Iespējams, atvasinājuma jēdziens mums katram ir pazīstams kopš skolas laikiem. Parasti skolēniem ir grūtības saprast šo, bez šaubām, ļoti svarīgo lietu. To aktīvi izmanto dažādās cilvēku dzīves jomās, un daudzas inženiertehniskās izstrādes tika balstītas tieši uz matemātiskiem aprēķiniem, kas iegūti, izmantojot atvasinājumu. Bet pirms turpināt analīzi par to, kas ir skaitļu atvasinājumi, kā tos aprēķināt un kur tie mums ir noderīgi, ienirt vēsturē.
Vēsture
Atvasinājuma jēdzienu, kas ir matemātiskās analīzes pamatā, atklāja (labāk būtu teikt "izgudrots", jo dabā kā tāda tā nebija) Īzaks Ņūtons, kuru mēs visi zinām. no universālās gravitācijas likuma atklāšanas. Tieši viņš pirmo reizi izmantoja šo jēdzienu fizikā, lai saistītu ķermeņu ātruma un paātrinājuma raksturu. Un daudzi zinātnieki joprojām slavē Ņūtonu par šo lielisko izgudrojumu, jo patiesībā viņš izgudroja diferenciālskaitļa un integrālrēķina pamatu, faktiski visas matemātikas jomas, ko sauc par "rēķinu", pamatu. Ja toreiz Nobela prēmiju, Ņūtons to būtu saņēmis ar lielu varbūtību vairākas reizes.
Ne bez citiem lieliskiem prātiem. Izņemot Ņūtonupie atvasinājuma un integrāļa izstrādes strādāja tādi izcili matemātikas ģēniji kā Leonhards Eilers, Luiss Lagranžs un Gotfrīds Leibnics. Pateicoties viņiem, mēs esam saņēmuši diferenciālrēķina teoriju tādā formā, kādā tā pastāv līdz šai dienai. Starp citu, tieši Leibnics atklāja atvasinājuma ģeometrisko nozīmi, kas izrādījās nekas vairāk kā pieskares slīpuma tangenss funkcijas grafikam.
Kas ir skaitļu atvasinājumi? Nedaudz atkārtosim to, ko piedzīvojām skolā.
Kas ir atvasinājums?
Šo jēdzienu var definēt vairākos dažādos veidos. Vienkāršākais izskaidrojums ir tāds, ka atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums. Iedomājieties kādas x funkcijas y grafiku. Ja tas nav taisns, tad tam ir dažas līknes grafikā, pieauguma un samazināšanās periodi. Ja ņemam kādu bezgalīgi mazu šī grafika intervālu, tas būs taisnas līnijas segments. Tātad šī bezgalīgi mazā segmenta lieluma attiecība gar y koordinātu pret izmēru gar x koordinātu būs šīs funkcijas atvasinājums noteiktā punktā. Ja aplūkosim funkciju kopumā, nevis noteiktā punktā, tad iegūsim atvasinātu funkciju, tas ir, noteiktu y atkarību no x.
Turklāt papildus atvasinājuma fiziskajai nozīmei kā funkcijas izmaiņu ātrumam ir arī ģeometriskā nozīme. Mēs par viņu tagad runāsim.
Ģeometriskā sajūta
Paši skaitļu atvasinājumi attēlo noteiktu skaitli, kas bez pareizas izpratnes nenesnav jēgas. Izrādās, ka atvasinājums parāda ne tikai funkcijas pieauguma vai samazināšanās ātrumu, bet arī pieskares slīpuma tangensu funkcijas grafikam dotajā punktā. Ne pārāk skaidra definīcija. Analizēsim to sīkāk. Pieņemsim, ka mums ir funkcijas grafiks (intereses labad ņemsim līkni). Tam ir bezgalīgs punktu skaits, taču ir apgabali, kur tikai vienam punktam ir maksimums vai minimums. Caur jebkuru šādu punktu ir iespējams novilkt līniju, kas būtu perpendikulāra funkcijas grafikam šajā punktā. Šāda līnija tiks saukta par tangensu. Pieņemsim, ka mēs to pavadījām līdz krustojumam ar VĒRSIS asi. Tātad leņķi, kas iegūts starp tangensu un OX asi, noteiks atvasinājums. Precīzāk, šī leņķa tangenss būs vienāds ar to.
Parunāsim nedaudz par īpašiem gadījumiem un analizēsim skaitļu atvasinājumus.
Īpaši gadījumi
Kā jau teicām, skaitļu atvasinājumi ir atvasinājuma vērtības noteiktā punktā. Piemēram, ņemsim funkciju y=x2. Atvasinājums x ir skaitlis un vispārīgā gadījumā funkcija, kas vienāda ar 2x. Ja mums ir jāaprēķina atvasinājums, teiksim, punktā x0=1, tad iegūstam y'(1)=21=2. Viss ir ļoti vienkārši. Interesants gadījums ir kompleksā skaitļa atvasinājums. Mēs neiedziļināsimies sīkāk par to, kas ir kompleksais skaitlis. Teiksim tā, ka šis ir skaitlis, kas satur tā saukto iedomāto vienību – skaitli, kura kvadrāts ir -1. Šāda atvasinājuma aprēķins ir iespējams tikai tad, ja:nosacījumi:
1) Jābūt reālās un iedomātās daļas pirmās kārtas daļējiem atvasinājumiem attiecībā pret Y un X.
2) Ir izpildīti Košī-Rīmana nosacījumi, kas saistīti ar pirmajā daļā aprakstīto daļējo atvasinājumu vienādību.
Cits interesants gadījums, kaut arī ne tik sarežģīts kā iepriekšējais, ir negatīva skaitļa atvasinājums. Faktiski jebkuru negatīvu skaitli var attēlot kā pozitīvu skaitli, kas reizināts ar -1. Nu, konstantes un funkcijas atvasinājums ir vienāds ar konstanti, kas reizināta ar funkcijas atvasinājumu.
Būs interesanti uzzināt par atvasinājuma lomu ikdienas dzīvē, un par to mēs tagad runāsim.
Pieteikums
Iespējams, katrs no mums vismaz reizi dzīvē pieķer sevi pie domas, ka matemātika viņam diez vai noderēs. Un tādai sarežģītai lietai kā atvasinājums, iespējams, vispār nav pielietojuma. Faktiski matemātika ir fundamentāla zinātne, un visus tās augļus galvenokārt izstrādā fizika, ķīmija, astronomija un pat ekonomika. Atvasinājums bija sākums matemātiskajai analīzei, kas deva mums iespēju izdarīt secinājumus no funkciju grafikiem, un mēs iemācījāmies interpretēt dabas likumus un, pateicoties tam, pārvērst tos savā labā.
Secinājums
Protams, ne visiem reālajā dzīvē var būt vajadzīgs atvasinājums. Bet matemātika attīsta loģiku, kas noteikti būs vajadzīga. Ne velti matemātiku sauc par zinātņu karalieni: tā veido pamatu citu zināšanu jomu izpratnei.
