Rakstā, kas tika pievērsta jūsu uzmanībai, mēs piedāvājam matemātisko modeļu piemērus. Turklāt mēs pievērsīsim uzmanību modeļu izveides posmiem un analizēsim dažus uzdevumus, kas saistīti ar matemātisko modelēšanu.
Vēl viens no mūsu jautājumiem ir par matemātiskajiem modeļiem ekonomikā, piemēriem, kuru definīciju aplūkosim nedaudz vēlāk. Mēs ierosinām sarunu sākt ar pašu “modeļa” jēdzienu, īsi apsvērt to klasifikāciju un pāriet pie mūsu galvenajiem jautājumiem.
Jēdziens "modelis"
Mēs bieži dzirdam vārdu "modelis". Kas tas ir? Šim terminam ir daudz definīciju, šeit ir tikai trīs no tām:
- konkrēts objekts, kas izveidots, lai saņemtu un uzglabātu informāciju, atspoguļojot dažas šī objekta oriģināla īpašības vai raksturlielumus utt. (šo konkrēto objektu var izteikt dažādās formās: mentālā, apraksta, izmantojot zīmes, un tā tālāk);
- modelis nozīmē arī jebkuras konkrētas situācijas, dzīves vaivadības;
- modelis var kalpot kā jebkura objekta samazināta kopija (tie ir izveidoti sīkākai izpētei un analīzei, jo modelis atspoguļo struktūru un attiecības).
Pamatojoties uz visu iepriekš teikto, varam izdarīt nelielu secinājumu: modelis ļauj detalizēti izpētīt sarežģītu sistēmu vai objektu.
Visus modeļus var klasificēt pēc vairākiem kritērijiem:
- pēc izmantošanas jomas (izglītības, eksperimentālie, zinātniskie un tehniskie, spēļu, simulācijas);
- pēc dinamikas (statiskā un dinamiskā);
- pa zināšanu nozarēm (fizikālās, ķīmiskās, ģeogrāfiskās, vēsturiskās, socioloģiskās, ekonomiskās, matemātiskās);
- prezentācijas veidā (materiāli un informatīvi).
Informācijas modeļi savukārt tiek iedalīti zīmju un verbālos. Un ikoniski - datorā un bez datora. Tagad pāriesim pie detalizēta matemātiskā modeļa piemēru izskatīšanas.
Matemātiskais modelis
Kā jūs varētu nojaust, matemātiskais modelis atspoguļo dažas objekta vai parādības pazīmes, izmantojot īpašus matemātiskos simbolus. Matemātika ir nepieciešama, lai modelētu apkārtējās pasaules modeļus savā konkrētajā valodā.
Matemātiskās modelēšanas metode radās diezgan sen, pirms tūkstošiem gadu, līdz ar šīs zinātnes parādīšanos. Taču impulsu šīs modelēšanas metodes attīstībai deva datoru (elektronisko datoru) parādīšanās.
Tagad pāriesim pie klasifikācijas. To var veikt arī pēc dažām pazīmēm. Viņi irir parādīti zemāk esošajā tabulā.
| Klasifikācija pēc zinātnes nozarēm | Matemātisko modeļu pielietošana fizikā, socioloģijā, ķīmijā un tā tālāk |
| Saskaņā ar modelēšanas procesā izmantoto matemātisko aparātu | Modeļi, kuru pamatā ir diferenciālvienādojumi, diskrētas algebriskas transformācijas un tamlīdzīgi |
| Modelējot mērķus | Saskaņā ar šo principu ir aprakstošie, optimizācijas, daudzkritēriju, spēļu un simulācijas modeļi |
Iesakām apstāties un sīkāk aplūkot pēdējo klasifikāciju, jo tā atspoguļo vispārējos modelēšanas modeļus un veidojamo modeļu mērķus.
Aprakstošie modeļi
Šajā nodaļā mēs piedāvājam sīkāk pakavēties pie aprakstošajiem matemātiskajiem modeļiem. Lai viss būtu ļoti skaidrs, tiks dots piemērs.
Sākumā šo skatu var saukt par aprakstošu. Tas ir saistīts ar to, ka mēs tikai veicam aprēķinus un prognozes, bet nekādi nevaram ietekmēt pasākuma iznākumu.
Spilgts aprakstoša matemātiskā modeļa piemērs ir mūsu Saules sistēmas plašumos iebrukušās komētas lidojuma trajektorijas, ātruma un attāluma no Zemes aprēķins. Šis modelis ir aprakstošs, jo visi iegūtie rezultāti var tikai brīdināt mūs par sava veida briesmām. Diemžēl mēs nevaram ietekmēt pasākuma iznākumuVar. Tomēr, pamatojoties uz iegūtajiem aprēķiniem, ir iespējams veikt jebkādus pasākumus dzīvības glābšanai uz Zemes.
Optimizācijas modeļi
Tagad nedaudz parunāsim par ekonomiskajiem un matemātiskajiem modeļiem, kuru piemēri var būt dažādas situācijas. Šajā gadījumā mēs runājam par modeļiem, kas noteiktos apstākļos palīdz atrast pareizo atbildi. Viņiem ir jābūt dažiem parametriem. Lai tas būtu ļoti skaidrs, apsveriet piemēru no lauksaimniecības daļas.
Mums ir klēts, bet graudi ļoti ātri bojājas. Šajā gadījumā mums ir jāizvēlas pareizais temperatūras režīms un jāoptimizē uzglabāšanas process.
Tādējādi mēs varam definēt jēdzienu "optimizācijas modelis". Matemātiskā nozīmē tā ir vienādojumu sistēma (gan lineāra, gan ne), kuras risinājums palīdz atrast optimālo risinājumu konkrētajā ekonomiskajā situācijā. Esam apsvēruši matemātiskā modeļa (optimizācijas) piemēru, bet es vēlos piebilst: šis tips pieder pie ekstrēmo problēmu klases, tās palīdz raksturot ekonomiskās sistēmas darbību.
Ņemiet vērā vēl vienu niansi: modeļi var būt dažāda rakstura (skatiet tabulu zemāk).
| deterministisks | Šajā gadījumā rezultāts ir atkarīgs no ievades datiem |
| stohastisks | Nejaušo procesu apraksts. Šajā gadījumā rezultāts paliek nenoteikts |
Daudzkritēriju modeļi
Tagad mēs aicinām jūs mazliet parunāt pardaudzmērķu optimizācijas matemātiskais modelis. Pirms tam mēs sniedzām matemātiskā modeļa piemēru procesa optimizēšanai pēc jebkura kritērija, bet ja to ir daudz?
Spilgts daudzkritēriju uzdevuma piemērs ir pareiza, veselīga un tajā pašā laikā ekonomiska uztura organizēšana lielām cilvēku grupām. Šādus uzdevumus bieži var atrast armijā, skolu ēdnīcās, vasaras nometnēs, slimnīcās un tā tālāk.
Kādi kritēriji tiek doti šai problēmai?
- Ēdienam jābūt veselīgam.
- Tēriņi pārtikai jāsamazina līdz minimumam.
Kā redzat, šie mērķi nemaz nesakrīt. Tas nozīmē, ka, risinot problēmu, ir jāmeklē optimālais risinājums, līdzsvars starp diviem kritērijiem.
Spēļu modeļi
Runājot par spēļu modeļiem, ir jāsaprot jēdziens "spēles teorija". Vienkārši sakot, šie modeļi atspoguļo reālu konfliktu matemātiskos modeļus. Vienkārši ņemiet vērā, ka atšķirībā no reāla konflikta spēles matemātiskajam modelim ir savi īpaši noteikumi.
Tagad būs minimāla informācija no spēļu teorijas, kas palīdzēs saprast, kas ir spēles modelis. Un tā, modelī obligāti ir ballītes (divas vai vairākas), kuras parasti sauc par spēlētājiem.
Visiem modeļiem ir dažas īpašības.
| Priekšmeti | Spēlētāju skaits |
| Stratēģija | Iespējamo darbību opcijas |
| Maksājums | Konflikta iznākums (uzvar vai zaudē). |
Spēles modeli var savienot pārī vai vairākus. Ja mums ir divi subjekti, tad konflikts ir sapārots, ja vairāk - vairāki. Var atšķirt arī antagonistisku spēli, to sauc arī par nulles summas spēli. Šis ir modelis, kurā viena dalībnieka ieguvums ir vienāds ar otra dalībnieka zaudējumiem.
Simulācijas modeļi
Šajā sadaļā mēs pievērsīsim uzmanību simulācijas matemātiskajiem modeļiem. Uzdevumu piemēri:
- mikroorganismu skaita dinamikas modelis;
- molekulu kustības modelis un tā tālāk.
Šajā gadījumā mēs runājam par modeļiem, kas ir pēc iespējas tuvāki reāliem procesiem. Kopumā tie atdarina jebkuru izpausmi dabā. Pirmajā gadījumā, piemēram, mēs varam modelēt skudru skaita dinamiku vienā kolonijā. Šajā gadījumā jūs varat novērot katra indivīda likteni. Šajā gadījumā matemātiskais apraksts tiek izmantots reti, biežāk ir rakstiski nosacījumi:
- pēc piecām dienām mātīte dēj olas;
- 20 dienas vēlāk skudra nomirst un tā tālāk.
Tādējādi simulācijas modeļi tiek izmantoti, lai aprakstītu lielu sistēmu. Matemātiskais secinājums ir saņemto statistikas datu apstrāde.
Prasības
Ļoti svarīgiņemiet vērā, ka šāda veida modeļiem ir noteiktas prasības, tostarp tās, kas norādītas tālāk esošajā tabulā.
| Daudzpusība | Šis rekvizīts ļauj izmantot vienu un to pašu modeli, aprakstot viena veida objektu grupas. Ir svarīgi atzīmēt, ka universālie matemātiskie modeļi ir pilnīgi neatkarīgi no pētāmā objekta fiziskās dabas |
| Atbilstība | Šeit ir svarīgi saprast, ka šī īpašība ļauj pēc iespējas precīzāk reproducēt reālus procesus. Darbības uzdevumos šī matemātiskās modelēšanas īpašība ir ļoti svarīga. Modeļa piemērs ir gāzes sistēmas izmantošanas optimizācijas process. Šajā gadījumā tiek salīdzināti aprēķinātie un faktiskie rādītāji, kā rezultātā tiek pārbaudīta sastādītā modeļa pareizība |
| Precizitāte | Šī prasība nozīmē to vērtību sakritību, kuras mēs iegūstam, aprēķinot matemātisko modeli un mūsu reālā objekta ievades parametrus |
| Ekonomika | Jebkura matemātiskā modeļa izmaksu efektivitātes prasību raksturo ieviešanas izmaksas. Ja darbs ar modeli tiek veikts manuāli, tad, izmantojot šo matemātisko modeli, ir jāaprēķina, cik daudz laika prasīs vienas problēmas atrisināšana. Ja mēs runājam par datorizētu projektēšanu, tad tiek aprēķināti laika un datora atmiņas izmaksu rādītāji |
Posmimodelēšana
Kopumā matemātiskajā modelēšanā pieņemts izšķirt četrus posmus.
- Formulējiet likumus, kas saista modeļa daļas.
- Matemātisko problēmu izpēte.
- Praktisko un teorētisko rezultātu sakritības noskaidrošana.
- Modeļa analīze un modernizācija.
Ekonomiskais un matemātiskais modelis
Šajā sadaļā īsi akcentēsim ekonomisko un matemātisko modeļu jautājumu. Uzdevumu piemēri:
- gaļas produktu ražošanas ražošanas programmas veidošana, nodrošinot maksimālu ražošanas peļņu;
- maksimizēt organizācijas peļņu, aprēķinot optimālo galdu un krēslu skaitu, ko ražot mēbeļu rūpnīcā, un tā tālāk.
Ekonomikas matemātiskais modelis parāda ekonomisko abstrakciju, kas tiek izteikta, izmantojot matemātiskus terminus un zīmes.
Datora matemātiskais modelis
Datora matemātiskā modeļa piemēri ir:
- hidraulikas problēmas, izmantojot blokshēmas, diagrammas, tabulas un tā tālāk;
- problēmas ar cieto mehāniku un tā tālāk.
Datormodelis ir objekta vai sistēmas attēls, kas attēlots kā:
- galdi;
- plūsmas diagrammas;
- diagrammas;
- grafika un tā tālāk.
Tajā pašā laikā šis modelis atspoguļo sistēmas struktūru un savstarpējos savienojumus.
Ekonomiski matemātiskā modeļa izveide
Mēs jau runājām par to, kas ir ekonomisksmatemātiskais modelis. Problēmas risināšanas piemērs tiks apsvērts tieši tagad. Mums ir jāanalizē ražošanas programma, lai identificētu rezervi peļņas palielināšanai ar sortimenta maiņu.
Mēs pilnībā neizskatīsim problēmu, bet tikai izveidosim ekonomisko un matemātisko modeli. Mūsu uzdevuma kritērijs ir peļņas maksimizēšana. Tad funkcijai ir forma: Л=р1х1+р2х2… tiecas uz maksimumu. Šajā modelī p ir peļņa uz vienību, x ir saražoto vienību skaits. Tālāk, pamatojoties uz konstruēto modeli, nepieciešams veikt aprēķinus un apkopot.
Vienkārša matemātiska modeļa izveides piemērs
Uzdevums. Zvejnieks atgriezās ar šādu lomu:
- 8 zivis - ziemeļu jūru iemītnieki;
- 20% no nozvejas - dienvidu jūru iedzīvotāji;
- no vietējās upes netika atrasta neviena zivs.
Cik zivju viņš nopirka veikalā?
Tātad, šīs problēmas matemātiskā modeļa izveides piemērs ir šāds. Kopējo zivju skaitu apzīmējam ar x. Ievērojot nosacījumu, 0,2x ir dienvidu platuma grādos dzīvojošo zivju skaits. Tagad apvienojam visu pieejamo informāciju un iegūstam uzdevuma matemātisko modeli: x=0, 2x+8. Atrisinām vienādojumu un saņemam atbildi uz galveno jautājumu: viņš veikalā nopirka 10 zivis.
