Plašu attiecību klāstu kopu piemērā pavada liels skaits jēdzienu, sākot ar to definīcijām un beidzot ar paradoksu analītisko analīzi. Filmas rakstā aplūkotās koncepcijas daudzveidība ir bezgalīga. Lai gan, runājot par duālajiem veidiem, tas nozīmē bināras attiecības starp vairākām vērtībām. Un arī starp objektiem vai paziņojumiem.
Binārās attiecības parasti apzīmē ar simbolu R, tas ir, ja xRx jebkurai vērtībai x no lauka R, tad šādu īpašību sauc par refleksīvu, kurā x un x ir pieņemti domāšanas objekti, un R kalpo kā zīme, vai vai cita veida attiecības starp indivīdiem. Tajā pašā laikā, ja izsakāt xRy® vai yRx, tas norāda uz simetrijas stāvokli, kur ® ir implikācijas zīme, kas ir līdzīga savienībai "ja … tad …". Un, visbeidzot, slēdža dekodēšana uzraksts (xRy Ùy Rz) ®xRz stāsta par transitīvām attiecībām, un zīme Ù ir savienojums.
Bināro attiecību, kas ir gan refleksīva, gan simetriska, gan pārejoša, sauc par ekvivalences attiecību. Sakarība f ir funkcija, un vienādība y=z izriet no Î f un Î f. Vienkāršu bināro funkciju var viegli lietotdiviem vienkāršiem argumentiem noteiktā secībā, un tikai šajā gadījumā tas piešķir nozīmi, kas ir vērsta uz šiem diviem izteicieniem, kas ņemti konkrētā gadījumā.
Jāsaka, ka f savieto x ar y,
ja f ir funkcija ar diapazonu x un diapazonu y. Tomēr, kad f ekstrapolē x uz y un y Í z, tas liek f parādīt x z. Vienkāršs piemērs: ja f(x)=2x ir patiess jebkuram veselam skaitlim x, tad tiek teikts, ka f kartē visu zināmo veselo skaitļu kopu ar to pašu veselo skaitļu kopu, bet šoreiz pāra skaitļiem. Kā minēts iepriekš, bināras attiecības, kas ir gan refleksīvas, gan simetriskas, gan pārejošas, ir ekvivalences attiecības.
Pamatojoties uz iepriekš minēto, bināro attiecību ekvivalences attiecības nosaka īpašības:
- refleksivitāte - attiecība (M ~ N);
- simetrijas - ja vienādība ir M ~ N, tad būs N ~ M;
- transitivitāte - ja divas vienādības M ~ N un N ~ P, tad rezultātā M ~ P.
Sīkāk aplūkosim bināro attiecību deklarētās īpašības. Refleksivitāte ir viena no noteiktu savienojumu pazīmēm, kur katrs pētāmās kopas elements atrodas noteiktā vienlīdzībā ar sevi. Piemēram, starp skaitļiem a=c un a³ c ir refleksīvi savienojumi, jo vienmēr a=a, c=c, a³ a, c³ c. Tajā pašā laikā nevienlīdzības a>c sakarība ir antirefleksīva, jo nevienlīdzības a>a pastāvēšana nav iespējama. Šīs īpašības aksioma ir kodēta ar zīmēm: aRc®aRa Ù cRc, šeit simbols ® nozīmē vārdu "iesaista" (vai "implicē"), un zīme Ù - ir savienība "un" (vai savienojums). No šī apgalvojuma izriet, ka, ja spriedums aRc ir patiess, tad arī izteicieni aRa un cRc ir patiesi.
Simetrija ietver attiecību esamību pat tad, ja tiek apmainīti mentālie objekti, tas ir, ar simetriskām attiecībām, objektu pārkārtošana neizraisa "bināro attiecību" veida transformāciju. Piemēram, vienādības a=c attiecība ir simetriska sakarības c=a ekvivalences dēļ; arī priekšlikums a¹c ir tāds pats, jo tas atbilst savienojumam ar¹a.
Transitīvā kopa ir īpašība, kas atbilst šādai prasībai: y н x, z н y ® z н x, kur ® ir zīme, kas aizstāj vārdus: "ja …, tad …". Formulu mutiski nolasa šādi: "Ja y ir atkarīgs no x, z pieder y, tad z ir atkarīgs arī no x".
