Pētot kvadrātvienādojuma īpašības, tika noteikts ierobežojums - diskriminantam, kas mazāks par nulli, risinājuma nav. Uzreiz tika noteikts, ka runa ir par reālo skaitļu kopu. Matemātiķa zinātkārais prāts būs ieinteresēts - kāds ir noslēpums, kas slēpjas punktā par reālajām vērtībām?
Laika gaitā matemātiķi ieviesa komplekso skaitļu jēdzienu, kur mīnus viena otrās saknes nosacītā vērtība tiek ņemta par vienību.
Vēstures fons
Matemātikas teorija attīstās secīgi, no vienkāršas līdz sarežģītai. Noskaidrosim, kā radās jēdziens "komplekss skaitlis" un kāpēc tas ir vajadzīgs.
Kopš neatminamiem laikiem matemātikas pamatā bija parastais konts. Pētnieki zināja tikai dabisko vērtību kopumu. Saskaitīšana un atņemšana bija vienkārša. Tā kā ekonomiskās attiecības kļuva sarežģītākas, to pašu vērtību saskaitīšanas vietā sāka izmantot reizināšanu. Ir apgrieztā darbība, laireizināšana - dalīšana.
Naturāla skaitļa jēdziens ierobežoja aritmētisko darbību izmantošanu. Uz veselu skaitļu vērtību kopas nav iespējams atrisināt visas dalīšanas problēmas. Darbs ar daļām vispirms noveda pie racionālu vērtību jēdziena, bet pēc tam pie iracionālām vērtībām. Ja racionālajam ir iespējams norādīt precīzu punkta atrašanās vietu uz līnijas, tad iracionālajam šādu punktu nav iespējams norādīt. Jūs varat tikai aptuveni aprēķināt intervālu. Racionālo un iracionālo skaitļu savienība veidoja reālu kopu, kuru var attēlot kā noteiktu līniju ar noteiktu skalu. Katrs solis šajā līnijā ir naturāls skaitlis, un starp tiem ir racionālas un iracionālas vērtības.
Ir sācies teorētiskās matemātikas laikmets. Astronomijas, mehānikas, fizikas attīstība prasīja arvien sarežģītāku vienādojumu atrisināšanu. Kopumā tika atrastas kvadrātvienādojuma saknes. Atrisinot sarežģītāku kubiskā polinomu, zinātnieki nonāca pretrunā. Jēdziens kubsakne no negatīva ir jēga, bet kvadrātsaknei tiek iegūta nenoteiktība. Turklāt kvadrātvienādojums ir tikai īpašs kubiskā vienādojums.
1545. gadā itālis Dž. Kardano ierosināja ieviest imagināra skaitļa jēdzienu.
Šis skaitlis ir mīnus viens otrā sakne. Termins kompleksais skaitlis beidzot tika izveidots tikai trīssimt gadus vēlāk, slavenā matemātiķa Gausa darbos. Viņš ierosināja formāli paplašināt visus algebras likumus līdz iedomātajam skaitlim. Īstā līnija ir pagarināta līdzlidmašīnas. Pasaule ir lielāka.
Pamatjēdzieni
Atsauciet atmiņā vairākas funkcijas, kurām ir ierobežojumi reālajai kopai:
- y=arcsin(x), definēts starp negatīvo un pozitīvo 1.
- y=ln(x), decimāllogaritmam ir jēga ar pozitīviem argumentiem.
- kvadrātsakne y=√x, aprēķināta tikai x ≧ 0.
Apzīmējot i=√(-1), mēs ieviešam šādu jēdzienu kā iedomātu skaitli, tas noņems visus ierobežojumus no iepriekšminēto funkciju definīcijas domēna. Tādām izteiksmēm kā y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) ir jēga kādā komplekso skaitļu telpā.
Algebrisko formu var uzrakstīt kā izteiksmi z=x + i×y uz reālo x un y vērtību kopas, un i2 =-1.
Jaunā koncepcija atceļ visus ierobežojumus jebkuras algebriskās funkcijas lietošanai un atgādina taisnas līnijas grafiku reālo un iedomāto vērtību koordinātēs.
Sarežģītā plakne
Komplekso skaitļu ģeometriskā forma ļauj vizuāli attēlot daudzas to īpašības. Uz Re(z) ass atzīmējam reālās x vērtības, uz Im(z) - y iedomātās vērtības, tad z punkts plaknē parādīs vajadzīgo komplekso vērtību.
Definīcijas:
- Re(z) - reālā ass.
- Im(z) - nozīmē iedomāto asi.
- z - kompleksa skaitļa nosacījuma punkts.
- Vektora garuma skaitlisko vērtību no nulles līdz z saucmodulis.
- Reālas un iedomātas asis sadala plakni ceturtdaļās. Ar pozitīvu koordinātu vērtību - I ceturksnis. Ja reālās ass arguments ir mazāks par 0 un iedomātā ass ir lielāka par 0 - II ceturksnis. Kad koordinātas ir negatīvas - III ceturksnis. Pēdējais, ceturtais ceturksnis satur daudzas pozitīvas reālās vērtības un negatīvas iedomātas vērtības.
Tādējādi plaknē ar x un y koordinātu vērtībām vienmēr var vizualizēt kompleksa skaitļa punktu. Rakstzīme i tiek ieviesta, lai atdalītu reālo daļu no iedomātās.
Properties
- Kad iedomātā argumenta vērtība ir nulle, mēs iegūstam tikai skaitli (z=x), kas atrodas uz reālās ass un pieder reālajai kopai.
- Īpašs gadījums, kad reālā argumenta vērtība kļūst nulle, izteiksme z=i×y atbilst punkta atrašanās vietai uz iedomātās ass.
- Vispārīgā forma z=x + i×y būs paredzēta argumentu vērtībām, kas nav nulles. Norāda komplekso skaitli raksturojošā punkta atrašanās vietu vienā no ceturtdaļām.
Trigonometriskais apzīmējums
Atsaukt polāro koordinātu sistēmu un trigonometrisko funkciju sin un cos definīciju. Ir acīmredzams, ka ar šo funkciju palīdzību ir iespējams aprakstīt jebkura plaknes punkta atrašanās vietu. Lai to izdarītu, pietiek zināt polārā stara garumu un slīpuma leņķi pret reālo asi.
Definīcija. Ierakstu ar formu ∣z ∣, kas reizināts ar trigonometrisko funkciju cos(ϴ) un iedomātās daļas i ×sin(ϴ) summu, sauc par trigonometrisko komplekso skaitli. Šeit apzīmējums ir slīpuma leņķis pret reālo asi
ϴ=arg(z) un r=∣z∣, sijas garums.
No trigonometrisko funkciju definīcijas un īpašībām izriet ļoti svarīga Moivre formula:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Izmantojot šo formulu, ir ērti atrisināt daudzas vienādojumu sistēmas, kas satur trigonometriskas funkcijas. Īpaši tad, kad rodas problēma paaugstināt līdz pilnvarām.
Modulis un fāze
Lai pabeigtu kompleksās kopas aprakstu, mēs piedāvājam divas svarīgas definīcijas.
Zinot Pitagora teorēmu, ir viegli aprēķināt stara garumu polāro koordinātu sistēmā.
r=∣z∣=√(x2 + y2), šādu apzīmējumu kompleksā telpā sauc par " modulis" un raksturo attālumu no 0 līdz punktam plaknē.
Sarežģītā stara slīpuma leņķi pret reālo līniju ϴ parasti sauc par fāzi.
Definīcija parāda, ka reālās un iedomātās daļas ir aprakstītas, izmantojot cikliskās funkcijas. Proti:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Un otrādi, fāze ir saistīta ar algebriskajām vērtībām, izmantojot formulu:
ϴ=arctan(x / y) + µ, tiek ieviesta korekcija µ, lai ņemtu vērā ģeometrisko funkciju periodiskumu.
Eulera formula
Matemātiķi bieži izmanto eksponenciālo formu. Kompleksie plakņu numuri tiek rakstīti kā izteiksmes
z=r × ei×ϴ , kas izriet no Eilera formulas.
Šis ieraksts tiek plaši izmantots fizisko lielumu praktiskai aprēķināšanai. Prezentācijas forma formāeksponenciālie kompleksie skaitļi ir īpaši ērti inženiertehniskiem aprēķiniem, kur rodas nepieciešamība aprēķināt ķēdes ar sinusoidālām strāvām un jāzina funkciju integrāļu vērtība ar noteiktu periodu. Paši aprēķini kalpo kā instruments dažādu mašīnu un mehānismu projektēšanā.
Definēt darbības
Kā jau minēts, visi algebriskie likumi darbam ar matemātiskām pamatfunkcijām attiecas uz kompleksajiem skaitļiem.
Summa darbība
Pievienojot sarežģītas vērtības, tiek pievienotas arī to reālās un iedomātās daļas.
z=z1 + z2 kur z1 un z2 - vispārīgi kompleksie skaitļi. Pārveidojot izteiksmi, pēc iekavu atvēršanas un apzīmējuma vienkāršošanas iegūstam reālo argumentu x=(x1 + x2), iedomāto argumentu y=(y 1 + y2).
Grafā tas izskatās kā divu vektoru saskaitīšana saskaņā ar labi zināmo paralelograma likumu.
Atņemšanas darbība
Tiek uzskatīts par īpašu saskaitīšanas gadījumu, kad viens skaitlis ir pozitīvs, otrs ir negatīvs, tas ir, atrodas spoguļu ceturksnī. Algebriskais apzīmējums izskatās kā atšķirība starp reālajām un iedomātajām daļām.
z=z1 - z2, vai, ņemot vērā argumentu vērtības, līdzīgi kā pievienošana operāciju, mēs iegūstam reālajām vērtībām x=(x1 - x2) un iedomāto y=(y1- y2).
Reizināšana kompleksajā plaknē
Izmantojot noteikumus darbam ar polinomiem, mēs iegūstam formululai atrisinātu kompleksos skaitļus.
Ievērojot vispārīgos algebriskos noteikumus z=z1×z2, aprakstiet katru argumentu un uzskaitiet līdzīgus. Reālās un iedomātās daļas var uzrakstīt šādi:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Tas izskatās skaistāk, ja izmantojam eksponenciālos kompleksos skaitļus.
Izteiksme izskatās šādi: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Vēl vienkārši moduļi tiek reizināti un fāzes tiek pievienotas.
Divīzija
Aplūkojot dalīšanas darbību kā reizināšanas apgriezto, mēs iegūstam vienkāršu izteiksmi eksponenciālā apzīmējumā. Vērtības z1 dalīšana ar z2 ir to moduļu un fāžu starpības dalīšanas rezultāts. Formāli, izmantojot komplekso skaitļu eksponenciālo formu, tas izskatās šādi:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Algebriskā apzīmējuma veidā kompleksās plaknes skaitļu dalīšanas operācija ir uzrakstīta nedaudz sarežģītāk:
z=z1 / z2.
Aprakstot argumentus un veicot polinomu transformācijas, ir viegli iegūt vērtībasx=x1 × x2 + y1 × y2, attiecīgi y=x2 × y1 - x1 × y2 , tomēr aprakstītajā telpā šai izteiksmei ir jēga, ja z2 ≠ 0.
Izņemiet sakni
Visu iepriekš minēto var pielietot, definējot sarežģītākas algebriskās funkcijas - paaugstinot līdz jebkurai pakāpei un apgriežot tai - izdalot sakni.
Izmantojot vispārējo jēdzienu paaugstināšana līdz pakāpei n, mēs iegūstam definīciju:
zn =(r × eiϴ).
Izmantojot parastos rekvizītus, pārrakstiet kā:
zn =rn × eiϴ.
Mēs saņēmām vienkāršu formulu kompleksā skaitļa paaugstināšanai pakāpē.
No grāda definīcijas mēs iegūstam ļoti svarīgas sekas. Iedomātās vienības pāra pakāpe vienmēr ir 1. Jebkura iedomātās vienības nepāra jauda vienmēr ir -1.
Tagad izpētīsim apgriezto funkciju – saknes izvilkšanu.
Lai būtu vieglāk atzīmēt, pieņemsim, ka n=2. Kvadrātsakne w no kompleksās vērtības z kompleksajā plaknē C tiek uzskatīta par izteiksmi z=±, kas ir derīga jebkuram reālam argumentam, kas ir lielāks vai vienāds ar nulle. Ja w ≦ 0, nav risinājuma.
Apskatīsim vienkāršāko kvadrātvienādojumu z2 =1. Izmantojot komplekso skaitļu formulas, pārrakstiet r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. No ieraksta var redzēt, ka r2 =1 un ϴ=0, tāpēc mums ir unikāls risinājums, kas vienāds ar 1. Bet tas ir pretrunā ar priekšstatu, ka z=-1 atbilst arī kvadrātsaknes definīcijai.
Izdomāsim, ko neņemam vērā. Ja atceramies trigonometrisko apzīmējumu, tad atjaunojam apgalvojumu - periodiski mainoties fāzei ϴ, kompleksais skaitlis nemainās. Ļaujiet p apzīmēt perioda vērtību, tad mums ir r2 × ei2ϴ =ei(0+p), no kurienes 2ϴ=0 + p vai ϴ=p / 2. Tāpēc ei0 =1 un eip/2 =-1. Ieguvām otro risinājumu, kas atbilst vispārējai kvadrātsaknes izpratnei.
Tātad, lai atrastu patvaļīgu kompleksa skaitļa sakni, mēs izpildīsim procedūru.
- Uzrakstiet eksponenciālo formu w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k ir patvaļīgs vesels skaitlis.
- Vēlamais skaitlis ir attēlots arī Eilera formā z=r × eiϴ.
- Izmantojiet vispārīgo saknes ekstrakcijas funkcijas definīciju r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- No moduļu un argumentu vienādības vispārīgajām īpašībām mēs rakstām rn =∣w∣ un nϴ=arg (w) + p×k.
- Kompleksa skaitļa saknes gala ierakstu apraksta ar formulu z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Piezīme. ∣w∣ vērtība pēc definīcijas,ir pozitīvs reālais skaitlis, tāpēc jebkuras pakāpes saknei ir jēga.
Lauks un konjugācija
Nobeigumā mēs sniedzam divas svarīgas definīcijas, kurām ir maza nozīme lietišķo problēmu risināšanā ar kompleksajiem skaitļiem, taču tās ir būtiskas matemātikas teorijas tālākai attīstībai.
Saskaitīšanas un reizināšanas izteiksmes veido lauku, ja tās atbilst aksiomām jebkuram kompleksās plaknes z elementam:
- Sarežģītā summa nemainās, mainoties komplekso terminu vietām.
- Apgalvojums ir patiess – kompleksā izteiksmē jebkuru divu skaitļu summu var aizstāt ar to vērtību.
- Ir neitrāla vērtība 0, kurai z + 0=0 + z=z ir patiesa.
- Jebkuram z ir pretstats - z, kuram pievienojot iegūst nulli.
- Mainot komplekso faktoru vietas, kompleksais produkts nemainās.
- Jebkuru divu skaitļu reizinājumu var aizstāt ar to vērtību.
- Ir neitrāla vērtība 1, kuras reizināšana nemaina komplekso skaitli.
- Katram z ≠ 0 ir apgriezts skaitlis z-1, kas reizina ar 1.
- Divu skaitļu summas reizināšana ar trešdaļu ir līdzvērtīga darbībai, kurā katru no tiem reizina ar šo skaitli un saskaita rezultātus.
- 0 ≠ 1.
Ciparus z1 =x + i×y un z2 =x - i×y sauc par konjugātiem.
Teorēma. Konjugācijai apgalvojums ir patiess:
- Summas konjugācija ir vienāda ar konjugēto elementu summu.
- Produkta konjugāts irkonjugāciju reizinājums.
- Konjugācijas konjugācija ir vienāda ar pašu skaitli.
Vispārējā algebrā šādas īpašības sauc par lauka automorfismiem.
Piemēri
Ievērojot sniegtos komplekso skaitļu noteikumus un formulas, ar tiem var ērti darboties.
Apskatīsim vienkāršākos piemērus.
1. problēma. Izmantojot vienādojumu 3y +5 x i=15 - 7i, nosakiet x un y.
Lēmums. Atgādiniet sarežģīto vienādību definīciju, tad 3y=15, 5x=-7. Tāpēc x=-7/5, y=5.
2. uzdevums. Aprēķiniet vērtības 2 + i28 un 1 + i135.
Lēmums. Acīmredzot 28 ir pāra skaitlis, no kompleksā skaitļa definīcijas pakāpē i28 =1, kas nozīmē, ka izteiksme 2 + i 28 =3. Otrā vērtība, i135 =-1, tad 1 + i135 =0.
3. uzdevums. Aprēķiniet vērtību 2 + 5i un 4 + 3i reizinājumu.
Lēmums. No komplekso skaitļu reizināšanas vispārīgajām īpašībām iegūstam (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Jaunā vērtība būs -7 + 26i.
4. uzdevums. Aprēķiniet vienādojuma saknes z3 =-i.
Lēmums. Ir vairāki veidi, kā atrast komplekso skaitli. Apsvērsim vienu no iespējamajiem. Pēc definīcijas ∣ - i∣=1, fāze priekš -i ir -p / 4. Sākotnējo vienādojumu var pārrakstīt kā r3ei3ϴ =e-p/4+pk, no kur z=e-p / 12 + pk/3, jebkuram veselam skaitlim k.
Risinājumu komplektam ir forma (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Kāpēc mums ir vajadzīgi kompleksie skaitļi
Vēsture zina daudzus piemērus, kad zinātnieki, strādājot pie teorijas, pat nedomā par savu rezultātu praktisko pielietojumu. Matemātika, pirmkārt, ir prāta spēle, stingra pieturēšanās pie cēloņu un seku attiecībām. Gandrīz visas matemātiskās konstrukcijas tiek reducētas līdz integrālvienādojumu un diferenciālvienādojumu risināšanai, savukārt tās ar zināmu tuvinājumu tiek atrisinātas, atrodot polinomu saknes. Šeit mēs pirmo reizi sastopamies ar iedomātu skaitļu paradoksu.
Zinātnieki dabaszinātnieki, risinot pilnīgi praktiskus uzdevumus, ķeroties pie dažādu vienādojumu risinājumiem, atklāj matemātiskos paradoksus. Šo paradoksu interpretācija noved pie absolūti pārsteidzošiem atklājumiem. Viens no šādiem piemēriem ir elektromagnētisko viļņu divējāda daba. Sarežģītajiem skaitļiem ir izšķiroša nozīme to īpašību izpratnē.
Tas, savukārt, ir atradis praktisku pielietojumu optikā, radioelektronikā, enerģētikā un daudzās citās tehnoloģiju jomās. Vēl viens piemērs, daudz grūtāk izprotamas fiziskas parādības. Antimatērija tika prognozēta pildspalvas galā. Un tikai pēc daudziem gadiem sākas mēģinājumi to fiziski sintezēt.
Nedomājiet, ka tikai fizikā ir tādas situācijas. Ne mazāk interesanti atklājumi tiek veikti savvaļas dabā, makromolekulu sintēzē, mākslīgā intelekta pētījumos. Un tas viss pateicotiesmūsu apziņas paplašināšana, attālināšanās no vienkāršas dabas vērtību saskaitīšanas un atņemšanas.
