Ideālās gāzes molekulu vidējā kvadrātiskā ātruma formula. Uzdevuma piemērs

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Molekulāri kinētiskā teorija ļauj, analizējot sistēmas mikroskopisko uzvedību un izmantojot statistiskās mehānikas metodes, iegūt svarīgus termodinamiskās sistēmas makroskopiskos raksturlielumus. Viens no mikroskopiskajiem raksturlielumiem, kas ir saistīts ar sistēmas temperatūru, ir gāzes molekulu vidējais kvadrātiskais ātrums. Mēs sniedzam formulu un izskatām to rakstā.

Ideāla gāze

Mēs uzreiz atzīmējam, ka gāzes molekulu vidējā kvadrātiskā ātruma formula tiks dota īpaši ideālai gāzei. Saskaņā ar to fizikā tiek uzskatīta tāda daudzu daļiņu sistēma, kurā daļiņas (atomi, molekulas) savstarpēji mijiedarbojas (to kinētiskā enerģija pārsniedz mijiedarbības potenciālo enerģiju par vairākām kārtām) un kurām nav izmēru, tas ir, tie ir punkti ar ierobežotu masu (attālums starp daļiņām ir par vairākām kārtām lielāks par to izmēru.lineārs).

Jebkuru gāzi, kas sastāv no ķīmiski neitrālām molekulām vai atomiem un kura ir zemā spiedienā un kuras temperatūra ir augsta, var uzskatīt par ideālu. Piemēram, gaiss ir ideāla gāze, bet ūdens tvaiki vairs tādi nav (starp ūdens molekulām darbojas spēcīgas ūdeņraža saites).

Molekulārā kinētiskā teorija (MKT)

Pētot ideālu gāzi MKT ietvaros, jāpievērš uzmanība diviem svarīgiem procesiem:

1. Gāze rada spiedienu, pārnesot uz to saturošā trauka sieniņām impulsu, kad molekulas un atomi ar tām saduras. Šādas sadursmes ir ideāli elastīgas.
2. Gāzes molekulas un atomi pārvietojas nejauši visos virzienos ar dažādiem ātrumiem, kuru sadalījums atbilst Maksvela-Boltzmana statistikai. Daļiņu sadursmes iespējamība ir ārkārtīgi zema to nenozīmīgā izmēra un lielo attālumu starp tām dēļ.

Neskatoties uz to, ka atsevišķie gāzes daļiņu ātrumi ļoti atšķiras viens no otra, šīs vērtības vidējā vērtība laika gaitā paliek nemainīga, ja uz sistēmu nav ārējas ietekmes. Gāzes molekulu vidējā kvadrātā ātruma formulu var iegūt, ņemot vērā attiecības starp kinētisko enerģiju un temperatūru. Šo problēmu apskatīsim nākamajā raksta rindkopā.

Ideālās gāzes molekulu vidējā kvadrātiskā ātruma formulas atvasinājums

Katrs students no vispārējā fizikas kursa zina, ka ķermeņa ar masu m translācijas kustības kinētiskā enerģija tiek aprēķināta šādi:

E_k=mv²/2

Kur v ir lineārais ātrums. No otras puses, daļiņas kinētisko enerģiju var noteikt arī absolūtās temperatūras T izteiksmē, izmantojot konversijas koeficientu k_B (Bolcmaņa konstante). Tā kā mūsu telpa ir trīsdimensiju, E_k aprēķina šādi:

E_k=3/2k_BT.

Ekvivalenti abām vienādībām un izsakot no tām v, iegūstam kvadrātiskās ideālās gāzes vidējā ātruma formulu:

mv²/2=3/2k_BT=>

v=√(3k_BT/m).

Šajā formulā m ir gāzes daļiņas masa. Tās vērtību ir neērti izmantot praktiskos aprēķinos, jo tā ir maza (≈ 10^-27kg). Lai izvairītos no šīm neērtībām, atcerēsimies universālo gāzes konstanti R un molāro masu M. Konstante R ar k_B ir saistīta ar vienādību:

k_B=R/N_A.

M vērtība ir definēta šādi:

M=mN_A.

Ņemot vērā abas vienādības, mēs iegūstam šādu molekulu vidējā kvadrātiskā ātruma izteiksmi:

v=√(3RT/M).

Tādējādi gāzes daļiņu vidējais kvadrātiskais ātrums ir tieši proporcionāls absolūtās temperatūras kvadrātsaknei un apgriezti proporcionāls molārās masas kvadrātsaknei.

Problēmu risināšanas piemērs

Ikviens zina, ka gaiss, ko elpojam, 99% sastāv no slāpekļa un skābekļa. Nepieciešams noteikt molekulu N₂ un O₂ vidējo ātrumu atšķirības 15 ^{o temperatūrā.} C.

Šī problēma tiks atrisināta secīgi. Pirmkārt, mēs pārvēršam temperatūru absolūtās vienībās, mums ir:

T=273, 15 + 15=288, 15 K.

Tagad pierakstiet katras aplūkojamās molekulas molārās masas:

M_N2=0,028 kg/mol;

M_O2=0,032 kg/mol.

Tā kā molmasu vērtības nedaudz atšķiras, tad arī to vidējiem ātrumiem tajā pašā temperatūrā jābūt tuvu. Izmantojot formulu v, mēs iegūstam šādas vērtības slāpekļa un skābekļa molekulām:

v (N₂)=√ (38, 314288, 15/0, 028)=506,6 m/s;

v (O₂)=√ (38, 314288, 15/0, 032)=473,9 m/s.

Tā kā slāpekļa molekulas ir nedaudz vieglākas par skābekļa molekulām, tās pārvietojas ātrāk. Vidējā ātruma atšķirība ir:

v (N₂) - v (O₂)=506,6 - 473,9=32,7 m/s.

Iegūtā vērtība ir tikai 6,5% no slāpekļa molekulu vidējā ātruma. Mēs vēršam uzmanību uz lielajiem molekulu ātrumiem gāzēs pat zemā temperatūrā.