Aksiomātiskā metode ir veids, kā konstruēt jau izveidotas zinātniskas teorijas. Tas ir balstīts uz argumentiem, faktiem, apgalvojumiem, kuriem nav nepieciešami pierādījumi vai atspēkojumi. Faktiski šī zināšanu versija tiek pasniegta deduktīvās struktūras veidā, kas sākotnēji ietver loģisku satura pamatojumu no pamatiem - aksiomām.
Šī metode nevar būt atklājums, tā ir tikai klasifikācijas jēdziens. Tas ir vairāk piemērots mācīšanai. Pamatā ir sākotnējie noteikumi, un pārējā informācija seko kā loģiskas sekas. Kur ir teorijas konstruēšanas aksiomātiskā metode? Tas ir vismodernāko un atzītāko zinātņu pamatā.
Aksiomātiskās metodes jēdziena veidošanās un attīstība, vārda definīcija
Pirmkārt, šī koncepcija radās Senajā Grieķijā, pateicoties Eiklidam. Viņš kļuva par aksiomātiskās metodes pamatlicēju ģeometrijā. Mūsdienās tas ir izplatīts visās zinātnēs, bet visvairāk matemātikā. Šī metode tiek veidota, pamatojoties uz noteiktiem apgalvojumiem, un turpmākās teorijas tiek iegūtas ar loģisku konstrukciju.
Tas ir izskaidrots šādi: ir vārdi un jēdzieni, kasdefinēts ar citiem terminiem. Rezultātā pētnieki nonāca pie secinājuma, ka ir elementāri secinājumi, kas ir pamatoti un ir nemainīgi - pamata, tas ir, aksiomas. Piemēram, pierādot teorēmu, viņi parasti paļaujas uz faktiem, kas jau ir vispāratzīti un kuriem nav nepieciešams atspēkot.
Tomēr pirms tam tie bija jāpamato. Šajā procesā izrādās, ka nepamatots apgalvojums tiek uztverts kā aksioma. Pamatojoties uz konstantu jēdzienu kopu, tiek pierādītas citas teorēmas. Tie veido planimetrijas pamatu un ir ģeometrijas loģiskā struktūra. Šajā zinātnē noteiktās aksiomas tiek definētas kā jebkuras dabas objekti. Tiem savukārt ir īpašības, kas norādītas konstantos jēdzienos.
Turpmāka aksiomu izpēte
Metode tika uzskatīta par ideālu līdz deviņpadsmitajam gadsimtam. Pamatjēdzienu meklēšanas loģiskie līdzekļi tajos laikos netika pētīti, bet Eiklida sistēmā var novērot jēgpilnu seku iegūšanas struktūru no aksiomātiskās metodes. Zinātnieka pētījumi parādīja ideju par to, kā iegūt pilnīgu ģeometrisko zināšanu sistēmu, pamatojoties uz tīri deduktīvu ceļu. Viņiem tika piedāvāts salīdzinoši neliels skaits apgalvoto aksiomu, kas ir uzskatāmi patiesas.
Sengrieķu prātu nopelni
Eiklids pierādīja daudzus jēdzienus, un daži no tiem bija pamatoti. Tomēr vairākums šos nopelnus piedēvē Pitagoram, Demokritam un Hipokrātam. Pēdējais sastādīja pilnīgu ģeometrijas kursu. Tiesa, vēlāk Aleksandrijā iznācakolekcija "Sākums", kuras autors bija Eiklīds. Pēc tam tas tika pārdēvēts par "Elementary Geometry". Pēc kāda laika viņi sāka viņu kritizēt dažu iemeslu dēļ:
- visas vērtības tika izveidotas tikai ar lineālu un kompasu;
- ģeometrija un aritmētika tika atdalītas un pierādītas ar derīgiem skaitļiem un jēdzieniem;
- aksiomas, dažas no tām, jo īpaši piektais postulāts, tika ierosinātas no vispārējā saraksta svītrot.
Tā rezultātā 19. gadsimtā parādās ne-eiklīda ģeometrija, kurā nav objektīvi patiesa postulāta. Šī darbība deva impulsu ģeometriskās sistēmas tālākai attīstībai. Tādējādi matemātikas pētnieki nonāca pie deduktīvās konstruēšanas metodēm.
Matemātikas zināšanu attīstīšana, pamatojoties uz aksiomām
Kad sāka veidoties jauna ģeometrijas sistēma, mainījās arī aksiomātiskā metode. Matemātikā viņi sāka biežāk pievērsties tīri deduktīvās teorijas konstrukcijai. Rezultātā mūsdienu skaitliskajā loģikā, kas ir visas zinātnes galvenā sadaļa, ir radusies vesela pierādījumu sistēma. Matemātiskajā struktūrā sāka saprast attaisnojuma nepieciešamību.
Tādējādi līdz gadsimta beigām izveidojās skaidri uzdevumi un sarežģītu jēdzienu konstrukcija, kas no sarežģītas teorēmas tika reducēta uz vienkāršāko loģisko apgalvojumu. Tādējādi ne-eiklīda ģeometrija stimulēja stabilu pamatu aksiomātiskās metodes tālākai pastāvēšanai, kā arī vispārēja rakstura problēmu risināšanai.matemātiskās konstrukcijas:
- konsistence;
- pilnība;
- neatkarība.
Šajā procesā radās un veiksmīgi tika izstrādāta interpretācijas metode. Šī metode ir aprakstīta šādi: katram teorijas izvades jēdzienam tiek iestatīts matemātisks objekts, kura kopumu sauc par lauku. Apgalvojums par norādītajiem elementiem var būt nepatiess vai patiess. Rezultātā apgalvojumi tiek nosaukti atkarībā no secinājumiem.
Interpretācijas teorijas iezīmes
Parasti lauks un īpašības tiek ņemtas vērā arī matemātiskajā sistēmā, un tas, savukārt, var kļūt aksiomātisks. Interpretācija pierāda apgalvojumus, kuros ir relatīva konsekvence. Papildu iespēja ir vairāki fakti, kuros teorija kļūst pretrunīga.
Patiesībā nosacījums dažos gadījumos ir izpildīts. Rezultātā izrādās, ka, ja viena apgalvojuma apgalvojumos ir divi nepatiesi vai patiesi jēdzieni, tad tas tiek uzskatīts par negatīvu vai pozitīvu. Šī metode tika izmantota, lai pierādītu Eiklida ģeometrijas konsekvenci. Izmantojot interpretācijas metodi, var atrisināt jautājumu par aksiomu sistēmu neatkarību. Ja vajag atspēkot kādu teoriju, tad pietiek pierādīt, ka viens no jēdzieniem nav atvasināts no otra un ir kļūdains.
Tomēr līdzās veiksmīgiem apgalvojumiem metodei ir arī trūkumi. Aksiomu sistēmu konsekvence un neatkarība tiek risināta kā jautājumi, kas iegūst relatīvus rezultātus. Vienīgais svarīgais interpretācijas sasniegums iraritmētikas kā struktūras lomas atklāšana, kurā jautājums par konsekvenci tiek reducēts uz vairākām citām zinātnēm.
Mūsdienu aksiomātiskās matemātikas attīstība
Aksiomātiskā metode sāka attīstīties Gilberta darbā. Viņa skolā tika noskaidrots pats teorijas un formālās sistēmas jēdziens. Tā rezultātā radās vispārēja sistēma, un matemātiskie objekti kļuva precīzi. Turklāt radās iespēja atrisināt attaisnojuma jautājumus. Tādējādi formālu sistēmu konstruē precīza klase, kas satur formulu un teorēmu apakšsistēmas.
Lai uzbūvētu šo struktūru, jāvadās tikai pēc tehniskām ērtībām, jo tām nav semantiskās slodzes. Tos var ierakstīt ar zīmēm, simboliem. Tas ir, patiesībā pati sistēma ir veidota tā, lai formālo teoriju varētu piemērot adekvāti un pilnībā.
Rezultātā konkrēts matemātisks mērķis vai uzdevums tiek iebērts teorijā, kuras pamatā ir faktiskais saturs vai deduktīvā spriešana. Skaitliskās zinātnes valoda tiek pārnesta uz formālu sistēmu, šajā procesā jebkuru konkrētu un jēgpilnu izteiksmi nosaka formula.
Formalizācijas metode
Lietu dabiskajā stāvoklī šāda metode spēs atrisināt tādus globālus jautājumus kā konsekvence, kā arī pēc atvasinātajām formulām veidot pozitīvu matemātisko teoriju būtību. Un būtībā to visu atrisinās formāla sistēma, kuras pamatā ir pārbaudīti apgalvojumi. Matemātiskās teorijas pastāvīgi sarežģīja pamatojumi, unGilberts ierosināja izpētīt šo struktūru, izmantojot ierobežotas metodes. Bet šī programma neizdevās. Gēdela rezultāti jau divdesmitajā gadsimtā lika izdarīt šādus secinājumus:
- dabiskā konsekvence nav iespējama tāpēc, ka formalizētā aritmētika vai cita līdzīga zinātne no šīs sistēmas būs nepilnīga;
- parādījās neatrisināmas formulas;
- pretenzijas nav pierādāmas.
Patiesi spriedumi un saprātīga galīgā apdare tiek uzskatīti par formalizējamiem. Paturot to prātā, aksiomātiskajai metodei šajā teorijā ir noteiktas un skaidras robežas un iespējas.
Aksiomu izstrādes rezultāti matemātiķu darbos
Neskatoties uz to, ka daži spriedumi ir atspēkoti un nav pareizi izstrādāti, konstantu jēdzienu metodei ir nozīmīga loma matemātikas pamatu veidošanā. Turklāt interpretācija un aksiomātiskā metode zinātnē ir atklājusi konsekvences, izvēles apgalvojumu un hipotēžu neatkarības pamatrezultātus vairākās teorijās.
Risinot konsekvences jautājumu, galvenais ir pielietot ne tikai iedibinātos jēdzienus. Tie arī jāpapildina ar idejām, koncepcijām un galīgās apdares līdzekļiem. Šajā gadījumā tiek aplūkoti dažādi viedokļi, metodes, teorijas, kurām būtu jāņem vērā loģiskā jēga un pamatojums.
Formālās sistēmas konsekvence norāda uz līdzīgu aritmētikas apdari, kuras pamatā ir indukcija, skaitīšana, transfinitārs skaitlis. Zinātniskajā jomā aksiomatizācija ir vissvarīgākārīks, kuram ir neapgāžami jēdzieni un apgalvojumi, kas tiek ņemti par pamatu.
Sākotnējo apgalvojumu būtība un to loma teorijās
Aksiomātiskās metodes novērtējums liecina, ka tās būtībā slēpjas kāda struktūra. Šī sistēma ir veidota no pamatā esošā jēdziena identificēšanas un fundamentāliem paziņojumiem, kas nav definēti. Tas pats notiek ar teorēmām, kuras tiek uzskatītas par oriģinālām un tiek pieņemtas bez pierādījumiem. Dabaszinātnēs šādus apgalvojumus pamato noteikumi, pieņēmumi, likumi.
Tad notiek iedibināto spriešanas pamatu nostiprināšanas process. Parasti uzreiz tiek norādīts, ka no vienas pozīcijas tiek izsecināts cits, un procesā iznāk pārējais, kas pēc būtības sakrīt ar dedukcijas metodi.
Sistēmas funkcijas mūsdienās
Aksiomātiskā sistēma ietver:
- loģiski secinājumi;
- termini un definīcijas;
- daļēji nepareizi apgalvojumi un jēdzieni.
Mūsdienu zinātnē šī metode ir zaudējusi savu abstraktumu. Eiklīda ģeometriskā aksiomatizācija balstījās uz intuitīviem un patiesiem priekšlikumiem. Un teorija tika interpretēta unikālā, dabiskā veidā. Mūsdienās aksioma ir noteikums, kas ir acīmredzams pats par sevi, un vienošanās un jebkura vienošanās var darboties kā sākotnējais jēdziens, kam nav nepieciešams pamatojums. Tā rezultātā sākotnējās vērtības var nebūt aprakstošas. Šī metode prasa radošumu, zināšanas par attiecībām un pamatā esošo teoriju.
Secinājumu izdarīšanas pamatprincipi
Deduktīvi aksiomātiska metode ir zinātniskas zināšanas, kas veidotas pēc noteiktas shēmas, kas balstās uz pareizi realizētām hipotēzēm, atvasinot apgalvojumus par empīriskiem faktiem. Šāds secinājums ir veidots, pamatojoties uz loģiskām struktūrām, stingri atvasinot. Aksiomas sākotnēji ir neapgāžami apgalvojumi, kuriem nav nepieciešami pierādījumi.
Dedukcijas laikā sākotnējiem jēdzieniem tiek piemērotas noteiktas prasības: konsekvence, pilnība, neatkarība. Kā liecina prakse, pirmais nosacījums ir balstīts uz formālām loģiskām zināšanām. Tas ir, teorijai nevajadzētu būt patiesības un nepatiesības nozīmēm, jo tai vairs nebūs nozīmes un vērtības.
Ja šis nosacījums nav izpildīts, tad tas tiek uzskatīts par nesaderīgu un tajā zūd jebkāda nozīme, jo zūd semantiskā slodze starp patiesību un nepatiesību. Deduktīvi, aksiomātiskā metode ir veids, kā konstruēt un pamatot zinātniskās zināšanas.
Metodes praktisks pielietojums
Aksiomātiskajai zinātnisko zināšanu konstruēšanas metodei ir praktisks pielietojums. Faktiski šis veids ietekmē matemātiku un tam ir globāla nozīme, lai gan šīs zināšanas jau ir sasniegušas savu maksimumu. Aksiomātiskās metodes piemēri ir šādi:
- afīnām plaknēm ir trīs priekšraksti un definīcija;
- ekvivalences teorijai ir trīs pierādījumi;
- binārās attiecības tiek sadalītas definīciju, jēdzienu un papildu vingrinājumu sistēmā.
Ja vēlaties formulēt sākotnējo nozīmi, jums jāzina kopu un elementu būtība. Būtībā aksiomātiskā metode veidoja pamatu dažādām zinātnes jomām.
