Tiešais virziens: definīcija un piemēri

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Svarīgs ģeometrisks objekts, kas tiek pētīts plakanā telpā, ir taisna līnija. Trīsdimensiju telpā papildus taisnajai līnijai ir arī plakne. Abi objekti ir ērti definēti, izmantojot virziena vektorus. Kas tas ir, kā šie vektori tiek izmantoti, lai noteiktu taisnes un plaknes vienādojumus? Šie un citi jautājumi ir apskatīti rakstā.

Tiešā līnija un kā to definēt

Katram skolēnam ir labs priekšstats par to, par kādu ģeometrisku objektu viņš runā. No matemātikas viedokļa taisne ir punktu kopa, kas to patvaļīga pāru savienojuma gadījumā noved pie paralēlu vektoru kopas. Šī līnijas definīcija tiek izmantota, lai rakstītu tai vienādojumu gan divās, gan trīs dimensijās.

Lai aprakstītu aplūkojamo viendimensijas objektu, tiek izmantoti dažāda veida vienādojumi, kas ir uzskaitīti zemāk esošajā sarakstā:

• vispārējs skats;
• parametric;
• vektors;
• kanonisks vai simetrisks;
• segmentos.

Katrai no šīm sugām ir dažas priekšrocības salīdzinājumā ar citām. Piemēram, vienādojumu segmentos ir ērti izmantot, pētot taisnes uzvedību attiecībā pret koordinātu asīm, vispārīgs vienādojums ir ērts, meklējot virzienu, kas ir perpendikulārs dotajai taisnei, kā arī aprēķinot tās leņķi. krustojums ar x asi (plakanam korpusam).

Tā kā šī raksta tēma ir saistīta ar taisnes virziena vektoru, mēs turpmāk apskatīsim tikai vienādojumu, kurā šis vektors ir fundamentāls un ir skaidri ietverts, tas ir, vektora izteiksme.

Taisnas līnijas norādīšana caur vektoru

Pieņemsim, ka mums ir kāds vektors v¯ ar zināmām koordinātām (a; b; c). Tā kā ir trīs koordinātas, vektors ir dots telpā. Kā to attēlot taisnstūra koordinātu sistēmā? Tas tiek darīts ļoti vienkārši: uz katras no trim asīm tiek uzzīmēts segments, kura garums ir vienāds ar atbilstošo vektora koordinātu. Trīs perpendikulu krustpunkts, kas atjaunots xy, yz un xz plaknēs, būs vektora beigas. Tās sākums ir punkts (0; 0; 0).

Tomēr dotā vektora pozīcija nav vienīgā. Līdzīgi var uzzīmēt v, novietojot tā sākumu patvaļīgā telpas punktā. Šie argumenti saka, ka nav iespējams iestatīt konkrētu līniju, izmantojot vektoru. Tas definē bezgalīgi daudzu paralēlu līniju saimi.

Tagadnofiksējiet kādu atstarpes punktu P(x₀; y₀; z_{0). Un mēs uzstādām nosacījumu: taisnai līnijai jāiet cauri P. Šajā gadījumā vektoram v¯ ir jābūt arī šim punktam. Pēdējais fakts nozīmē, ka vienu līniju var definēt, izmantojot P un v¯. Tas tiks uzrakstīts kā šāds vienādojums:}

Q=P + λ × v¯

Šeit Q ir jebkurš punkts, kas pieder līnijai. Šo punktu var iegūt, izvēloties atbilstošo parametru λ. Uzrakstīto vienādojumu sauc par vektora vienādojumu, un v¯ sauc par taisnes virziena vektoru. Sakārtojot to tā, lai tas iet caur P un mainot tā garumu ar parametru λ, mēs katru Q punktu iegūstam kā taisnu līniju.

Koordinātu formā vienādojums tiks uzrakstīts šādi:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ × (a; b; c)}

Un precīzā (parametriskā) veidā varat rakstīt:

x=x_{0+ λ × a;}

y=y_{0+ λ × b;}

z=z_{0+ λ × c}

Ja iepriekš minētajās izteiksmēs izslēdzam trešo koordinātu, tad iegūstam plaknes taisnes vektora vienādojumus.

Kādiem uzdevumiem ir noderīgi zināt virziena vektoru?

Kā likums, tie ir uzdevumi, lai noteiktu līniju paralēlismu un perpendikularitāti. Arī tiešais vektors, kas nosaka virzienu, tiek izmantots, aprēķinot attālumu starp taisnēm un punktu un taisni, lai aprakstītu taisnes uzvedību attiecībā pret plakni.

Divitaisnes būs paralēlas, ja to virziena vektori ir. Attiecīgi līniju perpendikulitāte tiek pierādīta, izmantojot to vektoru perpendikularitāti. Šāda veida uzdevumos pietiek ar to, lai aprēķinātu aplūkoto vektoru skalāro reizinājumu, lai iegūtu atbildi.

Attālumu starp taisnēm un punktiem aprēķināšanas uzdevumiem virziena vektors ir skaidri iekļauts attiecīgajā formulā. Pierakstīsim:

d=|[P₁P_{2¯ × v¯] | / |v¯|}

Šeit P₁P₂¯ - balstās uz punktiem P₁ un P ₂ virzīts segments. Punkts P₂ ir patvaļīgs, kas atrodas uz taisnes ar vektoru v¯, savukārt punkts P_{1 ir tas, līdz kuram attālumam jābūt. būt noteiktam. Tas var būt neatkarīgs vai piederēt citai līnijai vai plaknei.}

Ņemiet vērā, ka ir lietderīgi aprēķināt attālumu starp līnijām tikai tad, ja tās ir paralēlas vai krustojas. Ja tie krustojas, d ir nulle.

Iepriekš minētā formula d ir derīga arī attāluma aprēķināšanai starp plakni un tai paralēlu taisni, tikai šajā gadījumā P_{1jāpieder plaknei.}

Atrisināsim vairākas problēmas, lai labāk parādītu, kā izmantot aplūkojamo vektoru.

Vektoru vienādojuma problēma

Ir zināms, ka taisni raksturo šāds vienādojums:

y=3 × x - 4

Jums jāieraksta atbilstošā izteiksmevektora forma.

Šis ir tipisks taisnas līnijas vienādojums, ko zina katrs skolēns un kas uzrakstīts vispārīgā formā. Parādīsim, kā to pārrakstīt vektora formā.

Izteiksmi var attēlot šādi:

(x; y)=(x; 3 × x - 4)

Var redzēt, ka, atverot to, jūs iegūstat sākotnējo vienādību. Tagad mēs sadalām tā labo pusi divos vektoros tā, lai tikai vienā no tiem būtu x, mums ir:

(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)

Atliek izņemt x no iekavām, apzīmēt to ar grieķu simbolu un apmainīt labās puses vektorus:

(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)

Mēs ieguvām sākotnējās izteiksmes vektora formu. Taisnes virziena vektora koordinātas ir (1; 3).

Uzdevums noteikt līniju relatīvo pozīciju

Atstarpē ir norādītas divas rindas:

(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

Vai tie ir paralēli, krustojas vai krustojas?

Vektori, kas nav nulles (-1; 3; 1) un (1; 2; 0), būs šo līniju ceļveži. Izteiksim šos vienādojumus parametriskā formā un aizstāsim pirmā koordinātas ar otro. Mēs iegūstam:

x=1 - λ;

y=3 × λ;

z=-2 + λ;

x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;

y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3/2 × λ - 1;

z=2=-2 + λ=> λ=4

Aizvietojiet atrasto parametru λ divos iepriekš minētajos vienādojumos, mēs iegūstam:

γ=-2 - λ=-6;

γ=3/2 × λ - 1=5

Parametrs γ nevar vienlaikus ņemt divas dažādas vērtības. Tas nozīmē, ka līnijām nav viena kopīga punkta, tas ir, tās krustojas. Tie nav paralēli, jo vektori, kas atšķiras no nulles, nav paralēli viens otram (to paralēlismam ir jābūt skaitlim, kas, reizinot ar vienu vektoru, novestu pie otrā vektora koordinātām).

Plaknes matemātiskais apraksts

Lai iestatītu plakni telpā, mēs sniedzam vispārīgu vienādojumu:

A × x + B × y + C × z + D=0

Šeit latīņu lielie burti apzīmē konkrētus ciparus. Pirmie trīs no tiem nosaka plaknes normālā vektora koordinātas. Ja to apzīmē ar n¯, tad:

n¯=(A; B; C)

Šis vektors ir perpendikulārs plaknei, tāpēc to sauc par vadotni. Tās zināšanas, kā arī jebkura plaknei piederoša punkta zināmās koordinātas unikāli nosaka pēdējo.

Ja punkts P(x₁; y₁; z_{1) pieder plakne, tad krustpunktu D aprēķina šādi:}

D=-1 × (A × x₁+ B × y₁ + C × z₁₎

Atrisināsim pāris uzdevumus, izmantojot plaknes vispārīgo vienādojumu.

Uzdevums priekšplaknes normālā vektora atrašana

Lidmašīna ir definēta šādi:

(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1

Kā viņai atrast virziena vektoru?

No iepriekš minētās teorijas izriet, ka normālā vektora n¯ koordinātas ir koeficienti mainīgo priekšā. Šajā sakarā, lai atrastu n¯, vienādojums jāraksta vispārīgā formā. Mums ir:

1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0

Tad plaknes parastais vektors ir:

n¯=(1/3; 1/2; -1/4)

Plaknes vienādojuma sastādīšanas problēma

Trīs punktu koordinātas ir norādītas:

M_{1(1; 0; 0);}

M_{2(2; -1; 5);}

M_{3(0; -2; -2)}

Kā izskatīsies plaknes vienādojums, kurā ir visi šie punkti.

Caur trīs punktiem, kas nepieder pie vienas taisnes, var novilkt tikai vienu plakni. Lai atrastu tā vienādojumu, vispirms aprēķina plaknes n¯ virziena vektoru. Lai to izdarītu, mēs rīkojamies šādi: atrodam patvaļīgus divus vektorus, kas pieder plaknei, un aprēķinām to vektoru reizinājumu. Tas dos vektoru, kas būs perpendikulārs šai plaknei, tas ir, n¯. Mums ir:

M₁M₂¯=(1; -1; 5); M₁M_{3¯=(-1; -2; -2);}

n¯=[M₁M₂¯ × M₁M 3_{¯]=(12; -3; -3)}

Paņemiet punktu M_{1lai izdarītuplaknes izteiksmes. Mēs iegūstam:}

D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;

12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>

4 × x - y - z - 4=0

Mēs esam ieguvuši vispārīga tipa izteiksmi plaknei telpā, vispirms definējot tai virziena vektoru.

Atrisinot uzdevumus ar plaknēm, ir jāatceras šķērsprodukta īpašība, jo tā ļauj vienkāršā veidā noteikt parastā vektora koordinātas.