Integrāļa jēdziena rašanos noteica nepieciešamība pēc tā atvasinājuma atrast antiatvasināto funkciju, kā arī noteikt darba apjomu, komplekso figūru laukumu, nobraukto attālumu, ar parametri, kas izklāstīti ar līknēm, kas aprakstītas ar nelineārām formulām.
No kursa
un fizika zina, ka darbs ir vienāds ar spēka un attāluma reizinājumu. Ja visa kustība notiek ar nemainīgu ātrumu vai attālums tiek pārvarēts, pieliekot vienu un to pašu spēku, tad viss ir skaidrs, jums tikai tie jāreizina. Kas ir konstantes integrālis? Šī ir lineāra funkcija formā y=kx+c.
Bet spēks darba laikā var mainīties, turklāt kaut kādā dabiskā atkarībā. Tāda pati situācija rodas, aprēķinot nobraukto attālumu, ja ātrums nav nemainīgs.
Tātad, ir skaidrs, kam paredzēts integrālis. Tās definīcija kā funkciju vērtību reizinājumu summa ar bezgalīgi mazu argumenta pieaugumu pilnībā apraksta šī jēdziena galveno nozīmi kā figūras laukumu, ko no augšas ierobežo funkcijas līnija, un malas pie definīcijas robežām.
Žans Gastons Darbū, franču matemātiķis, XIX gadsimta otrajā pusēgadsimtā ļoti skaidri izskaidrots, kas ir integrālis. Viņš tik skaidri pateica, ka kopumā pat vidusskolas skolēnam nebūtu grūti saprast šo jautājumu.
Pieņemsim, ka ir jebkuras sarežģītas formas funkcija. Y ass, uz kuras ir attēlotas argumenta vērtības, ir sadalīta mazos intervālos, ideālā gadījumā tie ir bezgalīgi mazi, bet, tā kā bezgalības jēdziens ir diezgan abstrakts, pietiek iedomāties tikai mazus segmentus, vērtība no kuriem parasti apzīmē ar grieķu burtu Δ (delta).
Funkcija izrādījās "sagriezta" mazos ķieģeļos.
Katra argumenta vērtība atbilst punktam uz y ass, uz kura ir attēlotas atbilstošās funkcijas vērtības. Bet, tā kā atlasītajam apgabalam ir divas apmales, būs arī divas funkcijas vērtības, vairāk un mazāk.
Lielāku vērtību reizinājumu summu ar pieaugumu Δ sauc par lielo Darbu summu un apzīmē ar S. Attiecīgi mazākās vērtības ierobežotā apgabalā, kas reizinātas ar Δ, visas kopā veido nelielu Darboux summu s. Pati sadaļa atgādina taisnstūrveida trapecveida formu, jo funkcijas līnijas izliekumu ar tās bezgalīgi mazo pieaugumu var neņemt vērā. Vienkāršākais veids, kā atrast šādas ģeometriskas figūras laukumu, ir pievienot funkcijas lielākās un mazākās vērtības reizinājumus ar Δ inkrementu un dalīt ar divi, tas ir, noteikt to kā vidējo aritmētisko.
Tas ir Darboux integrālis:
s=Σf(x) Δ ir maza summa;
S=Σf(x+Δ)Δ ir liela summa.
Kas ir integrālis? Apgabals, ko ierobežo funkcijas līnija un definīcijas robežas, būs:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Tas ir, lielas un mazas Darboux summas.c vidējais aritmētiskais ir nemainīga vērtība, kas diferenciācijas laikā tiek iestatīta uz nulli.
Pamatojoties uz šī jēdziena ģeometrisko izteiksmi, integrāļa fiziskā nozīme kļūst skaidra. Attēla laukums, ko iezīmē ātruma funkcija un ierobežo laika intervāls gar abscisu asi, būs nobrauktā ceļa garums.
L=∫f(x)dx intervālā no t1 līdz t2, Kur
f(x) – ātruma funkcija, tas ir, formula, pēc kuras tā laika gaitā mainās;
L – ceļa garums;
t1 – sākuma laiks;
t2 - brauciena beigu laiks.
Tieši pēc tāda paša principa tiek noteikts darba apjoms, tikai attālums tiks uzzīmēts pa abscisu līniju, un katrā konkrētajā punktā pieliktā spēka apjoms tiks attēlots pa ordinātām.
