Daudzi, saskaroties ar jēdzienu "varbūtību teorija", ir nobijušies, domājot, ka tas ir kaut kas satriecošs, ļoti sarežģīts. Bet patiesībā viss nav tik traģiski. Šodien mēs apsvērsim varbūtības teorijas pamatjēdzienu, uzzināsim, kā atrisināt problēmas, izmantojot konkrētus piemērus.
Zinātne
Ko pēta tāda matemātikas nozare kā "varbūtību teorija"? Tas atzīmē nejaušu notikumu un daudzumu modeļus. Pirmo reizi zinātnieki par šo jautājumu sāka interesēties astoņpadsmitajā gadsimtā, kad viņi pētīja azartspēles. Varbūtību teorijas pamatjēdziens ir notikums. Tas ir jebkurš fakts, kas tiek noskaidrots pieredzē vai novērojumos. Bet kas ir pieredze? Vēl viens varbūtības teorijas pamatjēdziens. Tas nozīmē, ka šis apstākļu salikums nav radīts nejauši, bet gan konkrētam mērķim. Kas attiecas uz novērošanu, tad šeit pats pētnieks nepiedalās eksperimentā, bet vienkārši ir šo notikumu liecinieks, viņš nekādi neietekmē notiekošo.
Notikumi
Mēs uzzinājām, ka varbūtības teorijas pamatjēdziens ir notikums, taču neņēmām vērā klasifikāciju. Tās visas ir iedalītas šādās kategorijās:
- Uzticami.
- Neiespējami.
- Nejauši.
Nav svarīgikādi notikumi tiek novēroti vai radīti pieredzes gaitā, tie visi ir pakļauti šai klasifikācijai. Piedāvājam iepazīties ar katru no sugām atsevišķi.
Noteikts notikums
Šis ir apstāklis, līdz kuram ir veikts nepieciešamais pasākumu kopums. Lai labāk izprastu būtību, labāk minēt dažus piemērus. Šis likums attiecas uz fiziku, ķīmiju, ekonomiku un augstāko matemātiku. Varbūtību teorija ietver tik svarīgu jēdzienu kā noteikts notikums. Šeit ir daži piemēri:
- Strādājam un saņemam atalgojumu algas veidā.
- Labi nokārtojām eksāmenus, nokārtojām konkursu, par to saņemam atlīdzību uzņemšanas veidā izglītības iestādē.
- Ieguldījām naudu bankā, nepieciešamības gadījumā atgūsim.
Šādi pasākumi ir uzticami. Ja būsim izpildījuši visus nepieciešamos nosacījumus, tad noteikti iegūsim cerēto rezultātu.
Neiespējami notikumi
Tagad mēs apsveram varbūtības teorijas elementus. Mēs ierosinām pāriet pie nākamā veida notikuma, proti, neiespējamā, skaidrojuma. Vispirms precizēsim vissvarīgāko noteikumu – neiespējama notikuma iespējamība ir nulle.
Risinot problēmas, jūs nevarat atkāpties no šī formulējuma. Skaidrības labad šeit ir šādu notikumu piemēri:
- Ūdens sasala pie plus desmit (tas nav iespējams).
- Elektrības trūkums nekādā veidā neietekmē ražošanu (tikpat neiespējami kā iepriekšējā piemērā).
Citi piemēriCitēt nav vērts, jo iepriekš aprakstītie ļoti skaidri atspoguļo šīs kategorijas būtību. Neiespējamais notikums nekad un nekādos apstākļos nenotiks pieredzes laikā.
Nejauši notikumi
Pētot varbūtību teorijas elementus, šim konkrētajam notikuma veidam jāpievērš īpaša uzmanība. Tieši to pēta zinātne. Pieredzes rezultātā kaut kas var notikt un var nenotikt. Turklāt testu var atkārtot neierobežotu skaitu reižu. Spilgti piemēri ir:
- Monētas mešana ir pieredze vai pārbaudījums, virsraksts ir notikums.
- Akli bumbiņas izvilkšana no maisa ir pārbaudījums, sarkanās bumbas noķeršana ir notikums un tā tālāk.
Šādu piemēru var būt neierobežots skaits, bet kopumā būtībai jābūt skaidrai. Lai apkopotu un sistematizētu par notikumiem iegūtās zināšanas, dota tabula. Varbūtību teorija pēta tikai pēdējo veidu no visiem iesniegtajiem.
| nosaukums | definīcija | piemērs |
| Uzticams | Notikumi, kas notiek ar 100% garantiju noteiktos apstākļos. | Uzņemšana izglītības iestādē ar labu iestājeksāmenu. |
| Neiespējami | Notikumi, kas nekad nenotiks nekādos apstākļos. | Plus trīsdesmit grādu pēc Celsija skalas snieg. |
| Nejauši | Notikums, kas var notikt vai nenotikt eksperimenta/testa laikā. | Iesiet vai netrāpīt, iemetot basketbola bumbu stīpā. |
Likumi
Varbūtību teorija ir zinātne, kas pēta notikuma iespējamību. Tāpat kā citiem, tai ir daži noteikumi. Pastāv šādi varbūtības teorijas likumi:
- Nejaušo lielumu secību konverģence.
- Lielu skaitļu likums.
Aprēķinot kompleksa iespējamību, var izmantot vienkāršu notikumu kompleksu, lai vieglāk un ātrāk sasniegtu rezultātu. Ņemiet vērā, ka varbūtību teorijas likumus var viegli pierādīt ar dažu teorēmu palīdzību. Sāksim ar pirmo likumu.
Nejaušo mainīgo secību konverģence
Ņemiet vērā, ka ir vairāki konverģences veidi:
- Nejaušo mainīgo secība saplūst ar varbūtību.
- Gandrīz neiespējami.
- RMS konverģence.
- Konverģence izplatīšanā.
Tātad, lidojuma laikā ir ļoti grūti tikt skaidrībā. Šeit ir dažas definīcijas, kas palīdzēs izprast šo tēmu. Sāksim ar pirmo izskatu. Secību sauc par varbūtību konverģentu, ja ir izpildīts šāds nosacījums: n ir tendence uz bezgalību, skaitlis, uz kuru secība tiecas, ir lielāks par nulli un tuvu vienam.
Doties uz nākamo skatu, gandrīz noteikti. Viņi tā sakasecība gandrīz noteikti saplūst nejaušā mainīgā ar n tiecas uz bezgalību un P tiecas uz vērtību, kas ir tuvu vienam.
Nākamais veids ir saknes-vidējā kvadrāta konverģence. Izmantojot SC-konverģenci, vektoru gadījuma procesu izpēte tiek reducēta uz to koordinātu nejaušības procesu izpēti.
Paliek pēdējais veids, īsumā apskatīsim to, lai pārietu tieši uz problēmu risināšanu. Sadales konverģencei ir cits nosaukums - “vāja”, mēs paskaidrosim, kāpēc tālāk. Vāja konverģence ir sadalījuma funkciju konverģence visos robežu sadalījuma funkcijas nepārtrauktības punktos.
Noteikti izpildiet solījumu: vāja konverģence atšķiras no visa iepriekš minētā ar to, ka nejaušais lielums nav definēts varbūtības telpā. Tas ir iespējams, jo nosacījums tiek veidots, tikai izmantojot izplatīšanas funkcijas.
Lielu skaitļu likums
Lieliski palīgi šī likuma pierādīšanā būs varbūtības teorijas teorēmas, piemēram:
- Čebiševa nevienlīdzība.
- Čebiševa teorēma.
- Vispārināta Čebiševa teorēma.
- Markova teorēma.
Ja ņemam vērā visas šīs teorēmas, tad šis jautājums var ievilkties vairākus desmitus lapu. Mūsu galvenais uzdevums ir varbūtības teorijas pielietošana praksē. Mēs aicinām jūs to izdarīt tieši tagad. Bet pirms tam apskatīsim varbūtību teorijas aksiomas, tās būs galvenie palīgi uzdevumu risināšanā.
Aksiomas
Ar pirmo jau tikāmies, kad runājām par neiespējamo notikumu. Atcerēsimies: neiespējamā notikuma varbūtība ir nulle. Mēs sniedzām ļoti spilgtu un neaizmirstamu piemēru: sniga gaisa temperatūrā trīsdesmit grādi pēc Celsija.
Otrais izklausās šādi: uzticams notikums notiek ar varbūtību, kas vienāda ar vienu. Tagad parādīsim, kā to uzrakstīt, izmantojot matemātisko valodu: P(B)=1.
Treškārt: nejaušs notikums var notikt vai nenotikt, taču iespēja vienmēr svārstās no nulles līdz vienam. Jo tuvāk vērtība ir vienam, jo lielāka iespēja; ja vērtība tuvojas nullei, varbūtība ir ļoti maza. Rakstīsim matemātikas valodā: 0<Р(С)<1.
Apskatīsim pēdējo, ceturto aksiomu, kas izklausās šādi: divu notikumu summas varbūtība ir vienāda ar to varbūtību summu. Mēs rakstām matemātiskā valodā: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Varbūtību teorijas aksiomas ir vienkāršākie noteikumi, kurus ir viegli atcerēties. Mēģināsim atrisināt dažas problēmas, pamatojoties uz jau iegūtajām zināšanām.
Loterijas biļete
Vispirms apsveriet vienkāršāko piemēru – loteriju. Iedomājieties, ka esat iegādājies vienu loterijas biļeti veiksmei. Kāda ir varbūtība, ka laimēsi vismaz divdesmit rubļus? Kopumā apritē piedalās tūkstotis biļešu, no kurām vienas balva ir pieci simti rubļu, desmit no simts rubļiem, piecdesmit no divdesmit rubļiem un simts pieci. Problēmas varbūtību teorijā ir balstītas uz iespēju atrašanuveiksmi. Tagad kopā mēs analizēsim iepriekš piedāvātā uzdevuma risinājumu.
Ja ar burtu A apzīmēsim piecsimt rubļu laimestu, tad varbūtība iegūt A būs 0,001. Kā mēs to ieguvām? Jums vienkārši jāsadala "laimīgo" biļešu skaits ar to kopējo skaitu (šajā gadījumā: 1/1000).
B ir simts rubļu laimests, varbūtība būs 0,01. Tagad mēs rīkojāmies pēc tāda paša principa kā iepriekšējā darbībā (10/1000)
C - laimests ir vienāds ar divdesmit rubļiem. Atrodiet varbūtību, tā ir vienāda ar 0,05.
Pārējās biļetes mūs neinteresē, jo to balvu fonds ir mazāks par nosacījumā norādīto. Pielietosim ceturto aksiomu: Varbūtība laimēt vismaz divdesmit rubļus ir P(A)+P(B)+P(C). Burts P apzīmē šī notikuma iestāšanās varbūtību, mēs tos jau esam atraduši iepriekšējos soļos. Atliek tikai pievienot nepieciešamos datus, atbildē iegūstam 0, 061. Šis skaitlis būs atbilde uz uzdevuma jautājumu.
Karšu komplekts
Varbūtību teorijas problēmas var būt sarežģītākas, piemēram, veiciet šādu uzdevumu. Pirms jums ir trīsdesmit sešu kāršu klājs. Tavs uzdevums ir izvilkt divas kārtis pēc kārtas, nesajaucot kaudzi, pirmajai un otrajai kārtim jābūt dūžiem, masts nav nozīmes.
Vispirms noskaidrosim varbūtību, ka pirmā kārts būs dūzis, šim nolūkam dalām četri ar trīsdesmit seši. Viņi to nolika malā. Izņemam otro kārti, tā būs dūzis ar varbūtību trīs trīsdesmit piektdaļas. Otrā notikuma iespējamība ir atkarīga no tā, kuru karti mēs izvilkām pirmo, mūs interesēvai tas bija dūzis vai nē. No tā izriet, ka notikums B ir atkarīgs no notikuma A.
Nākamais solis ir atrast vienlaicīgas ieviešanas varbūtību, tas ir, mēs reizinām A un B. Viņu reizinājums tiek atrasts šādi: viena notikuma varbūtību reizina ar cita nosacīto varbūtību, ko mēs aprēķinām., pieņemot, ka notika pirmais notikums, tas ir, ar pirmo kārti mēs izvilkām dūzi.
Lai viss būtu skaidrs, piešķirsim tādam elementam apzīmējumu kā nosacītā notikuma varbūtība. To aprēķina, pieņemot, ka ir noticis notikums A. Aprēķināts šādi: P(B/A).
Turpiniet risināt mūsu problēmu: P(AB)=P(A)P(B/A) vai P (AB)=P(B)P(A/B). Varbūtība ir (4/36)((3/35)/(4/36). Aprēķiniet, noapaļojot līdz simtdaļām. Mums ir: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Varbūtība, ka mēs izvilksim divus dūžus pēc kārtas, ir deviņas simtdaļas Vērtība ir ļoti maza, no tā izriet, ka notikuma iespējamība ir ārkārtīgi maza.
Aizmirsts numurs
Mēs ierosinām analizēt vēl dažas iespējas uzdevumiem, kas tiek pētīti ar varbūtību teoriju. Dažu no tiem risināšanas piemērus jūs jau redzējāt šajā rakstā, mēģināsim atrisināt šādu problēmu: zēns aizmirsa drauga tālruņa numura pēdējo ciparu, bet, tā kā zvans bija ļoti svarīgs, viņš sāka zvanīt visu pēc kārtas. Mums jāaprēķina varbūtība, ka viņš piezvanīs ne vairāk kā trīs reizes. Problēmas risinājums ir vienkāršākais, ja ir zināmi varbūtības teorijas noteikumi, likumi un aksiomas.
Pirms skatīšanāsrisinājums, mēģiniet to atrisināt pats. Mēs zinām, ka pēdējais cipars var būt no nulles līdz deviņiem, tas ir, kopā ir desmit vērtības. Varbūtība iegūt pareizo ir 1/10.
Tālāk jāapsver varianti par notikuma izcelsmi, pieņemsim, ka zēns uzminēja pareizi un uzreiz ieguva pareizo punktu, šāda notikuma varbūtība ir 1/10. Otrā iespēja: pirmais zvans ir garām, bet otrais ir mērķtiecīgs. Mēs aprēķinām šāda notikuma iespējamību: reiziniet 9/10 ar 1/9, rezultātā iegūstam arī 1/10. Trešais variants: pirmais un otrais zvans izrādījās nepareizā adresē, tikai no trešā puika nokļuva tur, kur gribēja. Mēs aprēķinām šāda notikuma iespējamību: reizinām 9/10 ar 8/9 un ar 1/8, rezultātā iegūstam 1/10. Atbilstoši problēmas stāvoklim citi varianti mūs neinteresē, tāpēc atliek mums saskaitīt rezultātus, kā rezultātā mums ir 3/10. Atbilde: Varbūtība, ka zēns piezvanīs ne vairāk kā trīs reizes, ir 0,3.
Kartītes ar cipariem
Tev priekšā ir deviņas kārtis, uz katras uzrakstīts cipars no viena līdz deviņiem, skaitļi neatkārtojas. Tos ievietoja kastē un kārtīgi samaisa. Jums jāaprēķina varbūtība, ka
- parādās pāra skaitlis;
- divciparu.
Pirms pāriet pie risinājuma, noteiksim, ka m ir veiksmīgo gadījumu skaits, bet n ir kopējais opciju skaits. Atrodiet varbūtību, ka skaitlis ir pāra. Nebūs grūti aprēķināt, ka ir četri pāra skaitļi, tas būs mūsu m, kopā ir deviņi varianti, tas ir, m=9. Tad varbūtībavienāds ar 0, 44 vai 4/9.
Apsveriet otro gadījumu: iespēju skaits ir deviņas, un veiksmīgu iznākumu nevar būt vispār, tas ir, m ir vienāds ar nulli. Arī varbūtība, ka izvilktajā kartītē būs divciparu skaitlis, ir nulle.
