Lai iegūtu vispārīgu priekšstatu par to, kas ir aplis, apskatiet gredzenu vai stīpu. Var paņemt arī apaļu glāzi un krūzīti, nolikt otrādi uz papīra un apveltīt ar zīmuli. Ar vairākkārtēju palielinājumu iegūtā līnija kļūs bieza un ne visai vienmērīga, un tās malas būs izplūdušas. Aplim kā ģeometriskai figūrai nav tādas īpašības kā biezums.
Apkārtmērs: definīcija un galvenie apraksta līdzekļi
Aplis ir slēgta līkne, kas sastāv no punktu kopas, kas atrodas vienā plaknē un vienādā attālumā no apļa centra. Šajā gadījumā centrs atrodas tajā pašā plaknē. Parasti to norāda ar burtu O.
Attālumu no jebkura apļa punkta līdz centram sauc par rādiusu un apzīmē ar burtu R.
Ja savienojat divus apļa punktus, iegūtais segments tiks saukts par hordu. Horda, kas iet caur apļa centru, ir diametrs, ko apzīmē ar burtu D. Diametrs sadala apli divos vienādos lokos un ir divreiz lielāks par rādiusa garumu. Tātad D=2R vai R=D/2.
Akordu īpašības
- Ja velciet hordu caur jebkuriem diviem apļa punktiem un pēc tam velciet pēdējam perpendikulāri rādiusu vai diametru, šis segments sadalīs gan hordu, gan ar to nogriezto loku divās vienādās daļās. Ir arī otrādi: ja rādiuss (diametrs) sadala hordu uz pusēm, tad tā ir tai perpendikulāra.
- Ja vienā riņķī ir novilktas divas paralēlas hordas, tad to nogrieztie loki, kā arī starp tiem ietvertie, būs vienādi.
- Uzzīmēsim divas hordas PR un QS, kas krustojas aplī punktā T. Vienas hordas segmentu reizinājums vienmēr būs vienāds ar otra horda posmu reizinājumu, tas ir, PT x TR=QT x TS.
Apkārtmērs: vispārīgs jēdziens un pamatformulas
Viens no šīs ģeometriskās figūras pamatīpašībām ir apkārtmērs. Formula tiek iegūta, izmantojot tādas vērtības kā rādiuss, diametrs un konstante "π", kas atspoguļo apļa apkārtmēra un tā diametra attiecības nemainīgumu.
Tādējādi L=πD vai L=2πR, kur L ir apkārtmērs, D ir diametrs, R ir rādiuss.
Apļa apkārtmēra formulu var uzskatīt par sākotnējo formulu rādiusa vai diametra atrašanai noteiktam apkārtmēram: D=L/π, R=L/2π.
Kas ir aplis: pamata postulāti
1. Taisni un apli plaknē var novietot šādi:
- nav kopīgu punktu;
- ir viens kopīgs punkts, savukārt līniju sauc par tangensu: ja velk rādiusu caur centru un punktupieskarties, tas būs perpendikulārs pieskarei;
- ir divi kopīgi punkti, savukārt līniju sauc par sekantu.
2. Caur trim patvaļīgiem punktiem, kas atrodas vienā plaknē, var novilkt ne vairāk kā vienu apli.
3. Divi apļi var saskarties tikai vienā punktā, kas atrodas segmentā, kas savieno šo apļu centrus.
4. Pagriežot ap centru, aplis pārvēršas pats par sevi.
5. Kas ir aplis simetrijas izteiksmē?
- viena un tā pati līnijas izliekums jebkurā punktā;
- centrālā simetrija ap punktu O;
- spoguļa simetrija ap diametru.
6. Ja jūs izveidojat divus patvaļīgus ierakstītus leņķus, pamatojoties uz to pašu apļveida loku, tie būs vienādi. Leņķis, kas balstīts uz loku, kas vienāds ar pusi no apļa apkārtmēra, tas ir, nogriezts ar hordas diametru, vienmēr ir 90°.
7. Ja salīdzinām slēgtas vienāda garuma izliektas līnijas, tad sanāk, ka aplis norobežo lielākā laukuma plaknes griezumu.
Aplis ierakstīts trīsstūrī un aprakstīts ap to
Priekšstats par to, kas ir aplis, būs nepilnīgs, ja nebūs apraksta attiecības starp šo ģeometrisko figūru un trijstūriem.
- Būvējot apli, kas ierakstīts trijstūrī, tā centrs vienmēr sakritīs ar trijstūra leņķu bisektrišu krustpunktu.
- Apzīmētā trijstūra centrs atrodas krustojumāvidusperpendikulu katrai trijstūra malai.
- Ja aprakstāt apli ap taisnstūra trīsstūri, tad tā centrs atradīsies hipotenūzas vidū, tas ir, pēdējā būs diametrs.
- Ierakstīto un ierobežoto apļu centri atradīsies vienā punktā, ja konstrukcijas pamats ir vienādmalu trīsstūris.
Pamata apgalvojumi par apli un četrstūriem
- Apli var apvilkt ap izliektu četrstūri tikai tad, ja tā pretējo iekšējo leņķu summa ir 180°.
- Ir iespējams konstruēt izliektā četrstūrī ierakstītu apli, ja tā pretējo malu garumu summa ir vienāda.
- Ir iespējams aprakstīt apli ap paralelogramu, ja tā leņķi ir pareizi.
- Apli var ierakstīt paralelogramā, ja visas tā malas ir vienādas, tas ir, tas ir rombs.
- Ir iespējams izveidot apli caur trapeces leņķiem tikai tad, ja tas ir vienādsānu. Šajā gadījumā ierobežotā apļa centrs atradīsies četrstūra simetrijas ass un uz sāniem novilktā mediānas perpendikula krustpunktā.
