Ciparu sistēmas - kas tas ir? Pat nezinot atbildi uz šo jautājumu, katrs no mums piespiedu kārtā savā dzīvē lieto skaitļu sistēmas un par to nenojauš. Tieši tā, daudzskaitlī! Tas ir, nevis viens, bet vairāki. Pirms sniegt piemērus nepozicionālām skaitļu sistēmām, sapratīsim šo problēmu, parunāsim arī par pozicionālajām sistēmām.
Nepieciešams rēķins
Kopš seniem laikiem cilvēkiem ir bijusi vajadzība pēc skaitīšanas, tas ir, viņi intuitīvi saprata, ka viņiem kaut kā jāpauž kvantitatīvs redzējums par lietām un notikumiem. Smadzenes ierosināja, ka skaitīšanai ir jāizmanto objekti. Pirksti vienmēr ir bijuši ērtākie, un tas ir saprotams, jo tie vienmēr ir pieejami (ar retiem izņēmumiem).
Tātad senajiem cilvēces pārstāvjiem bija jāsaliek pirksti tiešā nozīmē – lai norādītu, piemēram, nogalināto mamutu skaitu. Šādiem konta elementiem vēl nebija nosaukumu, bet tikai vizuāls attēls, salīdzinājums.
Mūsdienu pozicionālo skaitļu sistēmas
Ciparu sistēma ir metode (veids), kā attēlot kvantitatīvās vērtības un daudzumus, izmantojot noteiktas zīmes (simbolus vai burtus).
Pirms sniegt nepozicionālo skaitļu sistēmu piemērus, ir jāsaprot, kas skaitīšanā ir pozicionālais un nepozicionālais. Ir daudz pozicionālo skaitļu sistēmu. Tagad dažādās zināšanu jomās tiek izmantotas: binārais (ietver tikai divus nozīmīgus elementus: 0 un 1), heksadecimāls (rakstzīmju skaits - 6), oktāls (rakstzīmes - 8), divpadsmitnieks (divpadsmit rakstzīmes), heksadecimāls (ietver sešpadsmit). rakstzīmes). Turklāt katra rakstzīmju rinda sistēmās sākas no nulles. Mūsdienu datortehnoloģijas ir balstītas uz bināro kodu izmantošanu - bināro pozicionālo skaitļu sistēmu.
Decimālskaitļu sistēma
Pozicionalitāte ir nozīmīgu pozīciju klātbūtne dažādās pakāpēs, uz kurām atrodas skaitļa zīmes. To vislabāk var parādīt, izmantojot decimālo skaitļu sistēmas piemēru. Galu galā mēs esam pieraduši to lietot no bērnības. Šajā sistēmā ir desmit zīmes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Paņemiet skaitli 327. Tam ir trīs zīmes: 3, 2, 7. Katra no tām atrodas sava pozīcija (vieta). Septiņi ieņem pozīciju, kas rezervēta atsevišķām vērtībām (vienībām), divi - desmitiem un trīs - simtiem. Tā kā skaitlis ir trīsciparu skaitlis, tajā ir tikai trīs pozīcijas.
Pamatojoties uz iepriekš minēto, šistrīsciparu decimālo skaitli var raksturot šādi: trīs simti, divi desmiti un septiņas vienības. Turklāt pozīciju nozīmīgums (svarīgums) tiek skaitīts no kreisās puses uz labo, no vājas pozīcijas (viens) līdz spēcīgākai (simtiem).
Mēs jūtamies ļoti ērti decimālo pozīciju skaitļu sistēmā. Mums uz rokām ir desmit pirksti, un tas pats uz kājām. Pieci plus pieci - tātad, pateicoties pirkstiem, mēs viegli iedomājamies duci no bērnības. Tāpēc bērniem ir viegli apgūt pieci un desmit reizināšanas tabulas. Ir arī tik vienkārši iemācīties skaitīt banknotes, kuras visbiežāk ir reizinātas (tas ir, dalītas bez atlikuma) ar pieci un desmit.
Citas pozicionālo skaitļu sistēmas
Daudziem par pārsteigumu jāsaka, ka ne tikai decimālo skaitīšanas sistēmā mūsu smadzenes ir pieradušas veikt dažus aprēķinus. Līdz šim cilvēce ir izmantojusi sešu un divpadsmitpirkstu skaitļu sistēmas. Tas nozīmē, ka šādā sistēmā ir tikai sešas rakstzīmes (heksadecimālā veidā): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Divpadsmitajā skaitlī ir divpadsmit no tām: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, kur A - apzīmē skaitli 10, B - skaitli 11 (jo zīmei jābūt vienai).
Spriediet paši. Mēs laiku skaitam sešos, vai ne? Viena stunda ir sešdesmit minūtes (seši desmiti), viena diena ir divdesmit četras stundas (divas reizes divpadsmit), gads ir divpadsmit mēneši un tā tālāk… Visi laika intervāli viegli iekļaujas sešu un divpadsmitnieku rindās. Bet mēs esam tā pieraduši, ka, skaitot laiku, par to pat neaizdomājamies.
Nepozicionālās skaitļu sistēmas. Unārs
Jādefinē, kas tā ir - nepozicionāla skaitļu sistēma. Šī ir tāda zīmju sistēma, kurā skaitļa zīmēm nav pozīciju, vai arī skaitļa "nolasīšanas" princips nav atkarīgs no pozīcijas. Tam ir arī savi rakstīšanas vai aprēķināšanas noteikumi.
Sniegsim nepozicionālo skaitļu sistēmu piemērus. Atgriezīsimies senatnē. Cilvēkiem vajadzēja kontu, un viņi izdomāja vienkāršāko izgudrojumu – mezglus. Nepozicionālā skaitļu sistēma ir mezglains. Viena prece (rīsu maiss, bullis, siena kaudze u.c.) tika saskaitīta, piemēram, pērkot vai pārdodot, un sasēja mezglu uz auklas.
Tā rezultātā virvei tika izveidoti tik mezgli, cik rīsu maisi tika nopirkti (kā piemērs). Bet tie varētu būt arī robi uz koka kociņa, uz akmens plātnes utt. Šāda skaitļu sistēma kļuva pazīstama kā mezglains. Viņai ir otrs vārds - unārs jeb vientuļa ("uno" latīņu valodā nozīmē "viens").
Kļūst skaidrs, ka šī skaitļu sistēma nav pozicionāla. Galu galā, par kādām pozīcijām mēs varam runāt, ja tā (pozīcija) ir tikai viena! Savādi, bet dažās Zemes daļās joprojām tiek izmantota unārā nepozicionālā skaitļu sistēma.
Arī nepozicionālās skaitļu sistēmas ietver:
- romiešu (ciparu rakstīšanai tiek izmantoti burti - latīņu rakstzīmes);
- seno ēģiptiešu (līdzīgi romiešu valodai, tika izmantoti arī simboli);
- alfabētiski (tika izmantoti alfabēta burti);
- Babiloniešu (ķīļraksts - lietots tieši unapgriezts "ķīlis");
- Grieķu valoda (saukta arī par alfabētisku).
Romiešu ciparu sistēma
Senā Romas impērija, kā arī tās zinātne bija ļoti progresīva. Romieši deva pasaulei daudz noderīgu zinātnes un mākslas izgudrojumu, tostarp to skaitīšanas sistēmu. Pirms divsimt gadiem romiešu cipari tika izmantoti, lai apzīmētu summas biznesa dokumentos (tādējādi tika novērsta viltošana).
Romiešu numerācija ir nepozicionālas skaitļu sistēmas piemērs, mēs to tagad zinām. Arī romiešu sistēma tiek aktīvi izmantota, taču ne matemātiskiem aprēķiniem, bet gan šauri fokusētām darbībām. Piemēram, ar romiešu skaitļu palīdzību grāmatu izdevumos pieņemts apzīmēt vēsturiskus datumus, gadsimtus, sējumu numurus, sadaļas un nodaļas. Pulksteņu ciparnīcu dekorēšanai bieži izmanto romiešu zīmes. Un arī romiešu numerācija ir nepozicionālas skaitļu sistēmas piemērs.
Romieši ciparus apzīmēja ar latīņu burtiem. Turklāt viņi pierakstīja skaitļus saskaņā ar noteiktiem noteikumiem. Romiešu ciparu sistēmā ir atslēgu simbolu saraksts, ar kuru palīdzību tika ierakstīti visi cipari bez izņēmuma.
| Cipars (decimāldaļa) | romiešu cipars (latīņu alfabēta burts) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Ciparu sacerēšanas noteikumi
Nepieciešamais skaitlis iegūts, saskaitot zīmes (latīņu burtus) un aprēķinot to summu. Padomāsim, kā simboliski tiek rakstītas zīmes romiešu sistēmā un kā tās būtu "jālasa". Uzskaitīsim galvenos skaitļu veidošanās likumus romiešu nepozicionālajā skaitļu sistēmā.
- Cipars četri - IV, sastāv no divām rakstzīmēm (I, V - viens un pieci). To iegūst, atņemot mazāko zīmi no lielākās, ja tā atrodas pa kreisi. Kad mazākā zīme atrodas labajā pusē, jums ir jāpievieno, tad jūs saņemat numuru seši - VI.
- Jāpievieno divas identiskas zīmes vienu otrai blakus. Piemēram: SS ir 200 (C ir 100) vai XX ir 20.
- Ja skaitļa pirmā zīme ir mazāka par otro, tad trešā rakstzīme šajā rindā var būt rakstzīme, kuras vērtība ir pat mazāka par pirmo. Lai izvairītos no neskaidrībām, šeit ir piemērs: CDX - 410 (decimāldaļās).
- Dažus lielus skaitļus var attēlot dažādi, kas ir viens no romiešu skaitīšanas sistēmas trūkumiem. Šeit ir daži piemēri: MVM (romiešu)=1000 + (1000 - 5)=1995 (decimāldaļa) vai MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Un tas vēl nav viss.
Aritmētiskie triki
Nepozicionālā skaitļu sistēma dažkārt ir sarežģīts noteikumu kopums skaitļu veidošanai, to apstrādei (darbībai ar tiem). Aritmētiskās darbības nepozicionālās skaitļu sistēmās nav vieglasmūsdienu cilvēkiem. Mēs neapskaužam seno romiešu matemātiķus!
Papildinājuma piemērs. Mēģināsim pievienot divus skaitļus: XIX + XXVI=XXXV, šis uzdevums tiek veikts divos posmos:
- Vispirms - paņemiet un saskaitiet mazākās skaitļu daļas: IX + VI=XV (I aiz V un I pirms X "iznīcina" viens otru).
- Otrā - pievienojiet lielas divu skaitļu daļas: X + XX=XXX.
Atņemšana ir nedaudz sarežģītāka. Samazināmais skaitlis ir jāsadala tā veidojošajos elementos, un pēc tam dublētās rakstzīmes jāsamazina un jāatņem. Atņemiet 263 no 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIIII - CCCLXIII=CCXXXVII.
Romiešu ciparu reizināšana. Starp citu, jāpiemin, ka romiešiem nebija aritmētisko darbību zīmju, viņi tās vienkārši apzīmēja ar vārdiem.
Vairākkārtējais skaitlis bija jāreizina ar katru atsevišķu reizinātāja simbolu, kā rezultātā bija jāpievieno vairāki produkti. Šādi tiek reizināti polinomi.
Kas attiecas uz dalīšanu, tad šis process romiešu ciparu sistēmā bija un paliek visgrūtākais. Šeit tika izmantots seno romiešu abakuss. Lai strādātu ar viņu, cilvēki tika īpaši apmācīti (un ne katram izdevās apgūt šādu zinātni).
Par nepozicionālo sistēmu trūkumiem
Kā minēts iepriekš, nepozicionālajām skaitļu sistēmām ir savi trūkumi, lietošanas neērtības. Unārs ir pietiekami vienkāršs vienkāršai skaitīšanai, bet aritmētiskiem un sarežģītiem aprēķiniem tā navpietiekami labs.
Romiešu valodā nav vienotu noteikumu lielu skaitļu veidošanai un rodas neskaidrības, kā arī tajā ir ļoti grūti veikt aprēķinus. Turklāt lielākais skaits, ko senie romieši varēja pierakstīt ar savu metodi, bija 100 000.
