Varbūtību teorijas izpēte sākas ar varbūtību saskaitīšanas un reizināšanas uzdevumu risināšanu. Uzreiz ir vērts pieminēt, ka, apgūstot šo zināšanu jomu, skolēns var saskarties ar problēmu: ja fizikālos vai ķīmiskos procesus var attēlot vizuāli un saprast empīriski, tad matemātiskās abstrakcijas līmenis ir ļoti augsts, un izpratne šeit nāk tikai ar. pieredze.
Tomēr spēle ir sveces vērta, jo formulas – gan šajā rakstā aplūkotās, gan sarežģītākas – mūsdienās tiek izmantotas visur un var noderēt darbā.
Izcelsme
Savādi, bet stimuls šīs matemātikas sadaļas attīstībai bija … azartspēles. Patiešām, kauliņi, monētu mešana, pokers, rulete ir tipiski piemēri, kuros izmanto varbūtību saskaitīšanu un reizināšanu. Uzdevumu piemērā jebkurā mācību grāmatā to var skaidri redzēt. Cilvēki bija ieinteresēti uzzināt, kā palielināt savas izredzes uzvarēt, un jāsaka, ka dažiem tas arī izdevās.
Piemēram, jau 21. gadsimtā viena persona, kuras vārdu neatklāsim,izmantoja šīs gadsimtu gaitā uzkrātās zināšanas, lai burtiski “attīrītu” kazino, laimējot ruletē vairākus desmitus miljonu dolāru.
Tomēr, neskatoties uz pieaugošo interesi par šo tēmu, tikai 20. gadsimtā tika izstrādāts teorētiskais ietvars, kas padarīja “teorveru” par pilnvērtīgu matemātikas sastāvdaļu. Mūsdienās gandrīz jebkurā zinātnē var atrast aprēķinus, izmantojot varbūtības metodes.
Pielietojamība
Svarīgs punkts, lietojot varbūtību saskaitīšanas un reizināšanas formulas, nosacītā varbūtība ir centrālās robežu teorēmas izpildāmība. Pretējā gadījumā, lai gan skolēns to var neapzināties, visi aprēķini, lai arī cik ticami tie šķistu, būs nepareizi.
Jā, augsti motivētam izglītojamajam ir kārdinājums izmantot jaunas zināšanas pie katras izdevības. Bet šajā gadījumā vajadzētu nedaudz piebremzēt un stingri iezīmēt piemērojamības jomu.
Varbūtību teorijā tiek aplūkoti nejauši notikumi, kas empīriskā izteiksmē ir eksperimentu rezultāti: mēs varam mest sešpusēju kauliņu, izvilkt kārti no klāja, paredzēt bojāto daļu skaitu partijā. Tomēr dažos jautājumos kategoriski nav iespējams izmantot formulas no šīs matemātikas sadaļas. Notikuma varbūtību apsvēršanas īpatnības, notikumu saskaitīšanas un reizināšanas teorēmas apspriedīsim raksta beigās, bet pagaidām pievērsīsimies piemēriem.
Pamatjēdzieni
Nejaušs notikums nozīmē kādu procesu vai rezultātu, kas var parādīties vai neparādītieseksperimenta rezultātā. Piemēram, mēs mētājam sviestmaizi - tā var nokrist sviestu uz augšu vai sviestu uz leju. Jebkurš no diviem rezultātiem būs nejaušs, un mēs iepriekš nezinām, kurš no tiem notiks.
Pētot varbūtību saskaitīšanu un reizināšanu, ir nepieciešami vēl divi jēdzieni.
Kopīgi notikumi ir tie notikumi, no kuriem viena iestāšanās neizslēdz otra iestāšanos. Pieņemsim, ka divi cilvēki vienlaikus šauj mērķī. Ja viens no viņiem izdara veiksmīgu šāvienu, tas neietekmēs otra spēju sist vai netrāpīt.
Nekonsekventi būs tādi notikumi, kuru rašanās vienlaikus nav iespējama. Piemēram, izvelkot no kastes tikai vienu bumbiņu, jūs nevarat uzreiz iegūt gan zilo, gan sarkano krāsu.
Apzīmējums
Varbūtības jēdziens ir apzīmēts ar latīņu lielo burtu P. Tālāk iekavās ir argumenti, kas apzīmē dažus notikumus.
Saskaitīšanas teorēmas, nosacītās varbūtības, reizināšanas teorēmas formulās iekavās redzēsiet izteiksmes, piemēram: A+B, AB vai A|B. Tie tiks aprēķināti dažādos veidos, tagad mēs tiem pievērsīsimies.
Papildinājums
Apskatīsim gadījumus, kad tiek izmantotas saskaitīšanas un reizināšanas formulas.
Nesaderīgiem notikumiem ir piemērota vienkāršākā saskaitīšanas formula: jebkura nejauša iznākuma varbūtība būs vienāda ar katra no šiem iznākumiem varbūtības summu.
Pieņemsim, ka ir kaste ar 2 ziliem, 3 sarkaniem un 5 dzelteniem baloniem. Kastītē kopā ir 10 preces. Cik patiesības procents ir apgalvojumam, ka zīmēsim zilu vai sarkanu bumbiņu? Tas būs vienāds ar 2/10 + 3/10, t.i., piecdesmit procenti.
Nesaderīgu notikumu gadījumā formula kļūst sarežģītāka, jo tiek pievienots papildu termins. Mēs pie tā atgriezīsimies vienā rindkopā, izskatot vēl vienu formulu.
Reizināšana
Dažādos gadījumos tiek izmantota neatkarīgu notikumu varbūtību saskaitīšana un reizināšana. Ja saskaņā ar eksperimenta nosacījumu esam apmierināti ar kādu no diviem iespējamiem rezultātiem, mēs aprēķināsim summu; ja vēlamies iegūt divus noteiktus rezultātus vienu pēc otra, mēs izmantosim citu formulu.
Atgriežoties pie piemēra no iepriekšējās sadaļas, mēs vēlamies vispirms uzzīmēt zilo bumbiņu un pēc tam sarkano. Pirmais mums zināmais skaitlis ir 2/10. Kas notiek tālāk? Palikušas 9 bumbiņas, sarkano vēl tikpat daudz - trīs gabali. Pēc aprēķiniem jūs iegūstat 3/9 vai 1/3. Bet ko tagad darīt ar diviem cipariem? Pareizā atbilde ir reizināt, lai iegūtu 2/30.
Kopīgi pasākumi
Tagad varam pārskatīt kopīgu pasākumu summas formulu. Kāpēc mēs novirzāmies no tēmas? Lai uzzinātu, kā tiek reizinātas varbūtības. Tagad šīs zināšanas noderēs.
Mēs jau zinām, kādi būs pirmie divi termini (tas pats, kas iepriekš apskatītajā saskaitīšanas formulā), tagad mums ir jāatņemvarbūtību reizinājums, ko tikko esam iemācījušies aprēķināt. Skaidrības labad mēs rakstām formulu: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Izrādās, ka vienā izteiksmē tiek izmantota gan varbūtību saskaitīšana, gan reizināšana.
Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina viena no divām problēmām, lai saņemtu kredītu. Pirmo varam atrisināt ar varbūtību 0,3, bet otro - 0,6 Risinājums: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Ņemiet vērā, ka ar skaitļu summēšanu šeit nepietiks.
Nosacītā varbūtība
Beidzot ir nosacītās varbūtības jēdziens, kura argumenti norādīti iekavās un atdalīti ar vertikālu joslu. Ieraksts P(A|B) skan šādi: "notikuma A varbūtība dotajam notikumam B".
Apskatīsim piemēru: draugs iedod jums kādu ierīci, lai tas būtu tālrunis. Tas var būt salūzis (20%) vai labs (80%). Jūs varat salabot jebkuru ierīci, kas nonāk jūsu rokās ar varbūtību 0,4 vai arī jūs to nevarat izdarīt (0,6). Visbeidzot, ja ierīce ir darba kārtībā, jūs varat sasniegt īsto personu ar varbūtību 0,7.
Šajā gadījumā ir viegli redzēt, kā nosacītā varbūtība darbojas: ja tālrunis ir bojāts, jūs nevarat tikt pie cilvēka, un, ja tas ir labs, tas nav jālabo. Tādējādi, lai iegūtu rezultātus "otrajā līmenī", jums jāzina, kurš notikums tika izpildīts pirmajā.
Aprēķini
Aplūkosim piemērus problēmu risināšanai par varbūtību saskaitīšanu un reizināšanu, izmantojot datus no iepriekšējās rindkopas.
Vispirms noskaidrosim varbūtību, ka jūssalabot jums doto ierīci. Lai to izdarītu, pirmkārt, tam jābūt bojātam, un, otrkārt, jums ir jātiek galā ar remontu. Šī ir tipiska reizināšanas problēma: mēs iegūstam 0,20,4=0,08.
Kāda ir iespējamība, ka jūs nekavējoties nonāksit pie īstā cilvēka? Vienkāršāks par vienkāršu: 0,80,7=0,56. Šajā gadījumā jūs konstatējāt, ka tālrunis darbojas, un veiksmīgi piezvanījāt.
Visbeidzot, apsveriet šo scenāriju: jūs saņēmāt salauztu tālruni, salabojāt to, pēc tam sastādiet numuru, un pretējā galā esošā persona atbildēja uz tālruņa zvanu. Šeit jau ir jāreizina trīs komponenti: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Un ja jums ir divi nestrādājoši telefoni vienlaikus? Cik liela ir iespēja, ka izlabosit vismaz vienu no tiem? Tā ir varbūtību saskaitīšanas un reizināšanas problēma, jo tiek izmantoti kopīgi notikumi. Risinājums: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Uzmanīga lietošana
Kā minēts raksta sākumā, varbūtību teorijas izmantošanai jābūt apzinātai un apzinātai.
Jo lielāka ir eksperimentu sērija, jo tuvāk teorētiski prognozētā vērtība tuvojas praktiskajai. Piemēram, mēs metam monētu. Teorētiski, zinot par varbūtību saskaitīšanas un reizināšanas formulu esamību, mēs varam paredzēt, cik reizes galvas un astes izkritīs, ja eksperimentu veiksim 10 reizes. Mēs veicām eksperimentu unNejauši kritušo malu attiecība bija 3 pret 7. Bet, ja veicat 100, 1000 vai vairāk mēģinājumu sēriju, izrādās, ka sadalījuma grafiks arvien vairāk tuvojas teorētiskajam: 44 pret 56, 482 līdz. 518 un tā tālāk.
Tagad iedomājieties, ka šis eksperiments tiek veikts nevis ar monētu, bet gan ar kādas jaunas ķīmiskas vielas ražošanu, kuras iespējamību mēs nezinām. Mēs veiktu 10 eksperimentus un, ja mēs nesaņemtu veiksmīgu rezultātu, mēs varētu vispārināt: "vielu nevar iegūt." Bet kas zina, vai mēs būtu sasnieguši mērķi vai nē, ja mēs veiktu vienpadsmito mēģinājumu?
Tātad, ja jūs dodaties nezināmajā, neizpētītajā valstībā, varbūtības teorija var nebūt spēkā. Katrs nākamais mēģinājums šajā gadījumā var būt veiksmīgs, un tādi vispārinājumi kā "X neeksistē" vai "X nav iespējams" būs priekšlaicīgi.
Noslēguma vārds
Tātad mēs esam apskatījuši divu veidu saskaitīšanu, reizināšanu un nosacītās varbūtības. Tālāk pētot šo jomu, ir jāiemācās atšķirt situācijas, kad tiek izmantota katra konkrētā formula. Turklāt jums ir jāsaprot, vai varbūtības metodes parasti ir piemērojamas jūsu problēmas risināšanai.
Ja jūs praktizēsit, pēc kāda laika jūs sāksit veikt visas nepieciešamās darbības tikai savā prātā. Tiem, kam patīk kāršu spēles, šo prasmi var apsvērtārkārtīgi vērtīgs – jūs būtiski palielināsiet savas izredzes laimēt, tikai aprēķinot kādas konkrētas kārts vai uzvalka izkrišanas varbūtību. Taču iegūtās zināšanas var viegli pielietot citās darbības jomās.
