izrādās arī 29 ⋅ 28!=29!
No tā izriet, ka ir 2 ⋅ 29 papildu iespējas!, savukārt klāja izveidošanai ir nepieciešami 30 veidi! - 2 ⋅ 29!. Atliek tikai skaitīt.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30–2)=29! ⋅ 28
Tagad jums ir jāreizina visi skaitļi no viena līdz divdesmit deviņiem un tad beigās jāreizina viss ar 28. Atbilde ir 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Piemēra risinājums. Izvietojuma numura formula
Šajā uzdevumā ir jānoskaidro, cik daudzos veidos var salikt piecpadsmit sējumus vienā plauktā, bet ar nosacījumu, ka kopā ir trīsdesmit sējumi.
Šai problēmai ir nedaudz vieglāks risinājums nekā iepriekšējai. Izmantojot jau zināmo formulu, ir jāaprēķina kopējais vietu skaits no trīsdesmit piecpadsmit sējumiem.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 ⋅ 16=202 843 204 731 204 76
Atbilde būs attiecīgi 202 843 204 931 727 360 000.
Tagad pieņemsim uzdevumu nedaudz grūtāk. Jums ir jānoskaidro, cik daudzos veidos ir iespējams sakārtot trīsdesmit grāmatas divos grāmatu plauktos, ja vienā plauktā var atrasties tikai piecpadsmit sējumi.
Pirms risinājuma sākšanas vēlos precizēt, ka dažas problēmas tiek atrisinātas vairākos veidos, tāpēc šajā gadījumā ir divi veidi, taču abos tiek izmantota viena un tā pati formula.
Šajā uzdevumā jūs varat ņemt atbildi no iepriekšējās, jo tur mēs aprēķinājām, cik reizes jūs varat aizpildīt plauktu ar piecpadsmit grāmatām par-savādāk. Izrādījās A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Otro plauktu aprēķināsim, izmantojot permutācijas formulu, jo tajā ir ievietotas piecpadsmit grāmatas, bet paliek tikai piecpadsmit. Izmantojiet formulu P_15=15!.
Izrādās, ka kopsumma būs A_30^15 ⋅ P_15 veidos, bet turklāt visu skaitļu reizinājums no trīsdesmit līdz sešpadsmit būs jāreizina ar skaitļu reizinājumu no viena līdz piecpadsmit, kā rezultāts ir visu skaitļu reizinājums no viena līdz trīsdesmit, tāpēc atbilde ir 30!
Bet šo problēmu var atrisināt savādāk – vienkāršāk. Lai to izdarītu, varat iedomāties, ka ir viens plaukts trīsdesmit grāmatām. Visas ir uzliktas uz šīs plaknes, bet tā kā nosacījums paredz, ka ir divi plaukti, tad vienu garo pārgriežam uz pusēm, sanāk katrs divi piecpadsmit. No tā izrādās, ka izvietojuma iespējas var būt P_30=30!.
Piemēra risinājums. Formula kombinācijas numuram
Tagad mēs apsvērsim kombinatorikas trešās problēmas variantu. Jums ir jānoskaidro, cik dažādos veidos ir iespējams sakārtot piecpadsmit grāmatas, ja jums ir jāizvēlas no trīsdesmit pilnīgi identiskām grāmatām.
Risinājumam, protams, tiks piemērota kombināciju skaita formula. No nosacījuma kļūst skaidrs, ka identisku piecpadsmit grāmatu secībai nav nozīmes. Tāpēc sākotnēji jums ir jānoskaidro kopējais trīsdesmit piecpadsmit grāmatu kombināciju skaits.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: piecpadsmit!=155 117 520
Tas ir viss. Izmantojot šo formulu, tas bija iespējams pēc iespējas īsākā laikāatrisinātu šādu problēmu, atbilde ir attiecīgi 155 117 520.
Piemēra risinājums. Klasiskā varbūtības definīcija
Izmantojot iepriekš minēto formulu, varat atrast atbildi uz vienkāršu problēmu. Bet tas palīdzēs vizuāli redzēt un sekot līdzi darbību gaitai.
Uzdevumā ir dots, ka urnā ir desmit absolūti identiskas bumbiņas. No tiem četri ir dzelteni un seši ir zili. No urnas tiek izņemta viena bumbiņa. Jums ir jānoskaidro varbūtība kļūt zilā krāsā.
Lai atrisinātu problēmu, zilās bumbas iegūšana ir jānorāda kā notikums A. Šai pieredzei var būt desmit iznākumi, kas savukārt ir elementāri un vienlīdz ticami. Tajā pašā laikā no desmit seši ir labvēlīgi notikumam A. Risinām pēc formulas:
P(A)=6: 10=0, 6
Pielietojot šo formulu, mēs noskaidrojām, ka varbūtība iegūt zilo bumbiņu ir 0,6.
Piemēra risinājums. Notikumu summas varbūtība
Tagad tiks parādīts variants, kas tiek atrisināts, izmantojot notikumu summas varbūtības formulu. Tātad, ja ir divas kastes, pirmajā ir viena pelēka un piecas b altas bumbiņas, bet otrajā ir astoņas pelēkas un četras b altas bumbiņas. Rezultātā viens no tiem tika izņemts no pirmās un otrās kastes. Jums ir jānoskaidro, kāda ir iespēja, ka bumbiņas, ko iegūsit, būs pelēkas un b altas.
Lai atrisinātu šo problēmu, atzīmējiet notikumus.
- Tātad, A - paņemiet pelēko bumbiņu no pirmās kastes: P(A)=1/6.
- A’ – paņem b altu bumbiņu arī no pirmās kastes: P(A')=5/6.
- B – pelēkā bumbiņa jau ir izņemta no otrās kastes: P(B)=2/3.
- B’ - paņemiet pelēko bumbiņu no otrās kastes: P(B')=1/3.
Atbilstoši problēmas stāvoklim jānotiek vienai no parādībām: AB' vai A'B. Izmantojot formulu, mēs iegūstam: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Tagad ir izmantota varbūtības reizināšanas formula. Tālāk, lai uzzinātu atbildi, jums jāpiemēro to saskaitīšanas vienādojums:
P=P(AB'+A'B)=P(AB') + P(A'B)=18.11.
Šādi, izmantojot formulu, varat atrisināt līdzīgas problēmas.
Rezultāts
Rakstā tika sniegta informācija par tēmu "Varbūtību teorija", kurā notikuma varbūtībai ir izšķiroša loma. Protams, ne viss tika ņemts vērā, taču, vadoties pēc uzrādītā teksta, teorētiski var iepazīties ar šo matemātikas sadaļu. Attiecīgā zinātne var būt noderīga ne tikai profesionālajā darbā, bet arī ikdienā. Ar tās palīdzību jūs varat aprēķināt jebkura notikuma iespējamību.
Teksts skāra arī nozīmīgus datumus varbūtību teorijas kā zinātnes veidošanās vēsturē un to cilvēku vārdus, kuru darbi tajā ieguldīti. Tā cilvēku zinātkāre noveda pie tā, ka cilvēki iemācījās aprēķināt pat nejaušus notikumus. Kādreiz viņus tas vienkārši interesēja, bet šodien jau visi par to zina. Un neviens nepateiks, kas mūs sagaida nākotnē, kādi vēl spoži atklājumi saistībā ar aplūkojamo teoriju tiks veikti. Taču viens ir skaidrs – pētījumi nestāv uz vietas!
