Pitagors apgalvoja, ka skaitlis ir pasaules pamatā kopā ar pamatelementiem. Platons uzskatīja, ka skaitlis savieno fenomenu un nomenonu, palīdzot izzināt, izmērīt un izdarīt secinājumus. Aritmētika cēlies no vārda "aritmoss" - skaitlis, pirmsākumu sākums matemātikā. Tas var aprakstīt jebkuru objektu - no elementāra ābola līdz abstraktām telpām.
Vajadzības kā attīstības faktors
Sabiedrības veidošanās sākumposmā cilvēku vajadzības aprobežojās ar nepieciešamību skaitīt - viens graudu maiss, divi graudu maisi utt.. Tam pietika ar naturālajiem skaitļiem, kuru kopa ir bezgalīga pozitīva veselu skaitļu secība N.
Vēlāk, matemātikai kā zinātnei attīstoties, radās nepieciešamība pēc atsevišķa veselo skaitļu Z lauka - tajā ir ietvertas negatīvās vērtības un nulles. Tās parādīšanos mājsaimniecības līmenī izraisīja fakts, ka primārajā grāmatvedībā bija kaut kā jālaboparādi un zaudējumi. Zinātniskā līmenī negatīvi skaitļi ir ļāvuši atrisināt vienkāršākos lineāros vienādojumus. Cita starpā tagad ir kļuvis iespējams izveidot triviālu koordinātu sistēmu, jo ir parādījies atskaites punkts.
Nākamais solis bija nepieciešamība ieviest daļskaitļus, jo zinātne nestāvēja uz vietas, arvien vairāk atklājumu prasīja teorētisku bāzi jaunam izaugsmes stimulam. Šādi parādījās racionālo skaitļu lauks Q.
Beidzot racionalitāte pārstāja apmierināt pieprasījumus, jo visi jaunie secinājumi prasīja pamatojumu. Parādījās reālo skaitļu lauks R, Eiklida darbi par noteiktu lielumu nesamērojamību to iracionalitātes dēļ. Tas ir, senie grieķu matemātiķi pozicionēja skaitli ne tikai kā konstanti, bet arī kā abstraktu lielumu, ko raksturo nesamērojamo lielumu attiecība. Sakarā ar to, ka parādījās reāli skaitļi, tādi lielumi kā "pi" un "e" "redzēja gaismu", bez kuriem mūsdienu matemātika nevarētu iztikt.
Pēdējais jauninājums bija kompleksais skaitlis C. Tas atbildēja uz vairākiem jautājumiem un atspēkoja iepriekš ieviestos postulātus. Pateicoties algebras straujajai attīstībai, rezultāts bija paredzams – ar reāliem skaitļiem daudzu uzdevumu risināšana nebija iespējama. Piemēram, pateicoties kompleksajiem skaitļiem, stīgu un haosa teorija izcēlās, un hidrodinamikas vienādojumi paplašinājās.
Kopu teorija. Kantors
Bezgalības jēdziens visos laikosizraisīja strīdus, jo to nevarēja ne pierādīt, ne atspēkot. Visskaidrāk tas izpaudās matemātikas kontekstā, kas darbojās ar stingri pārbaudītiem postulātiem, jo īpaši tāpēc, ka zinātnē joprojām bija teoloģiskais aspekts.
Tomēr, pateicoties matemātiķa Georga Kantora darbam, laika gaitā viss nostājās savās vietās. Viņš pierādīja, ka ir bezgalīgi daudz bezgalīgu kopu un ka lauks R ir lielāks par lauku N, pat ja tām abām nav gala. 19. gadsimta vidū viņa idejas skaļi sauca par blēņām un noziegumu pret klasiskajiem, nesatricināmiem kanoniem, taču laiks visu salika savās vietās.
Lauka pamatīpašības R
Reāliem skaitļiem ir ne tikai tādas pašas īpašības kā tajos iekļautajām apakškopām, bet to elementu mēroga dēļ tos papildina arī citi:
- Nulle pastāv un pieder laukam R. c + 0=c jebkuram c no R.
- Nulle pastāv un pieder laukam R. c x 0=0 jebkuram c no R.
- Attiecība c: d d ≠ 0 pastāv un ir derīga jebkuram c, d no R.
- Lauks R ir sakārtots, tas ir, ja c ≦ d, d ≦ c, tad c=d jebkuram c, d no R.
- Papildinājums laukā R ir komutatīva, t.i., c + d=d + c jebkuram c, d no R.
- Reizināšana laukā R ir komutatīva, t.i., c x d=d x c jebkuram c, d no R.
- Papildinājums laukā R ir asociatīvs, t.i., (c + d) + f=c + (d + f) jebkuram c, d, f no R.
- Reizināšana laukā R ir asociatīva, t.i., (c x d) x f=c x (d x f) jebkuram c, d, f no R.
- Katram skaitlim laukā R ir pretstats, piemēram, c + (-c)=0, kur c, -c ir no R.
- Katram skaitlim no lauka R ir tā apgrieztā vērtība, piemēram, c x c-1 =1, kur c, c-1 no R.
- Vienība pastāv un pieder R, tāpēc c x 1=c jebkuram c no R.
- Sadales likums ir spēkā, tāpēc c x (d + f)=c x d + c x f, jebkuram c, d, f no R.
- Laukā R nulle nav vienāda ar vienu.
- Lauks R ir pārejošs: ja c ≦ d, d ≦ f, tad c ≦ f jebkuram c, d, f no R.
- Laukā R secība un saskaitīšana ir saistītas: ja c ≦ d, tad c + f ≦ d + f jebkuram c, d, f no R.
- Laukā R secība un reizināšana ir saistītas: ja 0 ≦ c, 0 ≦ d, tad 0 ≦ c x d jebkuram c, d no R.
- Gan negatīvie, gan pozitīvie reālie skaitļi ir nepārtraukti, tas ir, jebkuram c, d no R ir tāds f no R, ka c ≦ f ≦ d.
Modulis laukā R
Reālie skaitļi ietver moduli.
Apzīmēts kā |f| jebkuram f no R. |f|=f, ja 0 ≦ f un |f|=-f, ja 0 > f. Ja mēs uzskatām moduli par ģeometrisku lielumu, tad tas ir nobrauktais attālums - nav nozīmes, vai jūs "nolikāt" no nulles uz mīnusu vai uz priekšu uz plusu.
Kompleksi un reāli skaitļi. Kādas ir līdzības un atšķirības?
Kopumā kompleksie un reālie skaitļi ir viens un tas pats, izņemot toiedomātā vienība i, kuras kvadrāts ir -1. Lauku R un C elementus var attēlot ar šādu formulu:
c=d + f x i, kur d, f pieder laukam R un i ir iedomātā vienība
Lai šajā gadījumā iegūtu c no R, f vienkārši tiek iestatīts vienāds ar nulli, tas ir, paliek tikai skaitļa reālā daļa. Sakarā ar to, ka komplekso skaitļu laukam ir tāda pati īpašību kopa kā reālo skaitļu laukam, f x i=0, ja f=0.
Attiecībā uz praktiskām atšķirībām, piemēram, laukā R kvadrātvienādojums netiek atrisināts, ja diskriminants ir negatīvs, savukārt lauks C šādu ierobežojumu neuzliek iedomātās vienības i ieviešanas dēļ.
Rezultāti
Aksiomu un postulātu "ķieģeļi", uz kuriem balstās matemātika, nemainās. Informācijas pieauguma un jaunu teoriju ieviešanas dēļ uz dažām no tām tiek likti šādi "ķieģeļi", kas nākotnē var kļūt par pamatu nākamajam solim. Piemēram, naturālie skaitļi, neskatoties uz to, ka tie ir reālā lauka R apakškopa, nezaudē savu aktualitāti. Uz tiem balstās visa elementārā aritmētika, ar kuru sākas cilvēka zināšanas par pasauli.
No praktiskā viedokļa reālie skaitļi izskatās kā taisna līnija. Uz tā jūs varat izvēlēties virzienu, norādīt izcelsmi un soli. Taisne sastāv no bezgalīgi daudz punktu, no kuriem katrs atbilst vienam reālam skaitlim neatkarīgi no tā, vai tas ir racionāls vai nē. No apraksta ir skaidrs, ka mēs runājam par koncepciju, uz kuras balstās gan matemātika kopumā, gan matemātiskā analīze kopumā.īpaši.
