Kājas un hipotenūza ir taisnleņķa trīsstūra malas. Pirmie ir segmenti, kas atrodas blakus taisnajam leņķim, un hipotenūza ir figūras garākā daļa un atrodas pretī leņķim 90o. Pitagora trīsstūris ir tāds, kura malas ir vienādas ar naturāliem skaitļiem; to garumus šajā gadījumā sauc par "Pitagora trīskāršu".
Ēģiptes trīsstūris
Lai pašreizējā paaudze apgūtu ģeometriju tādā formā, kādā to tagad māca skolā, tā ir veidojusies vairākus gadsimtus. Pamatpunkts ir Pitagora teorēma. Taisnleņķa trijstūra malas (figūra ir zināma visā pasaulē) ir 3, 4, 5.
Tikai daži cilvēki nav pazīstami ar frāzi "Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos." Tomēr teorēma patiesībā izklausās šādi: c2 (hipotenūzas kvadrāts)=a2+b2(kvadrātu pēdu summa).
Matemātiķu vidū trīsstūri ar malām 3, 4, 5 (cm, m utt.) sauc par "Ēģipti". Interesanti, ka apļa rādiuss, kas ierakstīts attēlā, ir vienāds ar vienu. Nosaukums radies aptuveni 5. gadsimtā pirms mūsu ēras, kad grieķu filozofi devās uz Ēģipti.
Būvējot piramīdas, arhitekti un mērnieki izmantoja attiecību 3:4:5. Šādas konstrukcijas izrādījās proporcionālas, acij tīkamas un ietilpīgas, kā arī reti sabrukušas.
Lai izveidotu taisnu leņķi, celtnieki izmantoja virvi, uz kuras tika piesieti 12 mezgli. Šajā gadījumā taisnleņķa trīsstūra izveidošanas iespējamība palielinājās līdz 95%.
Vienādu skaitļu zīmes
- Ass leņķis taisnleņķa trijstūrī un liela mala, kas vienādi ar vienādiem elementiem otrajā trijstūrī, ir neapstrīdama figūru vienlīdzības zīme. Ņemot vērā leņķu summu, ir viegli pierādīt, ka arī otrie asie leņķi ir vienādi. Tādējādi trijstūri otrajā pazīmē ir identiski.
- Kad divas figūras ir uzliktas viena uz otras, pagrieziet tās tā, lai tās kopā kļūtu par vienu vienādsānu trīsstūri. Atbilstoši tās īpašībām malas vai, pareizāk sakot, hipotenūzas ir vienādas, tāpat kā leņķi pie pamatnes, kas nozīmē, ka šie skaitļi ir vienādi.
Ar pirmo zīmi ir ļoti viegli pierādīt, ka trijstūri patiešām ir vienādi, galvenais, lai abas mazākās malas (t.i., kājas) ir vienādas viena ar otru.
Trijstūri būs vienādi II pazīmē, kuras būtība ir kājas un asā leņķa vienādība.
Trijstūra ar taisnleņķi īpašības
No taisnā leņķa pazeminātais augstums sadala figūru divās vienādās daļās.
Taisnleņķa trijstūra malas un tā mediānu ir viegli atpazīt pēc likuma: mediāna, kas nolaista līdz hipotenūzai, ir vienāda ar pusi no tās. Figūras laukumu var atrast gan pēc Herona formulas, gan pēc apgalvojuma, ka tas ir vienāds ar pusi no kāju reizinājuma.
Taisnstūra trīsstūrī leņķu īpašības pie 30o, 45o un 60o.
- Ar leņķi, kas ir 30o, atcerieties, ka pretējā kāja būs vienāda ar 1/2 no lielākās malas.
- Ja leņķis ir 45o, tad arī otrais asais leņķis ir 45o. Tas liek domāt, ka trīsstūris ir vienādsānu un tā kājas ir vienādas.
- Leņķa 60o īpašība ir tāda, ka trešā leņķa pakāpe ir 30o.
Apgabalu ir viegli noskaidrot, izmantojot vienu no trim formulām:
- caur augstumu un malu, uz kuras tas krīt;
- pēc Herona formulas;
- uz sāniem un leņķi starp tām.
Taisnleņķa trīsstūra malas vai, pareizāk sakot, kājas saplūst ar diviem augstumiem. Lai atrastu trešo, jāņem vērā iegūtais trīsstūris un pēc tam, izmantojot Pitagora teorēmu, jāaprēķina nepieciešamais garums. Papildus šai formulai ir arī divkārša laukuma un hipotenūzas garuma attiecība. Skolēnu vidū visizplatītākā izteiksme ir pirmā, jo tā prasa mazāk aprēķinu.
Teorēmas, kas piemērotas taisnstūrimtrīsstūris
Taisnstūra trīsstūra ģeometrijā ir izmantotas tādas teorēmas kā:
- Pitagora teorēma. Tās būtība slēpjas faktā, ka hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. Eiklīda ģeometrijā šī attiecība ir galvenā. Formulu var izmantot, ja ir dots trīsstūris, piemēram, SNH. SN ir hipotenūza, un tā ir jāatrod. Tad SN2=NH2+HS2.
- Kosinusa teorēma. Vispārina Pitagora teorēmu: g2=f2+s2-2fscos leņķim starp tiem. Piemēram, ņemot vērā trīsstūri DOB. Kāja DB un hipotenūza DO ir zināmas, nepieciešams atrast OB. Tad formula iegūst šādu formu: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos leņķis D. Ir trīs sekas: trijstūra leņķis būs akūts, ja no abu malu kvadrātu summas atņem trešdaļas garuma kvadrātu, rezultātam jābūt mazākam par nulli. Leņķis ir neass, ja šī izteiksme ir lielāka par nulli. Leņķis ir taisns leņķis, ja tas ir vienāds ar nulli.
- Sine teorēma. Tas parāda malu attiecības ar pretējiem leņķiem. Citiem vārdiem sakot, tā ir malu garuma attiecība pret pretējo leņķu sinusiem. Trijstūrī HFB, kur hipotenūza ir HF, būs taisnība: HF/leņķa sin B=FB/leņķa H=HB/leņķa F sin.
