Polinoms jeb polinoms – viena no algebriskajām pamatstruktūrām, kas sastopama skolā un augstākajā matemātikā. Polinoma izpēte ir vissvarīgākā tēma algebras kursā, jo, no vienas puses, polinomi ir diezgan vienkārši, salīdzinot ar cita veida funkcijām, un, no otras puses, tos plaši izmanto matemātiskās analīzes problēmu risināšanā.. Tātad, kas ir polinoms?
Definīcija
Jēdziena polinoms definīciju var sniegt, izmantojot monoma vai monoma jēdzienu.
monomāls ir formas cx1i1x2 i2 …x in. Šeit с ir konstante, x1, x2, … x - mainīgie, i1, i2, … in - mainīgo eksponenti. Tad polinoms ir jebkura ierobežota monomu summa.
Lai saprastu, kas ir polinoms, varat apskatīt konkrētus piemērus.
Kvadrātveida trinomāls, par ko detalizēti tika runāts 8. klases matemātikas kursā, ir polinoms: ax2+bx+c.
Polinoms ar diviem mainīgajiem var izskatīties šādi: x2-xy+y2. Tādaspolinomu sauc arī par nepilnu x un y starpības kvadrātu.
Polinomu klasifikācijas
Polinomu grāds
Katram polinoma monomam atrodiet eksponentu i1+i2+…+in summu. Lielāko no summām sauc par polinoma eksponentu, un monomu, kas atbilst šai summai, sauc par lielāko daļu.
Starp citu, jebkuru konstanti var uzskatīt par nulles pakāpes polinomu.
Reducēti un nereducēti polinomi
Ja koeficients c ir vienāds ar 1 augstākajam terminam, tad tiek dots polinoms, pretējā gadījumā tā nav.
Piemēram, izteiksme x2+2x+1 ir samazināts polinoms, un 2x2+2x+1 netiek samazināts..
Viendabīgi un nehomogēni polinomi
Ja visu polinoma locekļu pakāpes ir vienādas, tad mēs sakām, ka šāds polinoms ir viendabīgs. Visi pārējie polinomi tiek uzskatīti par neviendabīgiem.
Viendabīgi polinomi: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogēni: x+1, x2+y.
Ir īpaši nosaukumi divu un trīs terminu polinomam: attiecīgi binomiāls un trinomiāls.
Viena mainīgā polinomi tiek iedalīti atsevišķā kategorijā.
Viena mainīgā polinoma pielietošana
Viena mainīgā polinomi labi tuvina dažādas sarežģītības nepārtrauktas funkcijas no viena argumenta.
Fakts ir tāds, ka šādus polinomus var uzskatīt par pakāpju rindas daļējām summām, un nepārtrauktu funkciju var attēlot kā virkni ar patvaļīgi mazu kļūdu. Funkcijas paplašināšanas sērijas sauc par Teilora sēriju, un tāsdaļējas summas polinomu veidā - Teilora polinomi.
Grafiski pētīt funkcijas uzvedību, tuvinot to ar kādu polinomu, bieži vien ir vieglāk nekā izpētīt to pašu funkciju tieši vai izmantojot virkni.
Ir viegli meklēt polinomu atvasinājumus. Lai atrastu 4. un zemākas pakāpes polinomu saknes, ir gatavas formulas, bet darbam ar augstākām pakāpēm tiek izmantoti augstas precizitātes aptuvenie algoritmi.
Ir arī aprakstīto polinomu vispārinājums vairāku mainīgo funkcijām.
Ņūtona binomiāls
Slavenie polinomi ir Ņūtona polinomi, kurus zinātnieki atvasinājuši, lai atrastu izteiksmes (x + y) koeficientus.
Pietiek apskatīt dažus pirmos binomiālā sadalījuma pakāpumus, lai pārliecinātos, ka formula nav triviāla:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Katram koeficientam ir izteiksme, kas ļauj to aprēķināt. Tomēr smagnēju formulu iegaumēšana un nepieciešamo aritmētisko darbību veikšana katru reizi būtu ārkārtīgi neērta tiem matemātiķiem, kuriem šādi paplašinājumi bieži ir nepieciešami. Paskāla trīsstūris padarīja viņu dzīvi daudz vieglāku.
Figūra veidota pēc šāda principa. Trijstūra augšdaļā tiek ierakstīts 1, un katrā nākamajā rindā tas kļūst par vienu ciparu vairāk, malās tiek likts 1, un rindas vidus tiek aizpildīts ar divu blakus esošo skaitļu summām no iepriekšējā.
Kad paskatās uz ilustrāciju, viss kļūst skaidrs.
Protams, polinomu izmantošana matemātikā neaprobežojas tikai ar dotajiem piemēriem, visplašāk zināmajiem.
