Sešstūra prizma un tās galvenie raksturlielumi

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Telpiskā ģeometrija ir prizmu izpēte. To svarīgās īpašības ir tajos esošais tilpums, virsmas laukums un sastāvdaļu skaits. Rakstā mēs apskatīsim visas šīs sešstūra prizmas īpašības.

Par kuru prizmu mēs runājam?

Sešstūra prizma ir figūra, ko veido divi daudzstūri ar sešām malām un sešiem leņķiem un seši paralelogrami, kas savieno atzīmētos sešstūrus vienā ģeometriskā veidojumā.

Attēlā parādīts šīs prizmas piemērs.

Sešstūris, kas atzīmēts ar sarkanu krāsu, tiek saukts par figūras pamatni. Acīmredzot tā bāzu skaits ir vienāds ar diviem, un abas tās ir identiskas. Prismas dzeltenzaļganās skaldnes sauc par tās malām. Attēlā tie ir attēloti ar kvadrātiem, bet kopumā tie ir paralelogrami.

Sešstūra prizma var būt slīpa un taisna. Pirmajā gadījumā leņķi starp pamatni un malām nav taisni, otrajā tie ir vienādi ar 90o. Arī šī prizma var būt pareiza un nepareiza. Regulārs sešstūrainsprizmai jābūt taisnai un ar regulāru sešstūri pie pamatnes. Iepriekš redzamā prizma attēlā atbilst šīm prasībām, tāpēc to sauc par pareizu. Tālāk rakstā mēs pētīsim tikai tā īpašības, kā vispārīgu gadījumu.

Elementi

Jebkurai prizmai tās galvenie elementi ir malas, skaldnes un virsotnes. Sešstūra prizma nav izņēmums. Iepriekš redzamais skaitlis ļauj saskaitīt šo elementu skaitu. Tātad, mēs iegūstam 8 skalas vai malas (divas pamatnes un seši sānu paralelogrami), virsotņu skaits ir 12 (6 virsotnes katrai pamatnei), sešstūra prizmas malu skaits ir 18 (sešas sānu un 12 pamatiem).

1750. gados Leonhards Eilers (Šveices matemātiķis) visiem daudzskaldņiem, kas ietver prizmu, izveidoja matemātisko attiecību starp norādīto elementu skaitļiem. Šīs attiecības izskatās šādi:

malu skaits=skaldņu skaits + virsotņu skaits - 2.

Iepriekš minētie skaitļi atbilst šai formulai.

Prizmas diagonāles

Visas sešstūra prizmas diagonāles var iedalīt divos veidos:

• tie, kas atrodas tās seju plaknēs;
• tie, kas pieder visam figūras apjomam.

Zemāk esošajā attēlā ir redzamas visas šīs diagonāles.

Var redzēt, ka D₁ ir sānu diagonāle, D₂ un D₃ diagonāles visa prizma, D₄ un D_{5 - pamatnes diagonāles.}

Manu diagonāļu garumi ir vienādi. Tos ir viegli aprēķināt, izmantojot labi zināmo Pitagora teorēmu. Ļaut a ir sešstūra malas garums, b sānu malas garums. Tad diagonālei ir garums:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonāli D₄ ir arī viegli noteikt. Ja atceramies, ka regulārs sešstūris iekļaujas aplī ar rādiusu a, tad D_{4 ir šī apļa diametrs, tas ir, mēs iegūstam šādu formulu:}

D_4=2a.

Diagonālā D₅bāzes ir nedaudz grūtāk atrast. Lai to izdarītu, apsveriet vienādmalu trīsstūri ABC (sk. att.). Viņam AB=BC=a leņķis ABC ir 120^{o. Ja pazemināsim augstumu no šī leņķa (tā būs arī bisektrise un mediāna), tad puse no maiņstrāvas bāzes būs vienāda ar:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Maiņstrāvas puse ir D_{5 diagonāle, tāpēc mēs iegūstam:}

D_5=AC=√3a.

Tagad atliek atrast regulāras sešstūra prizmas diagonāles D₂un D_{3. Lai to izdarītu, jums ir jāredz, ka tie ir atbilstošo taisnleņķa trīsstūru hipotenūzas. Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs iegūstam:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Tādējādi lielākā diagonāle visām a un b vērtībām irD_2.

Virsmas laukums

Lai saprastu, kas ir uz spēles, vienkāršākais veids ir apsvērt šīs prizmas izstrādi. Tas ir redzams attēlā.

Var redzēt, ka, lai noteiktu visu aplūkojamās figūras malu laukumu, atsevišķi jāaprēķina četrstūra laukums un sešstūra laukums, pēc tam tie jāreizina ar atbilstošiem veseliem skaitļiem, kas vienādi ar katra n-stūra skaitu prizmā, un saskaitiet rezultātus. Sešstūri 2, taisnstūri 6.

Taisnstūra laukumam mēs iegūstam:

S_1=ab.

Tad sānu virsmas laukums ir:

S_2=6ab.

Lai noteiktu sešstūra laukumu, vienkāršākais veids ir izmantot atbilstošo formulu, kas izskatās šādi:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Aizvietojot šajā izteiksmē skaitli n, kas vienāds ar 6, mēs iegūstam viena sešstūra laukumu:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Šī izteiksme jāreizina ar divi, lai iegūtu prizmas pamatnes laukumu:

S_os=3√3a^2.

Atliek pievienot S_os un S_{2, lai iegūtu figūras kopējo virsmas laukumu:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Prizmas skaļums

Pēc formulas parsešstūra pamatnes laukumu, attiecīgās prizmas tilpuma aprēķināšana ir tikpat vienkārša kā bumbieru lobīšana. Lai to izdarītu, jums vienkārši jāreizina vienas pamatnes (sešstūra) laukums ar figūras augstumu, kura garums ir vienāds ar sānu malas garumu. Mēs iegūstam formulu:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Ņemiet vērā, ka pamatnes un augstuma reizinājums dod absolūti jebkuras prizmas tilpuma vērtību, ieskaitot slīpo prizmu. Tomēr pēdējā gadījumā augstuma aprēķins ir sarežģīts, jo tas vairs nebūs vienāds ar sānu ribas garumu. Kas attiecas uz parasto sešstūra prizmu, tās tilpuma vērtība ir divu mainīgo lielumu funkcija: malas a un b.