Matemātikas skolotāji jau piektajā klasē iepazīstina savus skolēnus ar jēdzienu "kombinatoriska problēma". Tas ir nepieciešams, lai viņi turpmāk varētu strādāt ar sarežģītākiem uzdevumiem. Problēmas kombinatorisko raksturu var saprast kā iespēju to atrisināt, uzskaitot ierobežotas kopas elementus.
Šī pasūtījuma uzdevumu galvenā zīme ir viņiem uzdotais jautājums, kas izklausās kā “Cik daudz iespēju?” vai "Cik daudzos veidos?" Kombinatorisko uzdevumu risinājums ir tieši atkarīgs no tā, vai risinātājs saprata nozīmi, vai viņš spēja pareizi attēlot darbību vai procesu, kas tika aprakstīts uzdevumā.
Kā atrisināt kombinatorisko uzdevumu?
Apskatāmajā problēmā ir svarīgi pareizi noteikt visu savienojumu veidu, taču ir jāpārbauda, vai tajā nav elementu atkārtošanās, vai paši elementi mainās, vai to secībai ir liela nozīme, kā arī attiecībā uz kādu citufaktori.
Kombinatoriskai problēmai var būt vairāki savienojumiem piemēroti ierobežojumi. Šajā gadījumā jums būs pilnībā jāaprēķina tā risinājums un jāpārbauda, vai šie ierobežojumi ietekmē visu elementu savienojumu. Ja ietekme patiešām ir, ir jāpārbauda, kura.
Kur sākt?
Vispirms jāiemācās atrisināt visvienkāršākās kombinatoriskās problēmas. Vienkārša materiāla apgūšana ļaus iemācīties izprast sarežģītākus uzdevumus. Ieteicams vispirms sākt risināt problēmas ar ierobežojumiem, kas netiek ņemti vērā, apsverot vienkāršāku iespēju.
Ieteicams arī mēģināt vispirms atrisināt tās problēmas, kurās jāņem vērā mazāks kopīgu elementu skaits. Tādā veidā varēsi izprast paraugu veidošanas principu un uzzināt, kā nākotnē tos izveidot pats. Ja problēma, kurai jāizmanto kombinatorika, sastāv no vairāku vienkāršāku kombinācijas, ieteicams to risināt pa daļām.
Kombinatorisku uzdevumu risināšana
Šādas problēmas var šķist viegli atrisināmas, taču kombinatoriku ir diezgan grūti apgūt, dažas no tām nav atrisinātas pēdējos simtiem gadu. Viena no slavenākajām problēmām ir noteikt īpašas kārtas maģisko kvadrātu skaitu, ja skaitlis n ir lielāks par 4.
Kombinatoriskā problēma ir cieši saistīta ar varbūtības teoriju, kas parādījās viduslaikos. Varbūtībanotikuma izcelsmi var aprēķināt tikai izmantojot kombinatoriku, šajā gadījumā būs nepieciešams pamīšus visus faktorus pa vietām, lai iegūtu optimālo risinājumu.
Problēmu risināšana
Kombinatoriskas problēmas ar risinājumu tiek izmantotas, lai mācītu skolēniem un studentiem strādāt ar šo materiālu. Vispārīgi runājot, tiem vajadzētu cilvēkā raisīt interesi un vēlmi rast kopīgu risinājumu. Papildus matemātiskiem aprēķiniem ir nepieciešams pielietot garīgo stresu un izmantot minējumus.
Uzstādīto uzdevumu risināšanas procesā bērns varēs attīstīt savu matemātisko iztēli un kombinatoriskās spējas, tas viņam turpmāk var nopietni noderēt. Pamazām ir jāpaaugstina risināmo uzdevumu sarežģītības pakāpe, lai neaizmirstu esošās zināšanas un papildinātu tās ar jaunām.
1. metode. Krūtis
Kombinatorisko uzdevumu risināšanas metodes ļoti atšķiras viena no otras, taču tās visas skolēns var izmantot atbildes iegūšanai. Viens no vienkāršākajiem, bet tajā pašā laikā garākajiem veidiem ir brutāls spēks. Izmantojot to, jums vienkārši jāizpēta visi iespējamie risinājumi, nesastādot nekādas shēmas un tabulas.
Parasti jautājums šādā uzdevumā ir saistīts ar iespējamiem notikuma rašanās variantiem, piemēram: kādus skaitļus var izveidot, izmantojot skaitļus 2, 4, 8, 9? Pārmeklējot visas iespējas, tiek apkopota atbilde, kas sastāv no iespējamām kombinācijām. Šī metode ir lieliska, ja ir daudz iespējusalīdzinoši mazs.
2. metode. Opciju koks
Dažas kombinatoriskas problēmas var atrisināt, tikai izveidojot diagrammas, kurās ir detalizēta informācija par katru elementu. Iespējamo iespēju koka sastādīšana ir vēl viens veids, kā atrast atbildi. Tas ir piemērots ne pārāk sarežģītu problēmu risināšanai, kurās ir papildu nosacījums.
Šāda uzdevuma piemērs:
Kādus piecciparu skaitļus var izveidot no skaitļiem 0, 1, 7, 8? Lai to atrisinātu, ir jāveido koks no visām iespējamām kombinācijām, un ir papildu nosacījums - skaitlis nevar sākties no nulles. Tādējādi atbilde sastāvēs no visiem skaitļiem, kas sāksies ar 1, 7 vai 8
3. metode. Tabulu veidošana
Kombinatoriskās problēmas var atrisināt arī, izmantojot tabulas. Tie ir līdzīgi iespējamo variantu kokam, jo piedāvā vizuālu situācijas risinājumu. Lai atrastu pareizo atbildi, jums ir jāizveido tabula, un tā tiks atspoguļota: horizontālie un vertikālie nosacījumi būs vienādi.
Iespējamās atbildes tiks iegūtas kolonnu un rindu krustpunktā. Šādā gadījumā atbildes kolonnas un rindas krustpunktā ar vienādiem datiem neiegūs, šie krustojumi ir īpaši jāatzīmē, lai neapjuktu galīgās atbildes sastādīšanā. Šo metodi skolēni neizvēlas bieži, daudzi dod priekšroku kokam ar iespējām.
4. metode. Reizināšana
Ir vēl viens veids, kā atrisināt kombinatoriskās problēmas - reizināšanas noteikums. Viņam viss kārtībāir piemērots gadījumā, ja atbilstoši nosacījumam nav nepieciešams uzskaitīt visus iespējamos risinājumus, tikai jāatrod to maksimālais skaits. Šī metode ir unikāla, to izmanto ļoti bieži, tikai sākot risināt kombinatoriskas problēmas.
Šāda uzdevuma piemērs varētu izskatīties šādi:
6 cilvēki gaida eksāmenu gaitenī. Cik daudz veidu varat izmantot, lai tos sakārtotu vispārējā sarakstā? Lai saņemtu atbildi, jāprecizē, cik no tiem var būt pirmajā vietā, cik otrajā, trešajā utt. Atbilde būs cipars 720
Kombinatorika un tās veidi
Kombinatoriskais uzdevums nav tikai mācību materiāls, to apgūst arī augstskolu studenti. Zinātnē ir vairāki kombinatorikas veidi, un katram no tiem ir sava misija. Uzskaitīšanas kombinatorikā jāapsver iespējamo konfigurāciju uzskaitīšana un uzskaitīšana ar papildu nosacījumiem.
Strukturālā kombinatorika ir universitātes programmas sastāvdaļa, tajā tiek pētīta matroīdu un grafiku teorija. Ekstrēmā kombinatorika ir saistīta arī ar universitātes materiāliem, un šeit pastāv individuāli ierobežojumi. Vēl viena sadaļa ir Remzija teorija, kas nodarbojas ar struktūru izpēti elementu nejaušās variācijās. Ir arī lingvistiskā kombinatorika, kas risina jautājumu par atsevišķu elementu savietojamību savā starpā.
Kombinatorisko uzdevumu mācīšanas metode
Saskaņā ar apmācībuplāniem, skolēnu vecums, kas paredzēts primārai iepazīšanai ar šo materiālu un kombinatorisko uzdevumu risināšanai, ir 5. klase. Tieši tur pirmo reizi šī tēma tiek piedāvāta studentiem, viņi iepazīstas ar kombinatorialitātes fenomenu un mēģina atrisināt sev uzdotos uzdevumus. Tajā pašā laikā ir ļoti svarīgi, lai, uzstādot kombinatorisko uzdevumu, tiktu izmantota metode, kad bērni paši meklē atbildes uz jautājumiem.
Cita starpā, izpētot šo tēmu, būs daudz vienkāršāk ieviest faktoriāla jēdzienu un izmantot to, risinot vienādojumus, uzdevumus utt. Līdz ar to kombinatorialitātei ir svarīga loma tālākizglītībā.
Kombinatoriskās problēmas: kāpēc tās vajadzīgas?
Ja zināt, kas ir kombinatoriskās problēmas, tad ar to risināšanu jums nebūs grūtības. To risināšanas tehnika var būt noderīga, ja nepieciešams izveidot grafikus, darba grafikus, kā arī sarežģītus matemātiskus aprēķinus, kas nav piemēroti elektroniskām ierīcēm.
Skolās ar padziļinātu matemātikas un informātikas apguvi kombinatoriskās problēmas tiek apgūtas papildus, tam tiek sastādīti speciāli kursi, mācību līdzekļi un uzdevumi. Parasti vienotajā valsts matemātikas eksāmenā var iekļaut vairākas šāda veida problēmas, parasti tās tiek “paslēptas” C daļā.
Kā ātri atrisināt kombinatorisku uzdevumu?
Ir ļoti svarīgi spēt saskatīt kombinatorisko problēmuātri, jo tajā var būt aizklāts formulējums, tas ir īpaši svarīgi, nokārtojot eksāmenu, kur katra minūte ir svarīga. Atsevišķi pierakstiet uz papīra lapas informāciju, ko redzat problēmas tekstā, un pēc tam mēģiniet to analizēt četros jums zināmos veidos.
Ja varat ievietot informāciju tabulā vai citā veidojumā, mēģiniet to atrisināt. Ja nevarat to klasificēt, šajā gadījumā labāk to uz brīdi atstāt un pāriet uz citu uzdevumu, lai netērētu dārgo laiku. No šīs situācijas var izvairīties, iepriekš atrisinot noteiktu skaitu šāda veida uzdevumu.
Kur var atrast piemērus?
Vienīgais, kas palīdzēs iemācīties risināt kombinatoriskas problēmas, ir piemēri. Jūs varat tos atrast īpašās matemātikas kolekcijās, kuras pārdod izglītības literatūras veikalos. Taču tur var atrast informāciju tikai augstskolu studentiem, skolēniem būs papildus jāmeklē uzdevumi, parasti uzdevumus viņiem izdomā citi skolotāji.
Augstākās izglītības skolotāji uzskata, ka skolēniem ir jāmācās un pastāvīgi jāpiedāvā papildu izglītojoša literatūra. Viens no labākajiem krājumiem ir "Diskrētās analīzes metodes kombinatorisku problēmu risināšanā", kas sarakstīts 1977. gadā un vairākkārt izdots valsts vadošajās izdevniecībās. Tieši tur varat atrast uzdevumus, kas bija aktuāli tajā laikā un paliek aktuāli arī šodien.
Ko darīt, ja nepieciešams izveidot kombinatorisku uzdevumu?
Visbiežāk kombinatoriskas problēmas ir jākomponēskolotāji, kuriem ir pienākums mācīt skolēniem domāt ārpus rāmjiem. Šeit viss būs atkarīgs no kompilatora radošā potenciāla. Ieteicams pievērst uzmanību esošajām kolekcijām un mēģināt sastādīt problēmu tā, lai tajā būtu apvienoti vairāki tās risināšanas veidi vienlaikus un būtu atšķirīgi dati no grāmatas.
Augstskolu skolotāji šajā ziņā ir daudz brīvāki par skolu skolotājiem, viņi nereti dod saviem skolēniem uzdevumu pašiem izdomāt kombinatoriskas problēmas ar detalizētām risināšanas metodēm un skaidrojumiem. Ja neesat ne viens, ne otrs, varat lūgt palīdzību tiem, kuri patiešām saprot šo jautājumu, kā arī nolīgt privātskolotāju. Ar vienu akadēmisko stundu pietiek, lai atrisinātu vairākas līdzīgas problēmas.
Kombinatorika - nākotnes zinātne?
Daudzi speciālisti matemātikas un fizikas jomā uzskata, ka tieši kombinatoriskā problēma var kļūt par stimulu visu tehnisko zinātņu attīstībā. Pietiek ar nestandarta pieeju noteiktu problēmu risināšanai, un tad būs iespējams atbildēt uz jautājumiem, kas zinātniekus vajā jau vairākus gadsimtus. Daži no viņiem nopietni apgalvo, ka kombinatorika ir palīgs visām mūsdienu zinātnēm, īpaši astronautikai. Būs daudz vienkāršāk aprēķināt kuģu lidojuma trajektorijas, izmantojot kombinatoriskas problēmas, un tās arī ļaus noteikt precīzu noteiktu debess ķermeņu atrašanās vietu.
Nestandarta pieejas ieviešana jau sen ir sākusies Āzijas valstīs, kur studenti patreizināšanu, atņemšanu, saskaitīšanu un dalīšanu risina, izmantojot kombinatoriskās metodes. Par pārsteigumu daudziem Eiropas zinātniekiem, tehnika patiešām darbojas. Skolas Eiropā līdz šim ir tikai sākušas mācīties no savu kolēģu pieredzes. Kad tieši kombinatorika kļūs par vienu no galvenajām matemātikas nozarēm, ir grūti uzminēt. Tagad zinātni pēta pasaules vadošie zinātnieki, kas cenšas to popularizēt.
