Kas ir neracionālie skaitļi? Kāpēc viņus tā sauc? Kur tie tiek izmantoti un kādi tie ir? Tikai daži var bez vilcināšanās atbildēt uz šiem jautājumiem. Bet patiesībā atbildes uz tām ir pavisam vienkāršas, lai gan ne visiem tās ir vajadzīgas un ļoti retās situācijās
Būtība un apzīmējums
Iracionālie skaitļi ir bezgalīgas neperiodiskas decimāldaļdaļas. Nepieciešamība ieviest šo jēdzienu ir saistīta ar to, ka ar iepriekš pastāvošajiem reālo vai reālo, veselo, naturālo un racionālo skaitļu jēdzieniem vairs nepietika, lai atrisinātu jaunas radušās problēmas. Piemēram, lai aprēķinātu, kas ir kvadrāts 2, jums ir jāizmanto vienreizējas bezgalīgas decimāldaļas. Turklāt daudziem vienkāršākajiem vienādojumiem arī nav risinājuma, neieviešot iracionālā skaitļa jēdzienu.
Šī kopa ir apzīmēta kā I. Un, kā jau skaidrs, šīs vērtības nevar attēlot kā vienkāršu daļskaitli, kuras skaitītājā būs vesels skaitlis, bet saucējā - naturāls skaitlis..
Pirmo reizicitādi Indijas matemātiķi ar šo parādību saskārās 7. gadsimtā pirms mūsu ēras, kad tika atklāts, ka dažu lielumu kvadrātsaknes nevar skaidri norādīt. Un pirmais pierādījums šādu skaitļu esamībai tiek attiecināts uz Pitagora Hipasu, kurš to izdarīja vienādsānu taisnstūra trīsstūra izpētes procesā. Nopietnu ieguldījumu šī komplekta izpētē sniedza daži citi zinātnieki, kas dzīvoja pirms mūsu ēras. Iracionālo skaitļu jēdziena ieviešana radīja esošās matemātiskās sistēmas pārskatīšanu, tāpēc tie ir tik svarīgi.
Nosaukuma izcelsme
Ja ratio latīņu valodā nozīmē "daļdaļa", "attiecība", tad prefikss "ir"
piešķir šim vārdam pretēju nozīmi. Tādējādi šo skaitļu kopas nosaukums norāda, ka tos nevar korelēt ar veselu vai daļskaitli, tiem ir atsevišķa vieta. Tas izriet no to būtības.
Vieta kopvērtējumā
Iracionālie skaitļi līdzās racionālajiem skaitļiem pieder reālo vai reālo skaitļu grupai, kas savukārt pieder pie kompleksajiem skaitļiem. Nav apakškopu, taču ir algebriskas un pārpasaulīgas variācijas, kas tiks aplūkotas turpmāk.
Properties
Tā kā iracionālie skaitļi ir daļa no reālo skaitļu kopas, uz tiem attiecas visas to īpašības, kas tiek pētītas aritmētikā (tos sauc arī par algebras pamatlikumiem).
a + b=b + a (komutativitāte);
(a + b) + c=a + (b + c)(asociativitāte);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (pretēja skaitļa esamība);
ab=ba (pārvietošanas likums);
(ab)c=a(bc) (izplatība);
a(b+c)=ab + ac (izplatības likums);
a x 1=a
a x 1/a=1 (apgriezta skaitļa esamība);
Salīdzinājums tiek veikts arī saskaņā ar vispārējiem likumiem un principiem:
Ja a > b un b > c, tad a > c (attiecības tranzitivitāte) un. utt.
Protams, visus neracionālos skaitļus var pārvērst, izmantojot pamata aritmētiku. Tam nav īpašu noteikumu.
Turklāt Arhimēda aksioma attiecas uz iracionāliem skaitļiem. Tajā teikts, ka jebkuram diviem lielumiem a un b apgalvojums ir patiess, ka, pieņemot a kā terminu pietiekami reižu, jūs varat pārspēt b.
Izmantot
Neskatoties uz to, ka parastajā dzīvē ar tiem nav bieži jāsaskaras, neracionālus skaitļus nevar saskaitīt. Viņu ir daudz, bet tie ir gandrīz neredzami. Mūs visur ieskauj neracionāli skaitļi. Ikvienam pazīstami piemēri ir skaitlis pi, kas vienāds ar 3, 1415926 … vai e, kas būtībā ir naturālā logaritma bāze, 2, 718281828 … Algebrā, trigonometrijā un ģeometrijā tie ir pastāvīgi jāizmanto. Starp citu, slavenā "zelta griezuma" vērtība, tas ir, attiecība gan lielākajai daļai, gan mazākajai daļai, gan otrādi, ir arī
pieder šai kopai. Mazāk zināms "sudrabs" - arī.
Tie atrodas ļoti blīvi uz skaitļu līnijas, tāpēc starp jebkurām divām vērtībām, kas saistītas ar racionālo vērtību kopu, noteikti rodas iracionāla vērtība.
Joprojām ir daudz neatrisinātu problēmu saistībā ar šo komplektu. Ir tādi kritēriji kā iracionalitātes mērs un skaitļa normalitāte. Matemātiķi turpina izskatīt nozīmīgākos piemērus viņu piederībai vienai vai otrai grupai. Piemēram, tiek uzskatīts, ka e ir normāls skaitlis, tas ir, iespējamība, ka tā ierakstā parādīsies dažādi cipari, ir vienāda. Attiecībā uz pi joprojām notiek pētījumi par to. Iracionalitātes mēru sauc arī par vērtību, kas parāda, cik labi šo vai citu skaitli var tuvināt ar racionāliem skaitļiem.
Algebrisks un transcendentāls
Kā jau minēts, iracionālos skaitļus nosacīti iedala algebriskajos un transcendentālajos. Nosacīti, jo, stingri ņemot, šī klasifikācija tiek izmantota kopas C sadalīšanai.
Šis apzīmējums slēpj kompleksos skaitļus, kas ietver reālus vai reālus skaitļus.
Tātad, algebriskā vērtība ir vērtība, kas ir polinoma sakne, kas nav identiski vienāda ar nulli. Piemēram, kvadrātsakne no 2 būtu šajā kategorijā, jo tā ir vienādojuma atrisinājums x2 - 2=0.
Visus citus reālos skaitļus, kas neatbilst šim nosacījumam, sauc par pārpasaulīgiem. Šai šķirneiiekļaujiet slavenākos un jau minētos piemērus - skaitli pi un naturālā logaritma bāzi e.
Interesanti, ka ne vienu, ne otro matemātiķi sākotnēji neizsecināja šādā statusā, to iracionalitāte un transcendence tika pierādīta daudzus gadus pēc to atklāšanas. Attiecībā uz pi pierādījums tika sniegts 1882. gadā un vienkāršots 1894. gadā, kas pielika punktu 2500 gadus ilgajam strīdam par apļa kvadrātošanas problēmu. Tas joprojām nav pilnībā izprasts, tāpēc mūsdienu matemātiķiem ir pie kā strādāt. Starp citu, pirmo pietiekami precīzu šīs vērtības aprēķinu veica Arhimēds. Pirms viņa visi aprēķini bija pārāk aptuveni.
Attiecībā uz e (Eulera vai Napier skaitļiem) pierādījums tā transcendencei tika atrasts 1873. gadā. To izmanto logaritmisko vienādojumu risināšanā.
Citi piemēri ietver sinusa, kosinusa un pieskares vērtības jebkurām algebriskām vērtībām, kas nav nulles.
