Matemātika ir kā mīkla. Īpaši tas attiecas uz dalīšanu un reizināšanu kolonnā. Skolā šīs darbības tiek pētītas no vienkāršas līdz sarežģītai. Tāpēc, izmantojot vienkāršus piemērus, noteikti ir jāapgūst iepriekš minēto darbību veikšanas algoritms. Lai vēlāk nerastos grūtības ar decimāldaļu sadalīšanu kolonnā. Galu galā šī ir visgrūtākā šādu uzdevumu versija.
Padoms tiem, kas vēlas būt labi matemātikā
Šis priekšmets prasa konsekventu izpēti. Trūkumi zināšanās šeit ir nepieņemami. Šo principu vajadzētu apgūt katram skolēnam jau pirmajā klasē. Tāpēc, ja izlaižat vairākas nodarbības pēc kārtas, materiāls būs jāapgūst pašam. Citādi vēlāk būs problēmas ne tikai ar matemātiku, bet arī citiem ar to saistītiem priekšmetiem.
Otrs priekšnoteikums veiksmīgai matemātikas studijām ir pāriet pie garās dalīšanas piemēriem tikai pēc saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas apguves.
Bērnsbūs grūti dalīt, ja viņš nav iemācījies reizināšanas tabulu. Starp citu, labāk to mācīties no Pitagora tabulas. Nav nekā lieka, un reizināšanu šajā gadījumā ir vieglāk sagremot.
Kā kolonnā tiek reizināti naturālie skaitļi?
Ja ir grūtības ar piemēru risināšanu ailē dalīšanai un reizināšanai, tad jāsāk risināt ar reizināšanu. Tā kā dalīšana ir reizināšanas apgrieztā vērtība:
- Pirms reizināt divus skaitļus, tie rūpīgi jāapskata. Izvēlieties to ar vairāk cipariem (garāku), vispirms pierakstiet to. Novietojiet otro zem tā. Turklāt atbilstošās kategorijas numuriem jāatrodas tajā pašā kategorijā. Tas nozīmē, ka pirmā cipara galējam labajam ciparam ir jābūt virs otrā cipara galējā labā cipara.
- Reiziniet apakšējā skaitļa galējo labo ciparu ar katru augšējā skaitļa ciparu, sākot no labās puses. Uzrakstiet atbildi zem rindas tā, lai tās pēdējais cipars būtu zem tā, ar kuru reizinājāt.
- Atkārtojiet to pašu ar otru apakšējā skaitļa ciparu. Bet reizināšanas rezultāts ir jāpārvieto par vienu ciparu pa kreisi. Šajā gadījumā tā pēdējais cipars būs zem tā skaitļa, ar kuru tas tika reizināts.
Turpiniet šo reizināšanu kolonnā, līdz beigsies skaitļi otrajā reizinātājā. Tagad tie ir jāsaloka. Šī būs vēlamā atbilde.
Algoritms reizināšanai decimāldaļskaitļu kolonnā
Pirmkārt, vajadzētu iedomāties, ka tiek dotas nevis decimāldaļas, bet gan dabiskās. Tas ir, noņemiet no tiem komatus un pēc tam rīkojieties, kā aprakstīts iepriekšējācase.
Atšķirība sākas, kad atbilde ir ierakstīta. Šajā brīdī ir jāsaskaita visi skaitļi, kas ir aiz komata abās daļās. Tieši tik daudz no tiem jāskaita no atbildes beigām un jāliek komats.
Šo algoritmu ir ērti ilustrēt ar piemēru: 0,25 x 0,33:
- Pierakstiet šīs daļskaitļus, lai skaitlis 33 būtu zem 25.
- Tagad labais trīskāršs jāreizina ar 25. Izrādās 75. Tas ir jāraksta tā, lai piecinieks būtu zem trīskārša, ar kuru tika veikta reizināšana.
- Tad reiziniet 25 ar pirmo 3. Atkal tas būs 75, bet tas tiks uzrakstīts tā, lai 5 būtu zem 7 no iepriekšējā skaitļa.
- Pēc šo divu skaitļu pievienošanas mēs iegūstam 825. Decimāldaļās 4 cipari tiek atdalīti ar komatiem. Tāpēc atbildē arī 4 cipari ir jāatdala ar komatu. Bet no tiem ir tikai trīs. Lai to izdarītu, jums būs jāraksta 0 pirms 8, jāliek komats, pirms tā vēl 0.
- Piemērā atbilde būs skaitlis 0, 0825.
Kā sākt mācīties dalīt?
Pirms garo dalīšanas piemēru risināšanas jāatceras dalīšanas piemērā izmantoto skaitļu nosaukumi. Pirmais no tiem (dalāmais) ir dalāmais. Otrais (tajā iedalīts) ir dalītājs. Atbilde ir koeficients.
Pēc tam, izmantojot vienkāršu ikdienas piemēru, mēs izskaidrosim šīs matemātiskās darbības būtību. Piemēram, ja ņem 10 saldumus, tad tos ir viegli sadalīt vienādi starp mammu un tēti. Bet ko darīt, ja jums tie ir jāizdala saviem vecākiem un brālim?
Pēc tam var iepazīties ar noteikumiemiedalījumus un apgūt tos ar konkrētiem piemēriem. Vispirms vienkāršie, un pēc tam pārejiet pie arvien sarežģītākiem.
Algoritms skaitļu sadalīšanai kolonnā
Vispirms mēs piedāvājam procedūru naturāliem skaitļiem, kas dalās ar vienu ciparu. Tie būs arī pamats daudzciparu dalītājiem vai decimāldaļskaitļiem. Tikai pēc tam ir jāveic nelielas izmaiņas, bet vairāk par to vēlāk:
- Pirms veikt garo dalīšanu, jums ir jānoskaidro, kur atrodas dividende un dalītājs.
- Rakstiet dividendes. Pa labi no tā ir dalītājs.
- Zīmējiet pa kreisi un apakšu pie pēdējā stūra.
- Nosakiet nepilnīgo dividendi, tas ir, skaitli, kas būs minimālais dalīšanai. Parasti tas sastāv no viena cipara, maksimāli diviem.
- Izvēlies skaitli, kas atbildē tiks ierakstīts pirmais. Tam ir jābūt skaitam, cik reižu dalītājs iekļaujas dividendē.
- Pierakstiet rezultātu, reizinot šo skaitli ar dalītāju.
- Ierakstiet to zem nepilnīgā dalītāja. Atņemt.
- Noņemiet pirmo ciparu pēc daļas, kas jau ir sadalīta.
- Atkal paņemiet atbildi.
- Atkārtojiet reizināšanu un atņemšanu. Ja atlikums ir nulle un dividende ir beigusies, tad piemērs ir izdarīts. Pretējā gadījumā atkārtojiet darbības: nojauciet skaitli, paņemiet skaitli, reiziniet, atņemiet.
Kā atrisināt garo dalīšanu, ja dalītājam ir vairāk nekā viens cipars?
Pats algoritms pilnībā sakrīt ar iepriekš aprakstīto. Atšķirība būs nepilnīgās dividendes ciparu skaits. Viņitagad vajadzētu būt vismaz diviem, bet, ja tie izrādās mazāki par dalītāju, tad tam vajadzētu darboties ar pirmajiem trim cipariem.
Šajā sadalījumā ir vēl viena nianse. Fakts ir tāds, ka atlikums un uz to pārnestā figūra dažkārt nav dalāmi ar dalītāju. Pēc tam ir jāpiešķir vēl viena figūra secībā. Bet tajā pašā laikā atbildei jābūt nullei. Ja trīsciparu skaitļi ir sadalīti kolonnā, var būt nepieciešams nojaukt vairāk nekā divus ciparus. Tad tiek ieviests noteikums: atbildē ir jābūt par vienu nullēm mazāk nekā noņemto ciparu skaitam.
Varat apsvērt šādu iedalījumu, izmantojot piemēru - 12082: 863.
- Nepilnīgi tajā dalāms skaitlis 1208. Skaitlis 863 tajā ievietots tikai vienu reizi. Tāpēc atbildē ir jāliek 1 un zem 1208 jāraksta 863.
- Pēc atņemšanas atlikums ir 345.
- Jums ir jānojauc cipars 2.
- Cipars 3452 atbilst četrreiz 863.
- Atbildē ir jāuzraksta četri. Turklāt, reizinot ar 4, tiek iegūts šis skaitlis.
- Atlikušais pēc atņemšanas ir nulle. Tas ir, dalīšana ir beigusies.
Piemērā atbilde būs skaitlis 14.
Ko darīt, ja dividende beidzas ar nulli?
Vai dažas nulles? Šajā gadījumā tiek iegūts nulles atlikums, un dividendēs joprojām ir nulles. Neesiet izmisumā, viss ir vieglāk, nekā varētu šķist. Pietiek tikai pievienot atbildei visas nulles, kas palika nedalītas.
Piemēram, 400 jādala ar 5. Nepilnīgā dividende ir 40. Pieci tajā tiek ievietoti 8 reizes. Tas nozīmē, ka atbildei ir jābūt rakstītai 8. Kadnav atlikuma, ko atņemt. Tas ir, dalīšana ir beigusies, bet dividendēs paliek nulle. Tas būs jāpievieno atbildei. Tātad 400 dalīts ar 5 ir 80.
Ko darīt, ja jādala decimāldaļa?
Atkal šis skaitlis izskatās kā naturāls skaitlis, izņemot komatu, kas atdala veselo skaitļu daļu no daļskaitļa. Tas liek domāt, ka decimāldaļu garais dalījums ir līdzīgs iepriekš aprakstītajam.
Vienīgā atšķirība būs semikolu. Uz to ir jāatbild nekavējoties, tiklīdz tiek noņemts pirmais cipars no daļdaļas. Citādi var teikt tā: veselās daļas dalīšana ir beigusies - ieliec komatu un turpini risināt tālāk.
Risinot piemērus dalīšanai kolonnā ar decimāldaļskaitļiem, jāatceras, ka daļai aiz komata var piešķirt jebkuru nulles skaitu. Dažreiz tas ir nepieciešams, lai pabeigtu skaitļus līdz beigām.
Divu zīmju aiz komata dalījums
Tas var šķist sarežģīti. Bet tikai sākumā. Galu galā, kā veikt dalīšanu daļskaitļu kolonnā ar naturālu skaitli, jau ir skaidrs. Tātad šis piemērs ir jāsamazina līdz jau pazīstamajai formai.
To ir viegli izdarīt. Abas daļas jāreizina ar 10, 100, 1000 vai 10 000 vai varbūt ar miljonu, ja uzdevums to prasa. Paredzams, ka reizinātājs ir jāizvēlas, pamatojoties uz to, cik nulles ir dalītāja decimāldaļā. Tas ir, rezultātā izrādās, ka jums būs jādala daļskaitlis ar naturālu skaitli.
Un šisbūs sliktākajā gadījumā. Galu galā var izrādīties, ka dividende no šīs darbības kļūst par veselu skaitli. Tad piemēra risinājums ar dalīšanu daļskaitļu kolonnā tiks reducēts uz vienkāršāko variantu: darbības ar naturāliem skaitļiem.
Piemēram: 28, 4 dalīts ar 3, 2:
- Pirmkārt, tie jāreizina ar 10, jo otrajam skaitlim ir tikai viens cipars aiz komata. Reizinot iegūsit 284 un 32.
- Tiem ir jābūt atdalītiem. Un uzreiz vesels skaitlis 284 reiz 32.
- Pirmais atbilstošais atbildes skaitlis ir 8. Reizinot to iegūst 256. Atlikušais ir 28.
- Vesela skaitļa daļas dalīšana ir beigusies, un atbildē ir jāliek komats.
- Svītra līdzsvaram 0.
- Paņemiet 8 vēlreiz.
- Atlikušais: 24. Pievienojiet tam vēl vienu 0.
- Tagad jums ir jāņem 7.
- Reizināšanas rezultāts ir 224, atlikums ir 16.
- Nojaukt vēl 0. Paņemiet katru 5 un iegūstiet tieši 160. Atlikušais ir 0.
Dalība ir beigusies. 28. piemēra rezultāts 4:3, 2 ir 8, 875.
Ko darīt, ja dalītājs ir 10, 100, 0, 1 vai 0,01?
Tāpat kā reizināšanas gadījumā, garā dalīšana šeit nav nepieciešama. Pietiek tikai pārvietot komatu pareizajā virzienā noteiktam ciparu skaitam. Turklāt saskaņā ar šo principu jūs varat atrisināt piemērus gan ar veseliem skaitļiem, gan ar decimāldaļskaitļiem.
Tātad, ja jādala ar 10, 100 vai 1000, tad komats tiek pārvietots pa kreisi par tik cipariem, cik dalītājā ir nulles. Tas ir, ja skaitlis dalās ar 100, komatsjāpārvieto divi cipari pa kreisi. Ja dividende ir naturāls skaitlis, tad tiek pieņemts, ka komats atrodas tā beigās.
Šī darbība rada tādu pašu rezultātu, it kā skaitlis tiktu reizināts ar 0, 1, 0, 01 vai 0,001. Šajos piemēros arī komats tiek pārvietots pa kreisi par ciparu skaitu, kas vienāds ar daļdaļas garums.
Dalot ar 0, 1 (u.c.) vai reizinot ar 10 (u.c.), komats jāpārvieto pa labi par vienu ciparu (vai diviem, trīs, atkarībā no nulles skaita vai garuma daļdaļas).
Ir vērts atzīmēt, ka dividendēs norādītais ciparu skaits var nebūt pietiekams. Pēc tam trūkstošās nulles var pievienot pa kreisi (veselā skaitļa daļā) vai pa labi (pēc komata).
Atkārtota frakciju dalīšana
Šajā gadījumā, sadalot kolonnā, nevarēsiet iegūt precīzu atbildi. Kā atrisināt piemēru, ja tiek sastapta daļa ar punktu? Šeit ir nepieciešams pāriet uz parastajām frakcijām. Un pēc tam veiciet to sadalīšanu pēc iepriekš pētītajiem noteikumiem.
Piemēram, jums ir jādala 0, (3) ar 0, 6. Pirmā daļa ir periodiska. To pārvērš frakcijā 3/9, kas pēc samazināšanas dos 1/3. Otrā daļa ir pēdējā decimāldaļa. Vēl vienkāršāk ir pierakstīt parasto: 6/10, kas ir vienāds ar 3/5. Parasto daļskaitļu dalīšanas noteikums paredz dalīšanu aizstāt ar reizināšanu un dalītāju ar apgriezto. Tas nozīmē, ka piemērs ir reizināts ar 1/3 ar 5/3. Atbilde būs 5/9.
Ja piemērā ir dažādas daļskaitļi…
Tad ir vairāki iespējamie risinājumi. Pirmkārt, var būt parasta daļamēģiniet pārvērst decimāldaļās. Pēc tam sadaliet jau divus ciparus aiz komata saskaņā ar iepriekš minēto algoritmu.
Otrkārt, katru pēdējo decimāldaļdaļu var uzrakstīt kā parasto daļskaitli. Tas vienkārši ne vienmēr ir ērti. Visbiežāk šādas frakcijas izrādās milzīgas. Jā, un atbildes ir apgrūtinošas. Tāpēc pirmā pieeja tiek uzskatīta par vēlamāku.
