Lai lasītājam būtu vieglāk iedomāties, kas ir hiperboloīds - trīsdimensiju objekts -, vispirms jāņem vērā tāda paša nosaukuma izliektā hiperbola, kas iekļaujas divdimensiju telpā.
Hiperbolai ir divas asis: reālā, kas šajā attēlā sakrīt ar abscisu asi, un iedomātā ar y asi. Ja jūs garīgi sākat griezt hiperbolas vienādojumu ap tā iedomāto asi, tad virsma, kas "redzama" pēc līknes, būs vienas lapas hiperboloīds.
Ja mēs tomēr sāksim šādi griezt hiperbolu ap tās reālo asi, tad katra no divām līknes "pusēm" veidos savu atsevišķu virsmu, un kopā tā tiks saukta par divu- lokšņu hiperboloīds.
Iegūst, pagriežot atbilstošo plaknes līkni, tos attiecīgi sauc par rotācijas hiperboloīdiem. Viņiem ir parametri visos virzienos, kas ir perpendikulāri rotācijas asij,kas pieder pie pagrieztās līknes. Kopumā tas tā nav.
Hiperboloīda vienādojums
Kopumā virsmu var definēt ar šādiem vienādojumiem Dekarta koordinātēs (x, y, z):
Apgriezienu hiperboloīda gadījumā tā simetrija pret asi, ap kuru tas griezās, tiek izteikta koeficientu vienādībā a=b.
Hiperboloīdu raksturojums
Viņam ir viltība. Mēs zinām, ka plaknes līknēm ir fokusa vietas - piemēram, hiperbolas gadījumā attāluma starpības modulis no patvaļīga hiperbolas punkta līdz vienam fokusam un otrajam ir nemainīgs pēc definīcijas, faktiski fokuss. punkti.
Pārvietojoties uz trīsdimensiju telpu, definīcija praktiski nemainās: perēkļi atkal ir divi punkti, un attālumu starpība no tiem līdz patvaļīgam punktam, kas pieder pie hiperboloīda virsmas, ir nemainīga. Kā redzat, no izmaiņām visiem iespējamajiem punktiem parādījās tikai trešā koordināte, jo tagad tie ir iestatīti telpā. Vispārīgi runājot, fokusa noteikšana ir līdzvērtīga līknes vai virsmas veida noteikšanai: runājot par to, kā virsmas punkti atrodas attiecībā pret perēkļiem, mēs patiesībā atbildam uz jautājumu, kas ir hiperboloīds un kā tas izskatās.
Ir vērts atcerēties, ka hiperbolai ir asimptotes - taisnas līnijas, uz kurām tās zari tiecas līdz bezgalībai. Ja, konstruējot revolūcijas hiperboloīdu, garīgi rotē asimptotus kopā ar hiperbolu, tad papildus hiperboloīdam iegūs arī konusu, ko sauc par asimptotisko. Asimptotiskais konuss irvienas lapas un divu lapu hiperboloīdiem.
Vēl viena svarīga īpašība, kas piemīt tikai vienas lapas hiperboloīdam, ir taisnvirziena ģeneratori. Kā norāda nosaukums, tās ir līnijas, un tās pilnībā atrodas uz noteiktas virsmas. Divi taisni ģeneratori iet cauri katram vienas lapas hiperboloīda punktam. Tās pieder attiecīgi divām līniju ģimenēm, kuras apraksta ar šādām vienādojumu sistēmām:
Tādējādi vienas lapas hiperboloīds var pilnībā sastāvēt no bezgalīgi daudzām divu ģimeņu taisnēm, un katra no tām krustosies ar visām otras līnijas līnijām. Virsmas, kas atbilst šādām īpašībām, sauc par noregulētām; tos var konstruēt, izmantojot vienas taisnes rotāciju. Definīcija, izmantojot līniju (taisnvirziena ģeneratoru) savstarpēju izvietojumu telpā, var kalpot arī kā nepārprotams apzīmējums tam, kas ir hiperboloīds.
Interesantas hiperboloīda īpašības
Otrās kārtas līknēm un tām atbilstošajām apgriezienu virsmām ir interesantas optiskās īpašības, kas saistītas ar fokusiem. Hiperboloīda gadījumā to formulē šādi: ja stars tiek izšauts no viena fokusa, tad, atstarojoties no tuvākās "sienas", tas uzņems tādu virzienu, it kā nāktu no otrā fokusa.
Hiperboloīdi dzīvē
Visticamāk, lielākā daļa lasītāju iepazīšanos ar analītisko ģeometriju un otrās kārtas virsmām sāka no Alekseja Tolstoja zinātniskās fantastikas romāna."Hiperboloīdu inženieris Garins". Taču pats rakstnieks vai nu labi nezināja, kas ir hiperboloīds, vai arī upurēja precizitāti mākslinieciskuma dēļ: aprakstītais izgudrojums pēc fizikālajām īpašībām drīzāk ir paraboloīds, kas savāc visus starus vienā fokusā (kamēr hiperboloīda optiskās īpašības ir saistītas ar staru izkliedi).
Tā sauktās hiperboloīdas struktūras ir ļoti populāras arhitektūrā: tās ir struktūras, kurām ir vienas loksnes hiperboloīda vai hiperbola paraboloīda forma. Fakts ir tāds, ka tikai šīm otrās kārtas apgriezienu virsmām ir taisni ģeneratori: tādējādi izliektu konstrukciju var veidot tikai no taisnām sijām. Šādu konstrukciju priekšrocības ir spēja izturēt lielas slodzes, piemēram, no vēja: hiperboloīda forma tiek izmantota augstu konstrukciju, piemēram, televīzijas torņu, būvē.
