Lkmeņu paralēlisms ir jēdziens, kas Eiklīda ģeometrijā pirmo reizi parādījās pirms vairāk nekā diviem tūkstošiem gadu.
Klasiskās ģeometrijas galvenie raksturlielumi
Šīs zinātnes disciplīnas dzimšana ir saistīta ar sengrieķu domātāja Eiklida slaveno darbu, kurš trešajā gadsimtā pirms mūsu ēras uzrakstīja brošūru "Sākums". Elementi, kas sadalīti trīspadsmit grāmatās, bija visas senās matemātikas augstākais sasniegums un noteica pamata postulātus, kas saistīti ar plaknes figūru īpašībām.
Klasiskais plakņu paralēlisma nosacījums tika formulēts šādi: divas plaknes var saukt par paralēlām, ja tām nav savstarpēji kopīgu punktu. Šis bija piektais Eiklīda darba postulāts.
Paralēlu plakņu īpašības
Eiklīda ģeometrijā parasti ir pieci no tiem:
Pirmā īpašība (apraksta plakņu paralēlismu un to unikalitāti). Caur vienu punktu, kas atrodas ārpus noteiktas plaknes, mēs varam uzzīmēt vienu un tikai vienu plakni, kas ir paralēla tam
- Otrais īpašums (saukts arī par trīs paralēlu īpašību). Kad divas lidmašīnas irparalēli trešajam, tie ir arī paralēli viens otram.
Trešā īpašība (citiem vārdiem sakot, to sauc par taisnes īpašību, kas krustojas ar plakņu paralēlismu). Ja viena taisne krusto vienu no šīm paralēlajām plaknēm, tad tā krustos otru
Ceturtais īpašums (īpašība taisnām līnijām, kas nogrieztas plaknēs, kas ir paralēlas viena otrai). Kad divas paralēlas plaknes krustojas ar trešo (jebkurā leņķī), arī to krustojuma līnijas ir paralēlas
Piektais rekvizīts (īpašība, kas apraksta dažādu paralēlu līniju segmentus, kas atrodas starp plaknēm, kas ir paralēlas viena otrai). To paralēlo līniju segmenti, kas atrodas starp divām paralēlām plaknēm, noteikti ir vienādi
Lakņu paralēlisms ne-eiklida ģeometrijās
Šādas pieejas jo īpaši ir Lobačevska un Rīmaņa ģeometrija. Ja Eiklida ģeometrija tika realizēta uz plakanām telpām, tad Lobačevska ģeometrija tika realizēta negatīvi izliektās telpās (vienkārši izliektās), un Rīmaņa ģeometrija atrod savu realizāciju pozitīvi izliektās telpās (citiem vārdiem sakot, sfērās). Pastāv ļoti izplatīts stereotipisks uzskats, ka Lobačevska paralēlās plaknes (un arī līnijas) krustojas.
Tomēr tas nav pareizi. Patiešām, hiperboliskās ģeometrijas rašanās bija saistīta ar Eiklida piektā postulāta pierādījumu un izmaiņāmuzskati par to, taču pati paralēlo plakņu un līniju definīcija nozīmē, ka tās nevar krustoties ne Lobačevska, ne Rīmaņa gadījumā, neatkarīgi no tā, kādās telpās tās tiek realizētas. Un uzskatu un formulējumu maiņa bija šāda. Postulāts, ka caur punktu, kas neatrodas noteiktā plaknē, var novilkt tikai vienu paralēlu plakni, ir aizstāts ar citu formulējumu: caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas plaknes, vismaz divas taisnes, kas atrodas vienā plaknē ar doto un nekrusto to.
