Jēdziens grāds matemātikā tiek ieviests 7. klasē algebras stundā. Un turpmāk visā matemātikas studiju laikā šis jēdziens tiek aktīvi izmantots tā dažādās formās. Grādi ir diezgan grūts temats, kas prasa vērtību iegaumēšanu un spēju pareizi un ātri skaitīt. Lai ātrāk un labāk strādātu ar matemātikas grādiem, viņi izdomāja grāda īpašības. Tie palīdz samazināt lielus aprēķinus, zināmā mērā pārvērst milzīgu piemēru vienā skaitļā. Īpašību nav tik daudz, un tās visas ir viegli atcerēties un pielietot praksē. Tāpēc rakstā aplūkotas galvenās grāda īpašības, kā arī to piemērošanas vieta.
Grāda īpašības
Mēs apsvērsim 12 grādu īpašības, tostarp pakāpes ar vienādām bāzēm, un sniegsim piemēru katrai īpašībai. Katrs no šiem īpašumiem palīdzēs ātrāk atrisināt problēmas ar grādiem, kā arī pasargās jūs no daudzām skaitļošanas kļūdām.
1. īpašums.
a0=1
Daudzi bieži aizmirst par šo īpašumu, darietkļūdas, attēlojot skaitli līdz nulles pakāpei kā nulli.
2. īpašums.
a1=a
3. īpašums.
a am=a(n+m)
Jums jāatceras, ka šo īpašību var izmantot tikai skaitļu reizināšanai, ar summu tas nedarbojas! Un neaizmirstiet, ka šīs un tālāk norādītās īpašības attiecas tikai uz pilnvarām ar tādu pašu bāzi.
4. īpašums.
a/am=a(n-m)
Ja skaitlis saucējā tiek palielināts līdz negatīvam pakāpēm, tad, atņemot, saucēja pakāpe tiek ņemta iekavās, lai turpmākajos aprēķinos pareizi aizstātu zīmi.
Īpašums darbojas tikai dalīšanai, nevis atņemšanai!
5. īpašums.
(a)m=a(nm)
6. īpašums.
a-n=1/a
Šo īpašību var lietot arī apgrieztā veidā. Vienība, kas zināmā mērā dalīta ar skaitli, ir šis skaitlis ar negatīvu pakāpju.
7. īpašums.
(ab)m=am bm
Šo īpašību nevar attiecināt uz summu un starpību! Palielinot summu vai starpību līdz pakāpei, tiek izmantotas saīsinātas reizināšanas formulas, nevis pakāpes īpašības.
8. īpašums.
(a/b)=a/b
9. īpašums.
a½=√a
Šis rekvizīts darbojas jebkurai daļskaitļa pakāpei, kuras skaitītājs ir vienāds ar vienu,formula būs tāda pati, tikai saknes pakāpe mainīsies atkarībā no pakāpes saucēja.
Arī šis rekvizīts bieži tiek izmantots otrādi. Jebkura skaitļa pakāpes sakni var attēlot kā šo skaitli ar pakāpju, kas dalīts ar saknes pakāpi. Šis īpašums ir ļoti noderīgs gadījumos, kad skaitļa sakne netiek izvilkta.
10. īpašums.
(√a)2=a
Šis īpašums darbojas ne tikai ar kvadrātsaknēm un otro pakāpju. Ja saknes pakāpe un pakāpe, līdz kurai šī sakne ir pacelta, ir vienāda, tad atbilde būs radikāla izteiksme.
11. īpašums.
√a=a
Šo īpašību risinot ir jāspēj redzēt laicīgi, lai pasargātu sevi no milzīgiem aprēķiniem.
12. īpašums.
am/n=√am
Katrs no šiem rekvizītiem uzdevumos sastapsies vairāk nekā vienu reizi, to var dot tīrā veidā, vai arī tas var prasīt dažas transformācijas un citu formulu izmantošanu. Tāpēc pareizam risinājumam nepietiek zināt tikai īpašības, ir jāpraktizē un jāsavieno pārējās matemātiskās zināšanas.
Grādu un to īpašību izmantošana
Tos aktīvi izmanto algebrā un ģeometrijā. Atsevišķa, svarīga vieta ir matemātikas grādiem. Ar to palīdzību tiek risināti eksponenciālie vienādojumi un nevienādības, kā arī pilnvaras bieži vien sarežģī vienādojumus un piemērus, kas saistīti ar citām matemātikas sadaļām. Eksponenti palīdz izvairīties no lieliem un gariem aprēķiniem, ir vieglāk samazināt un aprēķināt eksponentus. Bet priekšstrādājot ar lieliem vai lieliem skaitļiem, jums jāzina ne tikai pakāpes īpašības, bet arī kompetenti jāstrādā ar bāzēm, jāspēj tās sadalīt, lai atvieglotu savu uzdevumu. Ērtības labad jums jāzina arī skaitļu nozīme, kas palielināta pakāpē. Tas samazinās risināšanas laiku, jo nebūs jāveic ilgi aprēķini.
Pakāpes jēdzienam logaritmos ir īpaša nozīme. Tā kā logaritms būtībā ir skaitļa pakāpe.
Samazinātas reizināšanas formulas ir vēl viens pilnvaru izmantošanas piemērs. Tie nevar izmantot grādu īpašības, tie tiek sadalīti pēc īpašiem noteikumiem, bet katrā saīsinātajā reizināšanas formulā vienmēr ir pakāpes.
Grādi aktīvi tiek izmantoti arī fizikā un datorzinātnēs. Visi tulkojumi SI sistēmā tiek veikti, izmantojot grādus, un turpmāk, risinot uzdevumus, tiek pielietotas pakāpes īpašības. Datorzinātnēs skaitīšanas ērtībai un skaitļu uztveres vienkāršošanai tiek aktīvi izmantoti divi pakāpes. Turpmākie aprēķini par mērvienību pārveidošanu vai uzdevumu aprēķini, tāpat kā fizikā, notiek, izmantojot pakāpes īpašības.
Grādi ļoti noder arī astronomijā, kur reti kad redz grāda īpašību izmantošanu, bet paši grādi tiek aktīvi izmantoti dažādu lielumu un attālumu fiksēšanas saīsināšanai.
Grādi tiek izmantoti arī ikdienā, aprēķinot laukumus, tilpumus, attālumus.
Ar grādu palīdzību jebkurā zinātnes nozarē tiek uzrakstīts ļoti liels un ļoti mazs daudzums.
Eksponenciālie vienādojumi un nevienādības
Grādu īpašības ieņem īpašu vietu tieši eksponenciālos vienādojumos un nevienādībās. Šie uzdevumi ir ļoti izplatīti gan skolas kursos, gan eksāmenos. Tie visi tiek atrisināti, pielietojot pakāpes īpašības. Nezināmais vienmēr atrodas pašā pakāpē, tāpēc, zinot visas īpašības, šādu vienādojumu vai nevienādību atrisināt nebūs grūti.
