Šodien, mūsdienu pasaulē, bez intereses nevar iztikt. Pat skolā, sākot no 5. klases, bērni apgūst šo jēdzienu un risina problēmas ar šo vērtību. Interese ir par katru mūsdienu struktūru jomu. Ņemsim, piemēram, bankas: kredīta pārmaksas apmērs ir atkarīgs no līgumā noteiktās summas; Procentu likme ietekmē arī peļņas lielumu. Tāpēc ir ļoti svarīgi zināt, kas ir procents.
Intereses jēdziens
Saskaņā ar vienu leģendu, procenti parādījās muļķīgas drukas kļūdas dēļ. Sastādītājam bija jāiestata skaitlis 100, taču to sajauca un ievietoja šādi: 010. Tādējādi pirmā nulle nedaudz pieauga, bet otra - kritās. Vienība ir kļuvusi par slīpsvītru. Šādas manipulācijas noveda pie procentu zīmes parādīšanās. Protams, par šīs vērtības izcelsmi klīst arī citas leģendas.
Indieši par procentiem zināja 5. gadsimtā. Eiropā decimāldaļas, arkas mūsu koncepcija ir cieši savstarpēji saistīta, parādījās pēc tūkstošgades. Pirmo reizi Vecajā pasaulē spriedumu par to, cik procenti ir, ieviesa zinātnieks no Beļģijas Saimons Stevins. Tas pats zinātnieks 1584. gadā pirmo reizi publicēja lielumu tabulu.
Vārda "procenti" izcelsme ir latīņu valodā kā pro centum. Ja jūs tulkojat frāzi, jūs saņemat "no simts". Tātad procentus saprot kā vienu simtdaļu no vērtības, skaitļa. Šī vērtība ir apzīmēta ar zīmi %.
Pateicoties procentiem, kļuva iespējams bez lielām grūtībām salīdzināt viena veseluma daļas. Akciju ieviešana ir ievērojami vienkāršojusi aprēķinus, tāpēc tie ir kļuvuši tik izplatīti.
Daļskaitļu pārvēršana procentos
Lai decimālo daļu pārvērstu procentos, jums var būt nepieciešama tā sauktā procentu formula: daļa tiek reizināta ar 100, %.
Ja jums ir jāpārvērš daļskaitlis procentos, vispirms izveidojiet to aiz komata un pēc tam izmantojiet iepriekš minēto formulu.
Procentuālu pārvēršana daļdaļās
Tādējādi procentuālā formula ir diezgan nosacīta. Bet jums ir jāzina, kā pārvērst šo vērtību daļējā izteiksmē. Lai konvertētu daļas (procentus) decimāldaļdaļās, jums ir jānoņem % zīme un rādītājs jādala ar 100.
Formula skaitļa procentuālās daļas aprēķināšanai
30% skolēnu par ieskaiti ķīmijā ieguva “teicami”. Klasē kopumā mācās 40 skolēni. Cik daudzskolēni uzrakstīja kontroldarbu uz "5"? Šis uzdevums skaidri parāda, kā uzzināt skaitļa procentuālo daļu.
Risinājums:
1) 40 x 30=1200.
2) 1200: 100=12 (studenti).
Atbilde: 12 skolēni uzrakstīja kontroldarbu uz "5".
Var izmantot gatavo tabulu, kurā parādītas dažas tām atbilstošās daļas un procenti.
Izrādās, ka procentuālā formula izskatās šādi: C=(A∙B)/100, kur A ir skaitlis (konkrētā piemērā vienāds ar 40); B - procentu skaits (šajā uzdevumā B=30%); С – vēlamais rezultāts.
Formula skaitļa aprēķināšanai no procentiem
Tālāk sniegtā problēma parādīs, kas ir procents un kā no procentiem atrast skaitli.
Apģērbu fabrika izgatavoja 1200 kleitas, no kurām 32% ir jauna stila kleitas. Cik jauna stila kleitas izgatavoja apģērbu fabrika?
Risinājums:
1. 1200: 100=12 (kleitas) - 1% no visām izlaistajām precēm.
2. 12 x 32=384 (kleitas).
Atbilde: rūpnīcā izgatavoja 384 jauna stila kleitas.
Ja jums ir jāatrod skaitlis pēc tā procentiem, varat izmantot šādu formulu: C=(A∙100)/B, kur A - kopējais vienību skaits (šajā gadījumā A=1200); B - procentu skaits (konkrētā uzdevumā B=32%); C ir vēlamā vērtība.
Palieliniet, samaziniet skaitli par dotoprocenti
Skolēniem jāiemācās, kādi ir procenti, kā tos skaitīt un risināt dažādas problēmas. Lai to izdarītu, jums ir jāsaprot, kā skaitlis palielinās vai samazinās par N%.
Bieži tiek doti uzdevumi, un dzīvē ir jānoskaidro, ar ko būs vienāds skaitlis, palielināts par noteiktu procentu. Piemēram, ņemot vērā skaitli X. Jānoskaidro, kāda būs X vērtība, ja to palielinās, teiksim, par 40%. Vispirms jums ir jāpārvērš 40% daļskaitlī (40/100). Tātad skaitļa X palielināšanas rezultāts būs: X + 40% ∙ X=(1+40/100) ∙ X=1, 4 ∙ X Ja X vietā aizvietojam jebkuru skaitli, ņemsim, piemēram, 100, tad visa izteiksme būs vienāda ar: 1, 4 ∙ X=1, 4 ∙ 100=140.
Aptuveni tas pats princips tiek izmantots, samazinot skaitli par noteiktu procentuālo daļu. Nepieciešams veikt aprēķinus: X - X ∙ 40%=X ∙ (1-40/100)=0,6 ∙ X. Ja vērtība ir 100, tad 0,6 ∙ X=0,6 . 100=60.
Ir uzdevumi, kur jānoskaidro, par cik procentiem skaits ir pieaudzis.
Piemēram, ņemot vērā uzdevumu: Šoferis pa vienu trases posmu brauca ar ātrumu 80 km/h. Citā posmā vilciena ātrums palielinājās līdz 100 km/h. Par cik procentiem palielinājās vilciena ātrums?
Risinājums:
Pieņemsim, ka 80 km/h ir 100%. Pēc tam veicam aprēķinus: (100% ∙ 100 km / h) / 80 km / h=1000: 8=125%. Izrādās, ka 100 km/h ir 125%. Lai uzzinātu, par cik ātrums ir pieaudzis, jāaprēķina: 125% - 100%=25%.
Atbilde: vilciena ātrums otrajā posmā palielinājies par 25%.
Proporcija
Bieži ir gadījumi, kad ir nepieciešams atrisināt procentuālās problēmas, izmantojot proporciju. Patiesībā šī rezultāta atrašanas metode ievērojami atvieglo uzdevumu skolēniem, skolotājiem un ne tikai.
Kas ir proporcija? Šis termins attiecas uz divu attiecību vienādību, ko var izteikt šādi: A/B =C / D.
Matemātikas mācību grāmatās ir šāds noteikums: galējo terminu reizinājums ir vienāds ar vidējo reizinājumu. To izsaka ar šādu formulu: A x D=B x C.
Pateicoties šim formulējumam, var aprēķināt jebkuru skaitli, ja ir zināmi pārējie trīs proporcijas nosacījumi. Piemēram, A ir nezināms skaitlis. Lai viņu atrastu, jums
Atrisinot uzdevumus ar proporcijas metodi, ir jāsaprot, no kāda skaitļa ņemt procentus. Ir reizes, kad akcijas ir jāņem no dažādām vērtībām. Salīdziniet:
1. Pēc izpārdošanas beigām veikalā T-krekla izmaksas pieauga par 25% un sastādīja 200 rubļus. Kāda bija cena izpārdošanas laikā.
Risinājums:
Šajā gadījumā 200 rubļu vērtība atbilst 125% no T-krekla sākotnējās (pārdošanas) cenas. Pēc tam, lai pārdošanas laikā noskaidrotu tā vērtību, nepieciešams (200 x 100): 125. Jūs saņemat 160 rubļus.
2. Uz planētas Vitsencia ir 200 000 iedzīvotāju: cilvēki un humanoīdu rases Naavi pārstāvji. Naavi veido 80% no kopējā iedzīvotāju skaitaVicencii. No cilvēkiem 40% ir nodarbināti raktuves uzturēšanā, pārējie tiek iegūti tetānam. Cik cilvēku iegūst tetānu?
Risinājums:
Vispirms skaitliskā veidā jāatrod cilvēku skaits un Naavi skaits. Tātad, 80% no 200 000 būs vienādi ar 160 000. Tik daudz humanoīdu rases pārstāvju dzīvo Vicencia. Cilvēku skaits attiecīgi ir 40 000. No tiem 40%, tas ir, 16 000, apkalpo raktuvi. Tātad 24 000 cilvēku iegūst tetānu.
Atkārtota skaitļa maiņa par noteiktu procentu
Kad jūs jau saprotat, kas ir procents, jums ir jāizpēta absolūto un relatīvo izmaiņu jēdziens. Absolūtā transformācija tiek saprasta kā skaitļa palielināšanās par noteiktu skaitli. Tādējādi X ir palielinājies par 100. Lai ar ko X aizstātu, šis skaitlis joprojām palielināsies par 100: 15 + 100; 99, 9 + 100; a + 100 utt.
Relatīvās izmaiņas tiek saprastas kā vērtības pieaugums par noteiktu procentuālo skaitu. Pieņemsim, ka X ir palielinājies par 20%. Tas nozīmē, ka X būs vienāds ar: X + X ∙ 20%. Relatīvās izmaiņas tiek domātas ikreiz, kad runa ir par pieaugumu par pusi vai trešdaļu, samazināšanu par ceturtdaļu, pieaugumu par 15% utt.
Ir vēl viens svarīgs moments: ja X vērtību palielina par 20% un pēc tam vēl par 20%, tad kopējais pieaugums būs 44%, bet ne 40%. To var redzēt no šādiem aprēķiniem:
1. X + 20% ∙ X=1, 2 ∙ X
2. 1, 2 ∙ X + 20% ∙ 1, 2 ∙ X=1, 2 ∙ X + 0, 24 ∙ X=1, 44 ∙ X
Tas liecinaka X palielinājās par 44%.
Intereses problēmu piemēri
1. Cik procenti no 36 ir 9?
Risinājums:
Saskaņā ar formulu skaitļa procentuālās daļas noteikšanai, 9 jāreizina ar 100 un jādala ar 36.
Atbilde: 9 ir 25% no 36.
2. Aprēķiniet skaitli C, kas ir 10% no 40.
Risinājums:
Saskaņā ar formulu skaitļa atrašanai pēc tā procentiem, 40 jāreizina ar 10 un rezultāts jādala ar 100.
Atbilde: 4 ir 10% no 40.
3. Pirmais partneris biznesā ieguldīja 4500 rubļu, otrais - 3500 rubļu, trešais - 2000 rubļu. Viņi guva 2400 rubļu peļņu. Viņi vienādi sadalīja peļņu. Cik rubļos zaudēja pirmais partneris, salīdzinot ar to, cik viņš būtu saņēmis, ja ienākumus sadalītu pēc ieguldīto līdzekļu procentuālās daļas?
Risinājums:
Tātad kopā viņi ieguldīja 10 000 rubļu. Ienākumi katram sastādīja vienādu daļu 800 rubļu. Lai uzzinātu, cik pirmajam partnerim vajadzēja saņemt un cik viņš attiecīgi zaudēja, jānoskaidro ieguldīto līdzekļu procentuālais daudzums. Tad jums jānoskaidro, cik lielu peļņu šis ieguldījums dod rubļos. Un pēdējā lieta ir no rezultāta atņemt 800 rubļus.
Atbilde: pirmais partneris, dalot peļņu, zaudēja 280 rubļus.
Mazliet ekonomijas
Šodien diezgan populārs jautājums ir par kredīta saņemšanu uz noteiktu laiku. Bet kā izvēlēties izdevīgu kredītu, lai nepārmaksātu? Pirmkārt, jums ir jāskatāsprocentu likme. Vēlams, lai šis rādītājs būtu pēc iespējas zemāks. Tad jums jāpiemēro aizdevuma procentu aprēķināšanas formula.
Parasti pārmaksas lielumu ietekmē parāda summa, procentu likme un atmaksas veids. Ir mūža rente un diferencēti maksājumi. Pirmajā gadījumā kredīts tiek atmaksāts vienādās daļās katru mēnesi. Tūlīt pieaug summa, kas sedz galveno aizdevumu, un procentu izmaksas pakāpeniski samazinās. Otrajā gadījumā aizņēmējs kredīta atmaksai maksā fiksētas summas, kurām pieskaita procentus par pamatparāda atlikumu. Katru mēnesi kopējā maksājumu summa samazināsies.
Tagad mums jāapsver abi aizdevuma atmaksas veidi. Tātad ar mūža rentes opciju pārmaksas summa būs lielāka, bet ar diferenciālo – pirmo maksājumu summa. Protams, aizdevuma nosacījumi abos gadījumos ir vienādi.
Secinājums
Tātad, procenti. Kā tos saskaitīt? Pietiekami vienkārši. Tomēr dažreiz tie var būt problemātiski. Šo tēmu sāk apgūt skolā, taču tā aizrauj visus kredītu, noguldījumu, nodokļu u.c. jomā. Tāpēc vēlams iedziļināties šī jautājuma būtībā. Ja joprojām nevarat veikt aprēķinus, ir daudz tiešsaistes kalkulatoru, kas palīdzēs jums tikt galā ar uzdevumu.
