Tēmu "aritmētiskā progresija" apgūst algebras vispārējā kursā skolās 9. klasē. Šī tēma ir svarīga turpmākai padziļinātai skaitļu rindu matemātikas izpētei. Šajā rakstā mēs iepazīsimies ar aritmētisko progresiju, tās atšķirību, kā arī ar tipiskiem uzdevumiem, ar kuriem var saskarties skolēni.
Algebriskās progresijas jēdziens
Ciparu progresija ir skaitļu virkne, kurā katru nākamo elementu var iegūt no iepriekšējā, ja piemēro kādu matemātisku likumu. Ir divi vienkārši progresijas veidi: ģeometriskā un aritmētiskā, ko sauc arī par algebrisko. Pakavēsimies pie tā sīkāk.
Iedomāsimies kādu racionālu skaitli, apzīmēsim to ar simbolu a1, kur indekss norāda tā kārtas numuru apskatāmajā sērijā. Pievienosim a1 kādu citu skaitli, apzīmēsim to ar d. Tad otraissērijas elementu var atspoguļot šādi: a2=a1+d. Tagad pievienojiet d vēlreiz, mēs iegūstam: a3=a2+d. Turpinot šo matemātisko darbību, jūs varat iegūt veselu skaitļu virkni, kas tiks saukta par aritmētisko progresiju.
Kā var saprast no iepriekš minētā, lai atrastu šīs secības n-to elementu, jāizmanto formula: a =a1+ (n -1)d. Patiešām, izteiksmē aizstājot n=1, mēs iegūstam a1=a1, ja n=2, tad formula nozīmē: a2=a1 + 1d un tā tālāk.
Piemēram, ja aritmētiskās progresijas starpība ir 5 un a1=1, tad tas nozīmē, ka attiecīgā veida skaitļu sērija izskatās šādi: 1, 6, 11, 16, 21, … Kā redzat, katrs tā termins ir par 5 lielāks nekā iepriekšējais.
Aritmētiskās progresijas starpības formulas
No iepriekš minētās aplūkotās skaitļu sērijas definīcijas izriet, ka, lai to noteiktu, ir jāzina divi skaitļi: a1 un d. Pēdējo sauc par šīs progresēšanas starpību. Tas unikāli nosaka visas sērijas uzvedību. Patiešām, ja d ir pozitīvs, tad skaitļu rindas pastāvīgi palielināsies, gluži pretēji, negatīvas d gadījumā skaitļi rindā palielināsies tikai modulo, savukārt to absolūtā vērtība samazināsies, palielinoties skaitlim n.
Kāda ir aritmētiskās progresijas atšķirība? Apsveriet divas galvenās formulas, kas tiek izmantotas šīs vērtības aprēķināšanai:
- d=an+1-a , šī formula izriet tieši no attiecīgās skaitļu sērijas definīcijas.
- d=(-a1+a)/(n-1), šo izteiksmi iegūst, izsakot d no dotās formulas panta iepriekšējā rindkopā. Ņemiet vērā, ka šī izteiksme kļūst nenoteikta (0/0), ja n=1. Tas ir saistīts ar faktu, ka ir jāzina vismaz 2 sērijas elementi, lai noteiktu to atšķirību.
Šīs divas pamatformulas tiek izmantotas, lai atrisinātu jebkuru progresijas atšķirības atrašanas problēmu. Tomēr ir arī cita formula, kas jums jāzina.
Pirmo elementu summa
Formulu, ko var izmantot, lai noteiktu algebriskās progresijas jebkura skaita locekļu summu, saskaņā ar vēsturiskām liecībām, pirmo reizi ieguva 18. gadsimta matemātikas "princis" Karls Gauss. Vācu zinātnieks, vēl būdams ciema skolas pamatskolas zēns, pamanīja, ka, lai rindā no 1 līdz 100 pievienotu naturālus skaitļus, vispirms ir jāsaskaita pirmais elements un pēdējais (iegūtā vērtība būs vienāda uz priekšpēdējā un otrā, priekšpēdējā un trešā elementa summu un tā tālāk), un tad šis skaitlis jāreizina ar šo summu skaitu, tas ir, ar 50.
Formulu, kas atspoguļo norādīto rezultātu konkrētā piemērā, var vispārināt līdz patvaļīgam gadījumam. Tas izskatīsies šādi: S =n/2(a +a1). Ņemiet vērā, ka, lai atrastu norādīto vērtību, zināšanas par starpību d nav nepieciešamas,ja ir zināmi divi progresijas termini (a un a1).
1. piemērs. Nosakiet atšķirību, zinot divus sērijas a1 un an
terminus
Parādīsim, kā pielietot rakstā iepriekš minētās formulas. Sniegsim vienkāršu piemēru: aritmētiskās progresijas starpība nav zināma, jānosaka, ar ko tā būs vienāda, ja a13=-5, 6 un a1 =-12, 1.
Tā kā mēs zinām divu skaitliskās secības elementu vērtības un viens no tiem ir pirmais skaitlis, mēs varam izmantot formulu Nr. 2, lai noteiktu atšķirību d. Mums ir: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Izteiksmē mēs izmantojām vērtību n=13, jo dalībnieks ar šo sērijas numuru ir zināms.
Iegūtā atšķirība norāda, ka progresija palielinās, neskatoties uz to, ka problēmas nosacījumā norādītajiem elementiem ir negatīva vērtība. Var redzēt, ka a13>a1, lai gan |a13|<|a 1 |.
2. piemērs. Pozitīvie progresijas dalībnieki piemērā 1
Izmantosim iepriekšējā piemērā iegūto rezultātu jaunas problēmas risināšanai. To formulē šādi: no kāda kārtas numura progresijas elementi piemērā 1 sāk iegūt pozitīvas vērtības?
Kā parādīts, progresija, kurā a1=-12, 1 un d=0. 54167 palielinās, tāpēc no kāda skaitļa skaitļi sāks iegūt tikai pozitīvu vērtības. Lai noteiktu šo skaitli n, ir jāatrisina vienkārša nevienādība, kas irmatemātiski uzrakstīts šādi: a >0 vai, izmantojot atbilstošu formulu, pārraksta nevienādību: a1 + (n-1)d>0. Jāatrod nezināmais n, izteiksim to: n>-1a1/d + 1. Tagad atliek aizvietot zināmās starpības vērtības un pirmo dalībnieku no secības. Mēs iegūstam: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 vai n>23, 338. Tā kā n var ņemt tikai veselus skaitļus, no iegūtās nevienādības izriet, ka jebkurš sērijas locekļi, kas Ja skaitlis ir lielāks par 23, tas būs pozitīvs.
Pārbaudiet savu atbildi, izmantojot iepriekš minēto formulu, lai aprēķinātu šīs aritmētiskās progresijas 23. un 24. elementu. Mums ir: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negatīvs skaitlis); a24=-12, 1 + 230. 54167=0, 3584 (pozitīvā vērtība). Tādējādi iegūtais rezultāts ir pareizs: sākot no n=24, visi skaitļu sērijas dalībnieki būs lielāki par nulli.
3. piemērs. Cik baļķu derēs?
Atklāsim vienu kuriozu problēmu: mežizstrādes laikā tika nolemts zāģētos baļķus sakraut vienu uz otra, kā parādīts attēlā zemāk. Cik daudz baļķu var sakraut šādā veidā, zinot, ka kopā ietilps 10 rindas?
Šādā baļķu sakraušanas veidā var pamanīt vienu interesantu lietu: katrā nākamajā rindā būs par vienu baļķi mazāk nekā iepriekšējā, tas ir, ir algebriskā progresija, kuras starpība ir d=1. Pieņemot, ka žurnālu skaits katrā rindā ir šīs progresijas dalībnieks,un arī ņemot vērā, ka a1=1 (tikai viens baļķis ietilps pašā augšā), mēs atrodam skaitli a10. Mums ir: a10=1 + 1(10-1)=10. Tas ir, 10. rindā, kas atrodas uz zemes, būs 10 baļķi.
Šīs "piramīdas" konstrukcijas kopējo apjomu var iegūt, izmantojot Gausa formulu. Mēs iegūstam: S10=10/2(10+1)=55 žurnāli.
