Kustība ap rotācijas asi ir viens no visizplatītākajiem objektu kustības veidiem dabā. Šajā rakstā mēs aplūkosim šāda veida kustību no dinamikas un kinemātikas viedokļa. Mēs sniedzam arī formulas, kas attiecas uz galvenajiem fiziskajiem lielumiem.
Par kuru kustību mēs runājam?
Tiešā nozīmē mēs runāsim par ķermeņu pārvietošanu ap apli, tas ir, par to rotāciju. Spilgts šādas kustības piemērs ir automašīnas vai velosipēda riteņa griešanās, transportlīdzeklim pārvietojoties. Rotācija ap savu asi daiļslidotāja, kas veic sarežģītas piruetes uz ledus. Vai mūsu planētas rotācija ap Sauli un ap savu asi, kas ir slīpa pret ekliptikas plakni.
Kā redzat, svarīgs aplūkotā kustības veida elements ir rotācijas ass. Katrs patvaļīgas formas ķermeņa punkts veic apļveida kustības ap to. Attālumu no punkta līdz asij sauc par griešanās rādiusu. Daudzas visas mehāniskās sistēmas īpašības ir atkarīgas no tās vērtības, piemēram, inerces moments, lineārais ātrums unciti.
Rotācijas dinamika
Ja ķermeņu lineārās translācijas kustības cēlonis telpā ir uz tiem iedarbojošais ārējais spēks, tad kustības ap rotācijas asi cēlonis ir ārējais spēka moments. Šī vērtība ir aprakstīta kā pieliktā spēka F¯ un attāluma vektora reizinājums no tā pielietošanas punkta līdz asij r¯, tas ir:
M¯=[r¯F¯]
Brīža M¯ darbība noved pie leņķiskā paātrinājuma α¯ parādīšanās sistēmā. Abi lielumi ir saistīti viens ar otru ar kādu koeficientu I ar šādu vienādību:
M¯=Iα¯
Vērtību I sauc par inerces momentu. Tas ir atkarīgs gan no ķermeņa formas, gan no masas sadalījuma tajā un no attāluma līdz rotācijas asij. Materiālajam punktam to aprēķina pēc formulas:
I=mr2
Ja ārējais spēka moments ir vienāds ar nulli, tad sistēma saglabā savu leņķisko impulsu L¯. Šis ir vēl viens vektora lielums, kas saskaņā ar definīciju ir vienāds ar:
L¯=[r¯p¯]
Šeit p¯ ir lineārs impulss.
Momenta L¯ saglabāšanas likumu parasti raksta šādi:
Iω=const
Kur ω ir leņķiskais ātrums. Viņa tiks sīkāk apspriesta rakstā.
Rotācijas kinemātika
Atšķirībā no dinamikas šajā fizikas sadaļā aplūkoti tikai praktiski svarīgi lielumi, kas saistīti ar ķermeņu stāvokļa izmaiņām laikātelpa. Tas nozīmē, ka rotācijas kinemātikas izpētes objekti ir ātrumi, paātrinājumi un griešanās leņķi.
Vispirms ieviesīsim leņķisko ātrumu. To saprot kā leņķi, caur kuru ķermenis veic pagriezienu laika vienībā. Momentānā leņķiskā ātruma formula ir:
ω=dθ/dt
Ja ķermenis griežas vienādos leņķos vienādos laika intervālos, tad rotāciju sauc par vienmērīgu. Viņam ir derīga vidējā leņķiskā ātruma formula:
ω=Δθ/Δt
Mērīts ω radiānos sekundē, kas SI sistēmā atbilst reciprokālām sekundēm (c-1).
Nevienmērīgas rotācijas gadījumā tiek lietots leņķiskā paātrinājuma α jēdziens. Tas nosaka vērtības ω izmaiņu ātrumu laikā, tas ir:
α=dω/dt=d2θ/dt2
Mērīts α radiānos uz kvadrātsekundi (SI - c-2).
Ja ķermenis sākotnēji vienmērīgi griezās ar ātrumu ω0 un pēc tam sāka palielināt ātrumu ar nemainīgu paātrinājumu α, tad šādu kustību var raksturot šādi. formula:
θ=ω0t + αt2/2
Šo vienādību iegūst, integrējot leņķiskā ātruma vienādojumus laika gaitā. θ formula ļauj aprēķināt apgriezienu skaitu, ko sistēma veiks ap rotācijas asi laikā t.
Lineārie un leņķiskie ātrumi
Abi ātrumi viens ar otrusavienots ar citu. Runājot par griešanās ātrumu ap asi, tie var nozīmēt gan lineāros, gan leņķiskos raksturlielumus.
Pieņemsim, ka kāds materiāla punkts griežas ap asi attālumā r ar ātrumu ω. Tad tā lineārais ātrums v būs vienāds ar:
v=ωr
Atšķirība starp lineāro un leņķisko ātrumu ir ievērojama. Tādējādi vienmērīgas rotācijas laikā ω nav atkarīgs no attāluma līdz asij, savukārt v vērtība lineāri palielinās, palielinoties r. Pēdējais fakts izskaidro, kāpēc, palielinoties griešanās rādiusam, ir grūtāk noturēt ķermeni pa apļveida trajektoriju (tā lineārais ātrums un rezultātā palielinās inerces spēki).
Rotācijas ātruma ap Zemes asi aprēķināšanas problēma
Ikviens zina, ka mūsu planēta Saules sistēmā veic divu veidu rotācijas kustības:
- ap savu asi;
- ap zvaigzni.
Aprēķiniet ātrumu ω un v pirmajam.
Leņķisko ātrumu nav grūti noteikt. Lai to izdarītu, atcerieties, ka planēta veic pilnīgu apgriezienu, kas vienāds ar 2pi radiāniem, 24 stundās (precīzā vērtība ir 23 stundas 56 minūtes 4,1 sekunde). Tad ω vērtība būs:
ω=2pi/(243600)=7, 2710-5rad/s
Aprēķinātā vērtība ir maza. Tagad parādīsim, cik ļoti ω absolūtā vērtība atšķiras no vērtības v.
Aprēķiniet lineāro ātrumu v punktiem, kas atrodas uz planētas virsmas ekvatora platuma grādos. CiktālZeme ir izliekta bumba, ekvatoriālais rādiuss ir nedaudz lielāks par polāro. Tas ir 6378 km. Izmantojot formulu divu ātrumu savienošanai, mēs iegūstam:
v=ωr=7, 2710-56378000 ≈ 464 m/s
Iegūtais ātrums ir 1670 km/h, kas ir lielāks par skaņas ātrumu gaisā (1235 km/h).
Zemes griešanās ap savu asi noved pie tā sauktā Koriolisa spēka parādīšanās, kas jāņem vērā, lidojot ar ballistiskajām raķetēm. Tas ir arī cēlonis daudzām atmosfēras parādībām, piemēram, tirdzniecības vēja virziena novirzēm uz rietumiem.
