Daudzskaldnis ne tikai ieņem ievērojamu vietu ģeometrijā, bet arī sastopams katra cilvēka ikdienā. Nemaz nerunājot par mākslīgi radītiem sadzīves priekšmetiem dažādu daudzstūru formā, sākot ar sērkociņu kastīti un beidzot ar arhitektūras elementiem, kristāliem kuba (sāls), prizmas (kristāla), piramīdas (šeelīta), oktaedra (dimanta) formā, utt. e.
Daudzskaldņa jēdziens, daudzskaldņu veidi ģeometrijā
Ģeometrija kā zinātne satur stereometrijas sadaļu, kas pēta trīsdimensiju figūru īpašības un īpašības. Ģeometriskos ķermeņus, kuru malas trīsdimensiju telpā veido ierobežotas plaknes (sejas), sauc par "daudzskaldni". Daudzskaldņu veidi ietver vairāk nekā duci pārstāvju, kas atšķiras pēc seju skaita un formas.
Tomēr visiem daudzskaldņiem ir kopīgas īpašības:
- Tiem visiem ir 3 būtiski komponenti: seja(daudzstūra virsma), virsotne (stūri, kas izveidoti skaldņu savienojumā), mala (figūras vai segmenta mala, kas izveidota divu skaldņu krustpunktā).
- Katra daudzstūra mala savieno divas un tikai divas skaldnes, kas atrodas viena otrai blakus.
- Izliekums nozīmē, ka ķermenis pilnībā atrodas tikai vienā plaknes pusē, uz kuras atrodas viena no sejām. Noteikums attiecas uz visām daudzskaldņa skaldnēm. Šādas ģeometriskas figūras stereometrijā sauc par izliektiem daudzskaldņiem. Izņēmums ir zvaigznes formas daudzskaldnis, kas ir regulāru daudzskaldņu ģeometrisku cietvielu atvasinājumi.
Daudzskaldnis var nosacīti iedalīt:
- Izliektu daudzskaldņu veidi, kas sastāv no šādām klasēm: parastā vai klasiskā (prizma, piramīda, paralēlskaldnis), regulāra (saukta arī par platoniskām cietām vielām), pusregulāra (otrais nosaukums - Arhimēda cietās vielas).
- Neizliekts daudzskaldnis (zvaigznes formas).
Prizma un tās īpašības
Stereometrija kā ģeometrijas nozare pēta trīsdimensiju figūru īpašības, daudzskaldņu veidus (viena no tiem ir prizma). Prizma ir ģeometrisks ķermenis, kuram obligāti ir divas absolūti identiskas virsmas (tās sauc arī par pamatnēm), kas atrodas paralēlās plaknēs, un n-tais sānu virsmu skaits paralelogramu formā. Savukārt prizmai ir arī vairākas šķirnes, tostarp tādi daudzskaldņu veidi kā:
- Parallelepiped - veidojas, ja pamats ir paralelograms -daudzstūris ar 2 vienādu pretējo leņķu pāriem un 2 pāriem kongruentu pretējo malu.
- Taisnai prizmai ir malas, kas ir perpendikulāras pamatnei.
- Slīpuma prizma raksturojas ar netaisniem leņķiem (kas nav 90) starp virsmām un pamatni.
- Parastu prizmu raksturo pamatnes regulāra daudzstūra formā ar vienādām sānu malām.
Prizmas pamatīpašības:
- Saskaņotas bāzes.
- Visas prizmas malas ir vienādas un paralēlas viena otrai.
- Visas sānu virsmas ir paralelograma formas.
Piramīda
Piramīda ir ģeometrisks ķermenis, kas sastāv no vienas pamatnes un n-tā skaita trīsstūrveida skaldnes, kas savienotas vienā punktā – augšpusē. Jāņem vērā, ka, ja piramīdas sānu malas obligāti attēlo trīsstūri, tad pamatne var būt vai nu trīsstūrveida daudzstūris, vai četrstūris, vai piecstūris un tā tālāk bezgalīgi. Šajā gadījumā piramīdas nosaukums atbildīs daudzstūrim pie pamatnes. Piemēram, ja trijstūris atrodas piramīdas pamatnē, tā ir trīsstūrveida piramīda, četrstūris ir četrstūrveida utt.
Piramīdas ir konusveida daudzskaldnis. Šīs grupas daudzskaldņu veidi papildus iepriekš uzskaitītajiem ietver arī šādus pārstāvjus:
- Parastas piramīdas pamatnē ir regulārs daudzstūris, un tās augstums tiek projicēts uz centruaplis, kas ierakstīts pamatnē vai ap to.
- Taisnstūra piramīda veidojas, kad viena no sānu malām krustojas ar pamatni taisnā leņķī. Šajā gadījumā ir arī godīgi šo malu saukt par piramīdas augstumu.
Piramīdas īpašības:
- Ja visas piramīdas sānu malas ir kongruentas (vienāda augstuma), tad tās visas krustojas ar pamatni vienā leņķī, un ap pamatni var uzzīmēt apli, kura centrs sakrīt ar piramīdas projekciju. piramīdas virsotne.
- Ja piramīdas pamatne ir regulārs daudzstūris, tad visas sānu malas ir vienādas un skaldnes ir vienādsānu trīsstūri.
Parastais daudzskaldnis: daudzskaldņu veidi un īpašības
Stereometrijā īpašu vietu ieņem ģeometriski ķermeņi ar absolūti vienādām skaldnēm, kuru virsotnēs ir savienots vienāds skaits malu. Šīs cietās vielas sauc par platoniskām cietām vielām vai parastajiem daudzskaldņiem. Daudzskaldņu veidiem ar šādām īpašībām ir tikai piecas formas:
- Tetraedrs.
- Heksaedrs.
- Octaedron.
- Dodekaedrs.
- Ikozaedrs.
Regulāri daudzskaldņi ir parādā savu nosaukumu sengrieķu filozofam Platonam, kurš savos rakstos aprakstīja šos ģeometriskos ķermeņus un saistīja tos ar dabas elementiem: zemi, ūdeni, uguni, gaisu. Piektajai figūrai tika piešķirta līdzība ar Visuma uzbūvi. Viņaprāt, dabas elementu atomi pēc formas atgādina parasto daudzskaldņu tipus. Pateicoties tās aizraujošākajam īpašumam -simetrija, šie ģeometriskie ķermeņi ļoti interesēja ne tikai senos matemātiķus un filozofus, bet arī visu laiku arhitektus, māksliniekus un tēlniekus. Tikai 5 veidu daudzskaldņu klātbūtne ar absolūtu simetriju tika uzskatīta par fundamentālu atklājumu, tiem pat tika piešķirta saikne ar dievišķo principu.
Heksaedrs un tā īpašības
Sešstūra formā Platona pēcteči pieņēma līdzību ar Zemes atomu uzbūvi. Protams, šobrīd šī hipotēze ir pilnībā atspēkota, kas tomēr neliedz figūrām mūsdienās ar savu estētiku piesaistīt slavenu figūru prātus.
Ģeometrijā heksaedrs, ko sauc arī par kubu, tiek uzskatīts par paralēlskaldņa īpašu gadījumu, kas, savukārt, ir sava veida prizma. Attiecīgi kuba īpašības ir saistītas ar prizmas īpašībām, ar vienīgo atšķirību, ka visas kuba skaldnes un stūri ir vienādi. No tā izriet šādas īpašības:
- Visas kuba malas ir kongruentas un atrodas paralēlās plaknēs viena pret otru.
- Visas skaldnes ir kongruenti kvadrāti (kubā pavisam ir 6), no kuriem jebkuru var ņemt par pamatu.
- Visi saskarnes leņķi ir 90.
- No katras virsotnes izplūst vienāds skaits malu, proti, 3.
- Kubam ir 9 simetrijas asis, kuras visas krustojas heksaedra diagonāļu krustpunktā, ko sauc par simetrijas centru.
Tetraedrs
Tetraedrs ir tetraedrs ar vienādām skaldnēm trīsstūru formā, kuru katra virsotneir trīs skalu savienojuma punkts.
Parastā tetraedra īpašības:
- Visas tetraedra skaldnes ir vienādmalu trijstūri, kas nozīmē, ka visas tetraedra skaldnes ir kongruentas.
- Tā kā pamatne ir attēlota ar regulāru ģeometrisku figūru, tas ir, tai ir vienādas malas, tetraedra skaldnes saplūst vienā leņķī, tas ir, visi leņķi ir vienādi.
- Plakano leņķu summa katrā no virsotnēm ir 180, jo visi leņķi ir vienādi, tad jebkurš regulāra tetraedra leņķis ir 60.
- Katra no virsotnēm tiek projicēta pretējās (ortocentra) virsmas augstumu krustpunktā.
Oktaedrs un tā īpašības
Aprakstot regulāro daudzskaldņu veidus, nevar neatzīmēt tādu objektu kā oktaedrs, ko var vizuāli attēlot kā divas četrstūrainas regulāras piramīdas, kas salīmētas kopā ar pamatnēm.
Oktaedra īpašības:
- Pats ģeometriskā ķermeņa nosaukums norāda uz tā virsmu skaitu. Oktaedrs sastāv no 8 kongruentiem vienādmalu trijstūriem, kuru katrā virsotnē saplūst vienāds skaits skalu, proti, 4.
- Tā kā visas oktaedra skalas ir vienādas, arī tā saskarnes leņķi ir vienādi, katrs no tiem ir vienāds ar 60, un jebkuras virsotnes plaknes leņķu summa tādējādi ir 240.
Dodekaedrs
Ja iedomājamies, ka visas ģeometriskā ķermeņa skaldnes ir regulārs piecstūris, tad iegūstam dodekaedru -12 daudzstūru figūra.
Dodekaedra īpašības:
- Trīs skaldnes krustojas katrā virsotnē.
- Visas skaldnes ir vienādas, un tām ir vienāds malu garums un vienāds laukums.
- Dodekaedram ir 15 asis un simetrijas plaknes, un jebkura no tām iet caur skaldnes virsotni un pretējās malas vidu.
Ikozaedrs
Ne mazāk interesants par dodekaedru, ikosaedra figūra ir trīsdimensiju ģeometrisks ķermenis ar 20 vienādām skaldnēm. Starp parastā divdesmit edra īpašībām var atzīmēt:
- Visas ikosaedra skaldnes ir vienādsānu trīsstūri.
- Piecas skaldnes saplūst katrā daudzskaldņa virsotnē, un virsotnes blakus leņķu summa ir 300.
- Ikozaedram, tāpat kā dodekaedram, ir 15 asis un simetrijas plaknes, kas iet caur pretējo virsmu viduspunktiem.
Pusregulāri daudzstūri
Izliekto daudzskaldņu grupā bez platoniskām cietām vielām ir arī Arhimēda cietvielas, kas ir nošķeltas regulāri daudzskaldnis. Šīs grupas daudzskaldņu veidiem ir šādas īpašības:
- Ģeometriskajiem ķermeņiem ir pa pāriem vienādas vairāku tipu skaldnes, piemēram, nogrieztam tetraedram ir 8 skaldnes, tāpat kā parastam tetraedram, bet Arhimēda cietai 4 skaldnes būs trīsstūrveida un 4 sešstūrainas.
- Visi vienas virsotnes leņķi ir kongruenti.
Zvaigžņu daudzskaldnis
Netilpuma ģeometrisko ķermeņu tipi ir zvaigžņu daudzskaldņi, kuru sejas krustojas viena ar otru. Tos var izveidot, sapludinot divas regulāras 3D cietvielas vai pagarinot to virsmas.
Tādējādi šādi zvaigžņu daudzskaldņi ir zināmi kā: oktaedra, dodekaedra, ikozaedra, kuboktaedra, ikozodekaedra zvaigžņu formas.
