Pētot gāzu uzvedību fizikā, nereti rodas problēmas noteikt tajās uzkrāto enerģiju, kuru teorētiski var izmantot kādu lietderīgu darbu veikšanai. Šajā rakstā mēs apskatīsim jautājumu par to, kādas formulas var izmantot, lai aprēķinātu ideālās gāzes iekšējo enerģiju.
Ideālas gāzes jēdziens
Skaidra izpratne par ideālās gāzes jēdzienu ir svarīga, risinot problēmas ar sistēmām šādā agregācijas stāvoklī. Jebkurai gāzei ir tāda trauka forma un tilpums, kurā tā ir ievietota, tomēr ne katra gāze ir ideāla. Piemēram, gaisu var uzskatīt par ideālu gāzu maisījumu, bet ūdens tvaikus ne. Kāda ir būtiskā atšķirība starp īstām gāzēm un to ideālo modeli?
Atbilde uz jautājumu būs šādas divas funkcijas:
- attiecība starp molekulu un atomu, kas veido gāzi, kinētisko un potenciālo enerģiju;
- attiecība starp daļiņu lineārajiem izmēriemgāze un vidējais attālums starp tām.
Gāze tiek uzskatīta par ideālu tikai tad, ja tās daļiņu vidējā kinētiskā enerģija ir nesamērojami lielāka par saistīšanas enerģiju starp tām. Atšķirība starp šīm enerģijām ir tāda, ka mēs varam pieņemt, ka daļiņu mijiedarbība pilnībā nepastāv. Arī ideālu gāzi raksturo daļiņu izmēru trūkums vai, pareizāk sakot, šos izmērus var ignorēt, jo tie ir daudz mazāki nekā vidējie attālumi starp daļiņām.
Labi empīriski kritēriji gāzes sistēmas ideāla noteikšanai ir tās termodinamiskie raksturlielumi, piemēram, temperatūra un spiediens. Ja pirmā temperatūra ir lielāka par 300 K, bet otrā ir mazāka par 1 atmosfēru, tad jebkuru gāzi var uzskatīt par ideālu.
Kāda ir gāzes iekšējā enerģija?
Pirms pierakstāt ideālās gāzes iekšējās enerģijas formulu, jums šis raksturlielums ir jāiepazīst tuvāk.
Termodinamikā iekšējo enerģiju parasti apzīmē ar latīņu burtu U. Vispārīgā gadījumā to nosaka pēc šādas formulas:
U=H - PV
Kur H ir sistēmas entalpija, P un V ir spiediens un tilpums.
Tā fiziskajā nozīmē iekšējā enerģija sastāv no divām sastāvdaļām: kinētiskās un potenciālās. Pirmais ir saistīts ar dažāda veida sistēmas daļiņu kustību, bet otrais - ar spēku mijiedarbību starp tām. Ja mēs piemērojam šo definīciju ideālas gāzes jēdzienam, kurai nav potenciālās enerģijas, tad U vērtība jebkurā sistēmas stāvoklī būs precīzi vienāda ar tās kinētisko enerģiju, tas ir:
U=Ek.
Iekšējās enerģijas formulas atvasinājums
Iepriekš mēs noskaidrojām, ka, lai to noteiktu sistēmai ar ideālu gāzi, ir jāaprēķina tās kinētiskā enerģija. No vispārējās fizikas kursa ir zināms, ka daļiņas ar masu m enerģiju, kas virzās uz priekšu noteiktā virzienā ar ātrumu v, nosaka pēc formulas:
Ek1=mv2/2.
To var attiecināt arī uz gāzes daļiņām (atomiem un molekulām), tomēr ir jāizdara dažas piezīmes.
Pirmkārt, ātrums v jāsaprot kā kāda vidējā vērtība. Fakts ir tāds, ka gāzes daļiņas pārvietojas ar dažādu ātrumu atbilstoši Maxwell-Boltzmann sadalījumam. Pēdējais ļauj noteikt vidējo ātrumu, kas laika gaitā nemainās, ja uz sistēmu nav ārējas ietekmes.
Otrkārt, formula Ek1 pieņem enerģiju uz vienu brīvības pakāpi. Gāzes daļiņas var pārvietoties visos trīs virzienos, kā arī griezties atkarībā no to struktūras. Lai ņemtu vērā brīvības pakāpi z, tā jāreizina ar Ek1, t.i.:
Ek1z=z/2mv2.
Visas sistēmas Ek kinētiskā enerģija ir N reizes lielāka par Ek1z, kur N ir kopējais gāzes daļiņu skaits. Tad jums mēs saņemam:
U=z/2Nmv2.
Saskaņā ar šo formulu gāzes iekšējās enerģijas izmaiņas ir iespējamas tikai tad, ja tiek mainīts daļiņu skaits Nsistēma vai to vidējais ātrums v.
Iekšējā enerģija un temperatūra
Pielietojot ideālas gāzes molekulāri kinētiskās teorijas nosacījumus, mēs varam iegūt šādu formulu vienas daļiņas vidējās kinētiskās enerģijas un absolūtās temperatūras attiecībai:
mv2/2=1/2kBT.
Šeit kB ir Bolcmaņa konstante. Aizvietojot šo vienādību ar U formulu, kas iegūta iepriekšējā punktā, mēs iegūstam šādu izteiksmi:
U=z/2NkBT.
Šo izteiksmi var pārrakstīt, ņemot vērā vielas n daudzumu un gāzes konstanti R šādā formā:
U=z/2nR T.
Saskaņā ar šo formulu ir iespējamas gāzes iekšējās enerģijas izmaiņas, ja tiek mainīta tās temperatūra. Vērtības U un T ir lineāri atkarīgas viena no otras, tas ir, funkcijas U(T) grafiks ir taisna līnija.
Kā gāzes daļiņas struktūra ietekmē sistēmas iekšējo enerģiju?
Gāzes daļiņas (molekulas) struktūra attiecas uz atomu skaitu, kas to veido. Tam ir izšķiroša nozīme, aizstājot atbilstošo brīvības pakāpi z formulā ar U. Ja gāze ir monoatomiska, tad gāzes iekšējās enerģijas formula kļūst:
U=3/2nRT.
No kurienes radās vērtība z=3? Tā izskats ir saistīts tikai ar trim brīvības pakāpēm, kādas piemīt atomam, jo tas var pārvietoties tikai vienā no trim telpiskajiem virzieniem.
Ja diatomisksgāzes molekula, tad iekšējā enerģija jāaprēķina, izmantojot šādu formulu:
U=5/2nRT.
Kā redzat, divatomu molekulai jau ir 5 brīvības pakāpes, no kurām 3 ir translācijas un 2 rotācijas (atbilstoši molekulas ģeometrijai tā var griezties ap divām savstarpēji perpendikulārām asīm).
Visbeidzot, ja gāzei ir trīs vai vairāk atomu, tad šāda U izteiksme ir patiesa:
U=3nRT.
Sarežģītām molekulām ir 3 translācijas un 3 rotācijas brīvības pakāpes.
Problēmas piemērs
Zem virzuļa atrodas monatomiskā gāze ar spiedienu 1 atmosfēra. Karsēšanas rezultātā gāze paplašinājās tā, ka tās tilpums palielinājās no 2 litriem līdz 3. Kā mainījās gāzes sistēmas iekšējā enerģija, ja izobarisks izplešanās process.
Lai atrisinātu šo problēmu, nepietiek ar rakstā sniegtajām formulām. Ir jāatgādina ideālas gāzes stāvokļa vienādojums. Tas izskatās šādi.
Tā kā virzulis aizver cilindru ar gāzi, vielas n daudzums izplešanās procesa laikā paliek nemainīgs. Izobāriskā procesa laikā temperatūra mainās tieši proporcionāli sistēmas tilpumam (Čārlza likums). Tas nozīmē, ka iepriekš minētā formula būtu:
PΔV=nRΔT.
Tad monatomiskās gāzes iekšējās enerģijas izteiksme būs šāda:
ΔU=3/2PΔV.
Aizvietojot šajā vienādojumā spiediena un tilpuma izmaiņu vērtības SI vienībās, iegūstam atbildi: ΔU ≈ 152 J.
